2019年高考数学试卷(附答案)

2019年高考数学试卷(附答案)
一、选择题
1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆
的实
线部分上运动，且
总是平行于轴，则
周长的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数ln ||
()x
x f x e =
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对
4．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
5．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100
6．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n α，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥；
④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
7．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．
534
B ．
532
C ．
532
D ．
132
9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
10．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
3
-
B ．
13
C ．-3
D ．3
11．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．43
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直
线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 14．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）相切，则a 的值为
____.
15．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
16．已知点()0,1A ，抛物线()2
:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交
于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．
17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
18．已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的
点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：
22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．
19．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===，则ABC △的面积为__________.
20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概
率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；
（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.
23．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的极坐标方程为2
23sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程； （2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t
l y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值.
24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用
A 和
B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行
统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
25．已知函数2()sin(
)sin 32
f x x x x π
=-.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[
,]63
ππ
上的单调区间
26．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2
ADC π
∠=，1
22
AB AD CD ==
=，6PD PB ==，PD BC ⊥．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3
π
？若存在，求
CM
CP
的值；若不存在，说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出． 【详解】
抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，
∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()x
ln x f x =e
，得()f 1=0，()f 1=0-
又()1f e =
0e e >，()1f e =0e
e --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
3．A
解析：A
【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.
5．A
解析：A
【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不
同的放法总数是： 3
6240C = 种.
本题选择A 选项.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m β，n β⊂，n α时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
7．A
解析：A 【解析】
余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=
解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =2
，故选C ．
考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
26
4633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选B. . 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
解析：A 【解析】 【分析】
由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫
⎛
⎫+
=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】
3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tan
tan tan ππαππα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭，故选A .
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
⋅
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

12．A
解析：A
【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+
整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
解析：2 【解析】
试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为
y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以
22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当
，
，
时为椭圆，当
时为双曲线.
14．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3
4
【解析】 【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

【详解】
圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
22121
a a +=+，解得34
a =。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

15．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以
因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
16．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准
【解析】
依题意可得焦点F 的坐标为04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =
13FM MN =∶∶
KN KM ∴=∶
又
014
04
FN K a a --=
=-，
FN KN K KM
==-4
a
-∴
=-a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知
MF MK =，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，
进而求解实数a 的值
17．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16
【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
18．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即
解析：2+
【解析】 【分析】 由题意可得00b
y x a
=
，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c
e a
=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b
y x a
=
，① 又12MF MF ⊥，可得
00001y y
x c x c
⋅=-+-， 即为222
00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，
由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ， 可得2
2b pa =，且2
p
c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=
由c
e a =
，可得2410e e --=，解得2e =+【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范
围)．
19．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去
解析：【解析】 【分析】
本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2
2
21
(2)2262
c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =
解得c c ==-
所以2a c ==
11
sin 22ABC S ac B ∆=
=⨯= 【点睛】
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
20．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660
【解析】 【分析】 【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有22
6215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故
答案为660.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯
错位相减得12
1
1122222
2212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
11
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()
()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231
2
1223
1111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-+
+-+-+-++-
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
()()11
12113621?2n n
n n ++-⎛⎫=-
+--
⎪+⎝⎭
或写成()()()1
1412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两
球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以2
0.50.40.50.60.5P X
(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”
所以4
0.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X
【点睛】
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事
件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档
题．
23．（1
）P
，22(4x y ++=；（2
1-. 【解析】 【分析】
（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】
（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ
代入计算，36P x π
===
，6P
y π=
＝1
2
= ∴点P
的直角坐标(
，由2sin 1ρθ+=
，得221x y ++=，
即(2
2
4x y ++=，所以曲线C
的直角坐标方程为(2
2
4x y ++=
（2）曲线C
的参数方程为22x cos y sin θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参
数），得直线l 的普通方程为270x y --=.
设()
2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，那么点M 到直线l 的距离，
(
)11d θϕ-+
=
=
=
11
1≥
=，
所以点M 到直线l
的最小距离为110
-. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题． 24．（1）1
2
； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】 【分析】
⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数
⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定 【详解】
（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有
1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e
从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .
甲商家被抽到的情况如下：共10种．
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，
记事件A 为甲商家被抽到，则()101202
P A =
=. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为
150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=. （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．
25．（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为22
- （2）f (x )在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【解析】 【分析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．
（2）根据[]20,3
x π
π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,
]6
3
ππ
上的单调区
间． 【详解】
解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+
1sin 22sin(2)23x x x π==-，
即()sin(2)3f x x π=-
故函数的周期为22T ππ==，最大值为12
-． （2）当2[,
]63
x ππ
∈ 时，[]20,3
x π
π-∈，
故当023
2
x ππ
-时，即5[
,
]612x ππ
∈时，()f x 为增函数；
当
22
3
x π
π
π-
时，即52[
,]123
x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
26．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设
CM
CP
=λ，计算平面ABM 和
平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1
2
，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】
（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2
ADC π
∠=,
所以22BD =， 又因为4,4
CD BDC π
=∠=
．根据余弦定理得22,BC =
所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.
又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,
所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，
平面ABCD
平面PBD BD =，
PE ⊥平面ABCD .
如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM
CP
λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,
易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.
设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM
由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.
因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412
224(2)λλλ=+-，
解得
2
,2
3
λλ
==-，（不合题意舍去）.
故存在M点满足条件，且
2
3 CM
CP
=.
【点睛】
本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．。