非线性动力学练习题

2013 “非线性振动” 练习题
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。

2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。

3、 用多尺度法或均值法求 (第三章16)
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。

4、 用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。

5、 设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。

6、 简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系
统的区别。

7、 简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。

8、 简述自激振动产生的主要原因及其特点。

9、 以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的
主要特点。

10、 简述分岔和混沌的概念。

（考试从中选取5题）
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。

答：绘制相轨迹线的原理如下：
将系统的动力学方程...
+(x,)=0x f x 转化为以状态变量表示的状态方程组 ..==-(x,y)
y x
y f （1）
在利用上式消去微分dt,得到y x 和的关系式 ,=-dy f dx y
（x y ） （2） 这个式子所确定的平面（x,y ）上的各点的向量场，就构成了相轨迹族。

绘制相轨迹线的方法有两种，第一是等倾线法。

等倾线法的原理如下，令方程（2）右边等于常数C ，得到(x,y)相平面内以C 为参数的曲线族
(x,y)+Cy=0f (3)
(3)称作相轨迹的等倾线族，族内每一曲线上的所有点所对应的由方程（2）确定的向量场都指向同一方向。

第二种方法是李纳法。

其原理如下：
适当选择单位使弹簧的系数为1，设单位质量的阻尼力为-(y)ϕ，则有f(x,y)=x+(y)ϕ。

相轨迹微分方程为
+(y)=-dy x dx y
ϕ （4） 在平面上做辅助曲线=-(y)x ϕ 。

此辅助曲线即上述零斜率等倾线，过某个相点 P （x,y ）作x 轴的平行线与辅助曲线交与R 点，再过R 点作y 轴的平行线与x 轴交于S 点，连接PS ，将向量PS →
逆时针旋转90度后的方向就是方程（4）确定的相轨迹切线方向。

相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。

当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。

（相轨迹线的作用）
非线性动力学主要研究非线性振动系统周期振动规律（振幅，频率，相位的变化规律）和周期解的稳定条件。

其研究内容主要有：保守系统中的稳定性及轨道扩散问题；振动的定性理论；非线性振动的近似解析方法；非线性振动中混沌的控制和同步问题；随机振动系统和参数振动系统问题等。

2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。

解：此处取一阶近似解201=++O()x x x εε (1)
设 222200=+=-D D ωωεωωε即 （2）
此处D 为调谐参数 并设=F K ε （3）
将（1）（2）（3）代入系统动力学方程中则有
....
22010101++(-D )(x +x )=-(x +x )+cos x x K t εωεεεεεω （4）
考虑到ε两边同次幂的系数相等，于是有
..0200..1221100:+=0
(5a):+=Dx -x +cos (5b)x x x x K t
εωεωω 由（5a ）可得 0=cos +Bsin x A t t ωω (6)
将（6）代入（5b ）中有
22
..2
11+=DA cos +sin -(1+cos 2)-(1-cos 2)-ABsin2+cos 22A B x x t DB t t t t K t ωωωωωωω（7）
为了消去久期项，必有使得cos t ω和sin t ω的系数都为0 于是有
DA+=0
=0
K DB （8） 于是有 A =-=-=0K F B D D ε （9）
解（7） （9） 可得
22
11222=R cos +sin +-+cos 226A A x t R t t ωωωωω
（10） 由初始条件 .
11(0)=0 (0)=0x x （11）可得 2
122==03A R R ω （12）
222
1222=cos +cos 2-362A A A x t t ωωωωω
(13)
所以，方程的主共振解为
222222=cos +cos -+cos 2326A A A x A t t t ωωωεωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭
(14) 这里A =-(D )F D ε
其中为调谐参数（15）
3、用多尺度法或均值法求
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。

4、用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。

5、设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。

6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系统的区别。

答：特点：
（1）恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例
（2）非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒
（3）系统的周期与初始条件有关。

（4）保守系统的微分方程形式如：。

其中p (u) 是仅依赖于系统位移u
的非线性有势力。

（5）。

区别：线性振动只适用于小运动范围 ，超过此范围，就变成非线性振动。

7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。

答：非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动有以下特点：
（1）
非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动微分方程为： +F(t)
F （t ）为正弦时为简谐激励。

上式为弱非线性,有周期解。

(2)振幅与激励频率在一定关系下发生突跳现象。

（3）在非线性系统中，当干扰力频率在派生系统固有频率附近变化，而受迫振动振幅很大时，发生主共振。

一定条件下还会发生超谐共振、亚谐共振、组合共振等非主共振现象。

9、以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的主要特点。

答：多自由度系统的非线性振动，除两自由度系统之外,很少有精确解。

多采用数值方法为近似分析方法。

在某些条件下，存在内共振现象、 饱和现象、周期激励下不存在周期运动的现象。

在两自由度时：（1）内共振现象，以弹簧摆有限振动为例，
经过计算得到：弹簧的伸长和摆动均为有界,而两种运动的幅值交替增减,能量不断在两种振动形式之间交换,变种现象称为内共振。

（2）受迫振动中的饱和现象，以船舶在海浪作用为例，
),,(20x x t f x x ε
ω=+l
g x x l x x l x x m k x g x l x x =+-=+=-=+022120221220220122221201122ωωωωω
2013非线性动力学练习题
（3）受拍振动中的无周期响应现象，
无周期运动。

)cos(2)
cos(2,22212222202211211111201121θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x ：x x 振动方程可写为为仰俯角
为横摇角设。

x x F F 这就是所谓饱和现象能量渗透到饱和幅值就不再增加后超过某一临界值但当仰俯振动的幅值也增加随着激励幅值的增加
开始激发仰俯振动时且从纵向拍击船舶当海浪频率即若存在内共振,),(,,,,
,)0(2,12210201
02=≈≈ωωωω)cos(2)cos(2222122222022112111112011θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x 0102012)(ωωωω≈≈且存在内共振即主共振当。