两整数互质的表示式及证明

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钱自强(qzqiang2012@)

两整数互质的表示式及证明年初我上传了《欧拉函数积性公式证明》，很多学抽象代

数的学生认为这个证明既初等又简捷，并请教我“两整数互

质的表示式及证明”，今天能静下心来写一写，请同学们谅

解到了年底才上传。

设两整数p,q互质，则存在两整数a,b,使以下等式成立：

a·p+b·q=1.......(*)

(*)可以转换为

a·p≡1（modq）.......(**)

首先证明a*,p,q,r均为正整数的情形，设

a*·p≡r（modq）.......(***)

因p与q互质，故q├a*·p,不妨设

a*,r∈M{Z q\0}={1,2,3,...,q-1}, a=a*（modq）

关键思路：对于不同的a*，就有不同的r，否则

△a*·p≡0（modq）但是│△a*│＜q;因此必有且仅有一个a*使得r =1。

其次证明(*)，比较简单由学生自己完成（考虑a与a*的关

系）。

最后请学生思考：

1.从初等数论来说明与a*、p、q之间的关系；

2.构造比M更小的集合M*来阐述a*,r∈M*；

3.证明在模q的运算下M*是一个群,特别是q为素数时,Zq为域。