双曲线的第二定义及其应用(精)
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双曲线的第二定义及其应用
课题:双曲线的第二定义及其应用
课型:新课
班级:高二(1)班
时间:2002年12月31日
授课人:潘际栋
【教学目标】
1、知识目标:进一步学习双曲线的几何性质,理解并掌握双曲线的第二定义,能运用双曲线的第二定义优化解题方法。
2、能力目标:在与椭圆的第二定义的类比中获得双曲线的第二定义,能对知识进行归纳与迁移,从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
3、情感目标:通过发挥类比联想的同时,注意培养学生有根有据、求同存异、实事求是的科学态度和品质,并从中去领略数学中的美。
【教材分析】
1、重点:双曲线的第二定义的的概念及推导。(解决方法:通过与椭圆的第二定义进行类比联想,使学生掌握它们的区别与联系)
2、难点:正确运用双曲线的第二定义于解题中。(解决方法:通过变换题目、一题多解等手段进行巩固、归纳)
【教学方法】
直观发现和严格证明相结合,诱思探究的方法。
【教学手段】
多媒体演示
【教学过程】
(一)知识回顾
椭圆的第二定义:平面内点M 与一个定点F 的距离和它到一定直线的距离的比是常数e (0 问:若定义中的0 (二)探索研究 1、平面内,点M (x,y )与定点F (c,0)的距离和它到直线2 :a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a >>,求点M 的轨迹。 首先通过《几何画板》演示,让学生有一个感性的认识,并从中观察出点的轨迹,然后进行求解。 解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求的轨迹就是 2222222222 222 22||,.,()(). ,1(0,0).MF c c P M d a a c a x a y a c a x y c a b a b a b ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭--=--=-=>>集合化简得设就可化为 这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线。 注:强调在求轨迹的过程中按照“五步法”的步骤进行。 2、双曲线的第二定义(由学生归纳) 平面内点M 与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1),这个点M 的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,它直线是双曲线的准线。 对于双曲线22221x y a b -=,相应于焦点F (c,0)的准线方程是2 a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点F ′(-c,0)的准线方程是2 a x c =-,所以双曲线有两条准线。 (三)例题分析 例1:如果双曲线22 16436 x y -=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8,求点P 到右焦点F 的距离|PF|。 :8,6,10 ||||10,,||1088 a b c PF c PF PF d a ====∴===∴=∴= 解 即点P 到右焦点F 的距离|PF|为10。 如上题如何求P 到左焦点F ′的距离|PF ′|? 解:||PF ′|-|PF||=2a , ∴||PF ′|-10=16, ∴|PF ′|=26 方法二:双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2 ()14.48a a c --=>,故P 点为双曲线右支上的点,∴P 到左准线的距离26428220.8.10 a d d c '=+=+= 由双曲线的第二定义||10||10,,||26.820.88 PF PF PF d '''==∴='即 注:通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。 例2:已知点A (5,3),F (2,0),在双曲线2 2 13y x -=上求一点P ,使1||||2PA PF +的值最小。 解:∵a=1, c=2,e=2c a =, 设点P 到与焦点(2,0)相应的准线的距离为d ,则 ||12,||2PF PF d d =∴= 即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P 点纵坐标为3,∴所求的点为P (2,3)。 (四)随堂练习 1、双曲线22 197 x y -=上一点P 到左、右焦点F 1、F 2的距离之比为1:2,求P 到右准线的距离 d. 211222:3,4, ||||26,||:||1:2, ||124||12,,,9.3a b c PF PF a PF PF PF c PF e d d a d ==∴=-===∴===∴== 解故 2、如上题,试求P 点的坐标。 设P 点的坐标为P (x,y ),则2927||9,44 a x d c =-=-= 显然点P 在双曲线的左支上,270,(,4x P ∴<-可求得 方法二:设点P (x,y )到左、右两准线的距离分别为d 1、d 2, 12111222212||||||1,.3,4,||2 9,4 914,,924 2727((,44PF PF d PF e a b c d d d PF a x c x d P d x P =======∴=±=±--==--- 准线方程为又在双曲线的左支上可求得或 六、课堂小结 1、双曲线的第二定义;平面内到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离的比等于常数e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线。定点为焦点,定直线称为准线,常数为离心率。 2、运用第二定义解题时注意分清对应的焦点与对应的准线。 七、布置作业 课本P 1147—8页。