上海交通大学-理论力学PPT-第10章 质点动力学

重物作减速运动, 因此 0时 , T Tmax
Tmax
讨论：
v2 W (1 ) gl
拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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例
l0
k
弹簧－质量系统，物块 的质量为m ,弹簧的刚度系 数为k,物块自平衡位置的 初始速度为v0。
则轨迹方程为:
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x0 1 y xtg 0 g 2 2 v 0 cos2 0
36
2
dy 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, dt
即
t
v0 sin 0 g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0 cos 0 sg 2 gH
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m(ae ar aC ) F
m ar F m ae m aC
Fe mae
FC maC 2mω vr
mar F Fe FC
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（1）当非惯性参考系作平移时
mar F Fe
列直角坐标形式的质点运动微分方程
dvx m dt 0 m dvy mg dt
对其进行积分
dvx dx m dt 0 dt c1 m dvy mg dy gt c 2 dt dt
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求：物块的运动方程
m v0
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例
l0
k
解：这是已知力(弹簧力)求运动规律， 故为第二类动力学问题。 以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡 位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于 任意位置 x > 0 处。 物块在 x 方向只受有 弹簧力 F＝k x 和重力 W＝mg。 x W
v0 sin 0 2 gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
g 2s2 v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 ) 2 gH 10.5 m/s 2 gH
2 2
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v0 sin 0 2H 0 tg tg 1 31 v0 cos 0 s
第二类问题——已知作用在系统上的力， 求系统的运动规律。
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5
在现代工业和科学迅速发展 的今天,动力学有着广泛的应 用前景.
下列为工程实际中的一些 动力学问题
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7
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能达到飞 离甲板时的速度。
k t m
30
电梯的质量 m =3000kg , 以匀速v =1.5 m/s 下降，若突然刹车停住。 设钢索的刚性系数k=27kN/cm,忽略钢索质量。 求此后电梯的运动规律及钢索最大拉力。
将钢索-电梯系统简化为 弹簧－质量系统
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l0
k
F O x m x W
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成
的系统。 3.刚体：由无数个相互间保持距离不变的质点组成的 质点系。又称为不变质点系。 4.刚体系：由许多刚体组成的系统称为刚体系。
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动力学研究的两类问题
第一类问题——已知系统的运动规律， 求作用在系统上的力。
dx x c1t c3 dt c1 1 dy gt c y 2 gt2 c2t c4 2 dt
代入初始条件得: c1 v0 cos 0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
1 2 则运动方程为: x v0t cos 0 , y v0t sin 0 gt 2
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
牛顿三定律是质点动力学的基础,也是整个动力 学的理论基础。
第一定律：惯性定律。 第三定律：作用和反作用定律。
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§ 10.1 惯性参考系中的质点动力学
1. 牛顿第二定律 （动力学基本方程）
ma
F
i
i
质点的质量与质点加速度的乘积等于作用在 质点上力系的合力。
F

iτ

F
ib
in
0
F
式中F , Fn , Fb 分别为力F在自然轴系
轴, n轴和b轴上的投影。
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[例] 桥式起重机跑车吊挂一重为W 的重物，沿水平横梁作匀速运动， 速度为v，重物中心至悬挂点距离为l。若突然停车，重物因惯性绕
悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
k P O k
求：1、物块的相对运动微分方程； 2、物块对槽壁的侧压力。
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例 题
1
37
§ 10.2 非惯性参考系中的质点动力学
sa z z´ r´ O´ x´ P
惯性参考系－ O x y z
非惯性参考系－ O´x´y´z´
y´
sr
绝对运动轨迹 sa－质点P 在惯性参考系中的运动轨迹 y
相对运动轨迹 sr－质点P在 非惯性参考系中的运动轨迹
O
x
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ix iy
iz
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柱坐标形式的 质点运动微分方程
m（ ） Fi
2
m（ 2 ） Fi m Fiz z
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球坐标形式的 质点运动微分方程
m( r 2 r 2 sin 2 ) Fi r
（2）当质点相对非惯性参考系静止时
F Fe 0
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（3）当质点相对非惯性参考系作匀速直线运动时
F Fe FC 0
（4）当非惯性参考系作匀速直线平移时
mar F
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飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象
惯性参考系－地球
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2. 质点运动微分方程（矢量形式）
dv m F dt
d r m 2 F dt
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2
直角坐标形式的 质点运动微分方程
F m F y m F z
m x
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解：取重物为研究对象作受力分析
运动分析：
以O为圆心, l为半径的圆周运动。
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应用弧坐标形式的质点运动微方程
W s2 man Fn , FT W cos g l
s2 FT W (cos ) gl
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2 ＋ 0 x 0 x
两次积分得：
x Asin( 0t )
t 0时,
x0 0, x0 v0
x0 0 A , tan v 0; 0 0 v0
1
x v0
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m sin k
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sa z z´ r´ O´ x´ P F sr
F －作用在质点上的力
y´
对质点P应用牛顿第二定律
m aa F
y
aa－质点的绝对加速度。
O
x
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m aa F
根据加速度合成定理
aa ae a r aC
ae－ 牵连加速度 ar－ 相对加速度 aC－ 科氏加速度
第三篇 矢量动力学
动力学 研究物体的运动与作用在物体上的力之间的关系。 矢量动力学 在牛顿运动定律的基础上，以矢量形式建立质点 系的受力与各种运动量之间的关系。
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1
矢量动力学
质点在惯性系中的动力学 。
质点在非惯性系中的动力学。
质点： 动量定理 、动量矩定理 、 动能定理。 质点系： 动量定理、动量矩定理、动能定理。
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飞行员的黑晕和红视现象
爬升时：a > 5g
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俯冲时：a > 2g
13
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14
北半球由南向北流动的河流对河岸将产生什么作用
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15
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第十章 质点动力学
质点动力学 动力学分类:
非惯性参考系－人 动点－血流质点 牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。
爬升时：a > 5g
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飞机急速俯冲时飞行员的红视现象
惯性参考系－地球 非惯性参考系－人 动点－血流质点 牵连惯性力向上，使血流 自下而上加速流动，造成 大脑充血，形成红视现象。
k ＋ x 0 , ຫໍສະໝຸດ Baidu x m
2 0 2 0
x Asin( 0t )
0
k 30 m
1
A
0
v0
0.05
x0 0 tan v 0 0
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x 0.05 sin30 t
m
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钢索最大拉力 l0
解：属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M 作斜抛运动。
设t 0时： x0 0, v0 x v0 cos 0 ,
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y0 0; v0 , 0为待求值
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v0 y v0 sin 0 ,
t 瞬时 , M A , x S , y H ,
k
F O x m x W
Fmax k xm s
x 0.05 sin30 t
xm 0.05m
s
mg 0.011m k
m
Fmax k xm s 6mg
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例 用填充机进行填料, 为保证充填 材料抛到距离为S =5米,H=1.5米的A处。 求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？
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2
矢量动力学的研究方法
1. 根据研究对象和所研究的问题，经过合理的抽象和 简化，建立力学模型。 2. 应用力学模型运动规律的有关定律和定理，通过数学 分析与计算，导出与所研究的问题有关的解答或一些 结论。
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3
动力学的力学模型：
2r r 2 cos sin ) F m(r i
m(r sin 2r sin 2r cos ) Fi
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弧坐标形式的 质点运动微分方程
m s m s2
若已知初速度、一定的 时间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多大 推力，或者确定需要多长的 跑道。
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高速列车的振动问题
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俯冲时：a > 2g
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水流科氏惯性力对右岸的冲刷
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例 题
开有矩形槽的大盘以等角速度 绕O轴旋转。矩形槽内安置物 块-弹簧系统，物块P的质量为m， 弹簧的刚度系数为k 。初始状态 下，物块处于大盘圆心O ，这时 弹簧不变形。
O
x m
F
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例
根据直角坐标系中的质点运动微分方程 l0 k
m x
F
O
F
ix
st
x m
m＝－k ( x st ) mg x
mg st k
x
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W
k ＋ x 0 , x m
2 0 2 0