高考数学二次函数最值

专题

研究

二次函数在区间上的最值问题

制作：浦一中徐转贵

5

2o

x

y

（1）x ∈R ；（2）0≤x≤3（3）-1≤x≤1

解：配方得y=3(x-2)2 –7，如图：

(1)x ∈R 时,当x=2时,y min = －7

5

2o

x

y 3

（1）x ∈R ；（2）0≤x≤3（3）-1≤x≤1

解：配方得y=3(x-2)2 –7，如图：

(1)x ∈R 时,当x=2时,y min = －7(2)0≤x≤3时，函数在[0,2] 上

单调递减,在[2,3]上单调递增∴当x=0时,y max =5

当x=2时，y min = －7

52o x y 1-1-420（1）x ∈R ；（2）0≤x≤3（3）-1≤x≤1

解：配方得y=3(x-2)2 –7，如图：

(1)x ∈R 时,当x=2时,y min = －7(2)0≤x≤3时，函数在[0,2] 上单调递减,在[2,3]上单调递增∴当x=0时,y max =5

当x=2时，y min = －7(3) -1≤x≤1时，函数在[-1,1] 上单调递减∴当x= -1时，y max =20

解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上

2

y x

o 13

a ∴当x=0时，y max =3当x=a 时，y min =a 2-2a+3

1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，

∴当x=0时，y max =3当x=a 时，y min =a 2-2a+3

,函数在[0,1]上单

调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,y min =2当x=0时，y max =3y x

o 1322a 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上

2.当1<a<2时1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，

,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,

y x o 132a 23.当a≥2时,函数在[0,1]上单

调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,y min =2当x=0时，y max =3解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上

1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，y max =3当x=a 时，y min =a 2-2a+3

2.当1<a<2时

解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x ∈[-1,a]2a 故a>-1, > -,∴对称轴在x= -的右边.2a 2121∴(1)当-1< ≤a 时,即a≥0时,由二次函数图象2a 可知: y max =f ( )= 2a 4a 24a 22a x

y o -1a (2)当a< 时,即-1<a<0时,2

a

综上所述:当-1<a<0时, y max =0

解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x ∈[-1,a]2a 故a>-1, > -,∴对称轴在x= -的右边.2a 2121∴(1)当-1< ≤a 时,即a≥0时,由二次函数图象2a 可知: y max =f ( )= 2a 4a 2(2)当a< 时,即-1<a<0时,2a a

24a 22a a x y o -1由二次函数的图象可知:y max =f (a)=0

问题4关于x 的方程x 2-(k-

2)x +k 2+3k+5=0有两个实根α,β. 求α2+β2的最值。

解:由题意,可得⊿=(k-2)2-4(k 2+3k+5) ≥0

即: 3k 2+16k+16 ≤ 0,∴-4≤k≤ -

3

4由方程根与系数的关系知

α+β=k-2,α·β= k 2+3k+5，

∴α2+β2=（α+β）2-2αβ

= -k 2-10k-6=-(k+5)2+19。∵-4≤k≤ -3

4∴当k=-4时，α2+β2有最大值18当k= -时α2+β2有最小值。34

9

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