高考数学命题热点名师解密专题：演绎推与合情推

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧

【知识要点】

1．合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理．

当前提为真时,结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．

(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)．简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理．

2．演绎推理

(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)演绎推理的一般模式——“三段论”

①大前提——已知的一般性的原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断．

1。合情推理主要包括归纳推理和类比推理

在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论。证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向。

2。合情推理的过程

从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想

3。演绎推理

演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法。是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论。数学问题的证明主要通过演绎推理来进行。

4。注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明。

1．直接证明

(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方法．

(2)从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．

推证过程如下：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q

(3)从要证明的结论出发,追溯导致结论成立的充分条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．

推论过程如下：

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．

P—表示条件,Q—表示要证的结论．

2．间接证明——反证法

(1)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法．

(2)反证法的特点：先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,所得矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

推论过程如下：

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．

P—表示条件,Q—表示要证的结论．

2．间接证明——反证法

(1)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做_________．

(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立,再在正确的推理下得出矛盾,所得矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

2。关于反证法

使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等。

反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论。

矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；

(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾。

1。数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法。它是一种完全归纳法,是对不完全归纳法的完善。

2。证明代数恒等式的关键是第二步,将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需要的形式——凑结论。

3。用数学归纳法证明不等式的关键是第二步,利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n＝k＋1成立时的式子。

4。用数学归纳法证明几何问题时,要注意结合几何图形的性质,在求由“n＝k到n＝k＋1”增加的元素个数时,可以先用不完全归纳法找其变化规律。

5。由有限个特殊事例进行归纳、猜想,而得出一般性结论,然后加以证明是科学研究的重要思想方法,研究与正整数有关的数学问题,此方法尤为重要,如猜想数列的通项a n或前n项和S n,解决与自然数有关的探索性、开放性问题等。这里猜想必须准确,证明必须正确。既用到合情推理,又用到演绎推理。猜想的准确与否

可用证明来检验,否则不妨再分析,再猜想,再证明,猜想是证明的前提,证明可论证猜想的可靠性,二者相辅相成。 题型典例分析 1。归纳法

例1已知数列{}{},n n a b 满足,

,则2017b =（ ）

A 。

20172018 B 。 20182017 C 。 20152016 D 。 2016

2015

【答案】A 【解析】

数列{}{},n n a b 满足

,,

,

,由此猜想,故选A 。

【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项,归纳出数列通项来考察归纳推理,属于中档题。归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质。 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）。 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳。 练习1。将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 ……………

则在表中数字2017出现在（ ）

A 。 第44行第80列

B 。 第45行第80列

C 。 第44行第81列

D 。 第45行第81列 【答案】D