不等式的证明3(切线放缩) 高中数学课堂教学ppT课件

法二：分离参数后考察没有零点
另例：已知函数f (x) x ln x a(x 1)(a 0)在区间(0, 2)有一个零点， 求a的取值范围. 解：令f (x) 0, f (1) 0, x 1是函数在区间(0, 2)的一个零点, 满足题意a 0
当x
1时,由a
x ln x x 1
, 令 y1
x 0 , y2 0; x 1 , y2 1(如下); x 2 , y2 2 ln 2
(洛必达法则lim f (x) 0 lim f (x) 即x 1 , lim x ln x = lim ln x 1 1);
g(x) 0
g ( x)
x 1
1
第二种处理：
切线不等式x
1
ln
x，从而直接判断
a,
y2
x ln x x 1
y2
(1
ln
x)(x 1) (x 1)2
x ln
x
ln x x 1 (x 1)2
第一种处理：二次求导g(x) ln x x 1, g(x) 1 1 x 1
x
x
g(x)在区间(0,1) (1, ) , g(x)min g(1) 0
g(x) 0,即有y2 0, y2在区间(0,1), (1, ) 现在画图了，
x f (x)在区间(0, 2)上单调递增 当x 0+，f (x) ，故只需讨论f (2) 1+ ln 2 a的正负即可 当f (2) 1+ ln 2 a 0,即a 1+ ln 2故f (x)在(0, 2)上单调递减，又 f (1)=0 f (x)有唯一零点1，且f (2)=2 ln 2 a பைடு நூலகம்0即a 2 ln 2 综上：a 2 ln 2 当f (2) 1+ ln 2 a 0,即a 1+ ln 2,故f (x)在(0, 2)上有唯一零点x0， 故f (x0 )=0，1+ ln x0 a=0，又 f (1)=0a=1 综上可得：a=1，a 2 ln 2
注：切线放缩的一般原则：（1）先对数后指数；（2）合理选用 放缩（一般用得最多指数对数加减）
例：已知函数f (x) ex ln(x 2), 证明f (x) 0.
证明： ln(x 2) x （1 x -1时取等号）
f (x) ex ln(x 2) ex (x 1)
令g(x) ex (x 1)
g(x) ex 1 0 x 0
g(x)在（-，0） ，（0，+）
g(x)min g(0) 0, g(x) 0, 又 等号不能同时取到
注：采用切线不等式， 还是需要用构造差函数 进行最值证明。
f (x) 0成立
法一：单调性讨论法
解： f (x) x ln x a(x 1) f (x) 1+ ln x a，f (x) 1 0
数学课安排
1. 不等式的证明3 2. 切线放缩法（网课期间不讲）
学习目标
1.会对函数进行重新构建与切线不等式的应用 2. 求函数的最值要精准熟练
法一，隐零点问题，即零点求不出来，但存在零点（代数法证明）
一、切线不等式的介绍
法二，公切线隔离法（几何证明法） 也称为：“切线放缩”
注：（1）适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的 问题（拆成两个函数）； （2）两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的本质。 引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不 等式的传递性就可以了； （3）难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板
ln x x 1 (x 1)2
0
y2 0, (0,1), (1, )
若改为（1,2）内有一个零点
另例：已知函数f (x) x ln x a(x 1)(a 0)在区间(0, 2)有一个零点， 求a的取值范围.
法三：不分离切线法
解：如图当a 1时，u(x) x ln x与v(x) x 1相切满足题意； 由x （0,2），当v(x)=a(x 1)过点（2,2ln 2）时，u(x)与v(x)有 两个交点； 要使u(x)与v(x)有一个交点，则a 2ln 2； 综上所述：a 1或a 2ln 2