双曲线的第二定义及其应用(精)

双曲线的第二定义及其应用

课题：双曲线的第二定义及其应用

课型：新课

班级：高二（1）班

时间：2002年12月31日

授课人：潘际栋

【教学目标】

1、知识目标：进一步学习双曲线的几何性质，理解并掌握双曲线的第二定义，能运用双曲线的第二定义优化解题方法。

2、能力目标：在与椭圆的第二定义的类比中获得双曲线的第二定义，能对知识进行归纳与迁移，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

3、情感目标：通过发挥类比联想的同时，注意培养学生有根有据、求同存异、实事求是的科学态度和品质，并从中去领略数学中的美。

【教材分析】

1、重点：双曲线的第二定义的的概念及推导。（解决方法：通过与椭圆的第二定义进行类比联想，使学生掌握它们的区别与联系）

2、难点：正确运用双曲线的第二定义于解题中。（解决方法：通过变换题目、一题多解等手段进行巩固、归纳）

【教学方法】

直观发现和严格证明相结合，诱思探究的方法。

【教学手段】

多媒体演示

【教学过程】

（一）知识回顾

椭圆的第二定义：平面内点M 与一个定点F 的距离和它到一定直线的距离的比是常数e （0

问：若定义中的01，这时点的轨迹又是什么呢？

（二）探索研究

1、平面内，点M （x,y ）与定点F （c,0）的距离和它到直线2

:a l x c

=的距离的比是常数(0)c c a a >>，求点M 的轨迹。

首先通过《几何画板》演示，让学生有一个感性的认识，并从中观察出点的轨迹，然后进行求解。 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求的轨迹就是

2222222222

222

22||,.,()().

,1(0,0).MF c c P M d a a c a x a y a c a x y c a b a b a b ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭--=--=-=>>集合化简得设就可化为 这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线。

注：强调在求轨迹的过程中按照“五步法”的步骤进行。

2、双曲线的第二定义（由学生归纳）

平面内点M 与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，这个点M 的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，它直线是双曲线的准线。 对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点F （c,0）的准线方程是2

a x c

=，根据双曲线的对称性，相应于焦点F ′（－c,0）的准线方程是2

a x c

=-，所以双曲线有两条准线。 （三）例题分析

例1：如果双曲线22

16436

x y -=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8，求点P 到右焦点F 的距离|PF|。

:8,6,10

||||10,,||1088

a b c PF c PF PF d a ====∴===∴=∴= 解 即点P 到右焦点F 的距离|PF|为10。

如上题如何求P 到左焦点F ′的距离|PF ′|？

解：||PF ′|－|PF||=2a ， ∴||PF ′|－10=16， ∴|PF ′|=26 方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2

()14.48a a c

--=>，故P 点为双曲线右支上的点，∴P 到左准线的距离26428220.8.10

a d d c '=+=+= 由双曲线的第二定义||10||10,,||26.820.88

PF PF PF d '''==∴='即 注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。

例2：已知点A （5，3），F （2，0），在双曲线2

2

13y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小。

解：∵a=1，

c=2，e=2c a

=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则

||12,||2PF PF d d =∴= 即在双曲线上求点P ，使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P 点纵坐标为3，∴所求的点为P （2，3）。

（四）随堂练习

1、双曲线22

197

x y -=上一点P 到左、右焦点F 1、F 2的距离之比为1：2，求P 到右准线的距离

d.

211222:3,4,

||||26,||:||1:2,

||124||12,,,9.3a b c PF PF a PF PF PF c PF e d d a d ==∴=-===∴===∴== 解故

2、如上题，试求P 点的坐标。

设P 点的坐标为P （x,y ），则2927||9,44

a x d c =-=-= 显然点P

在双曲线的左支上，270,(,4x P ∴<-可求得 方法二：设点P （x,y ）到左、右两准线的距离分别为d 1、d 2，

12111222212||||||1,.3,4,||2

9,4

914,,924

2727((,44PF PF d PF e a b c d d d PF a x c x d P d x P =======∴=±=±--==--- 准线方程为又在双曲线的左支上可求得或

六、课堂小结

1、双曲线的第二定义；平面内到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离的比等于常数e （e>1）的点的轨迹叫做双曲线。定点为焦点，定直线称为准线，常数为离心率。

2、运用第二定义解题时注意分清对应的焦点与对应的准线。

七、布置作业

课本P 1147—8页。