小波分析简介

2018/11/17
10
Fourier变换（FT）:
ˆ f

f t e
it
dt
离散Fourier变换:
F ck ck e ik
k

数字信号的离散Fourier变换就是以数字信号为系数的 Fourier级数
2018/11/17
11
有限数字信号的 FT
正变换
ˆ m xn e X
n 0 N 1 i 2mn N
Baidu Nhomakorabea
逆变换
1 ˆ me xn X N m 0
N 1
2mn i N
2018/11/17
12
FT在信号处理中的局限性 用傅立叶变换提取信号的频谱需要 利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的 变化信号频率成分的变化情况。
2018/11/17
13
在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范 围中的特征, 例如： 在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么 样的音符； 对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什 么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分 的位置，即纹理结构。 这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析
2018/11/17
17
1 2 ˆ R , w L R , 且 w L 如果函数
ˆ 被称为窗函数.它的中心和半径分别 则w 定义为： 1 2 ˆ d 0 w 中心： 2
ˆ w
2
半径：
1 2 2 ˆ d w ( 0 ) w ˆ ˆ 2 w
2018/11/17 16
窗函数的定义实际上就是对函数衰 减性的控制，也就是说窗函数具有在坐 标轴上具有很好的衰减性，从而达到对 坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确 定的窗口是对它的局部性的一次刻画， 它是可用来对信号进行时频局部化分析 的基本函数，而窗函数本身则可由窗口 的尺度来表征其局部性，若 w 越小，则 说明 wt 在时域上的局部化程度越高。
1. 分析原理
2. 算例
2018/11/17
7
有待讨论和进一步学习的问题
正交小波构造的进一步讨论 正交小波包 双正交小波变换 小波分析的更广泛应用
2018/11/17
8
谢 谢 ！
2003. 6. 5
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最 重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
2018/11/17
20
窗函数的举例
Gaussian 函数
1
2018/11/17
21
短时Fourier变换
ˆ 都是窗函数， 若wt , w 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )



f t eit wt bdt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
2
0
t0
2 ˆ
窗口中心： t 0 , 0
窗口面积： 4 w w ˆ
2018/11/17
19
Heisenberg测不准原理
设 wt 能确定一个矩形窗，则：
w w ˆ
1
1 2
t2 exp 2 当且仅当 wt 等号成立. 14 12 2 w 4 w
1 2
该窗函数所确定的频域窗 0 w ˆ , 0 w ˆ
2018/11/17 18
一个时域函数为窗函数，并不一定其 Fourier变换也为窗函数。只有当、同 时为窗函数时，才能在相空间确定一 个矩形窗口: t0 w , t0 w 0 w ˆ ,0 w ˆ
3. 多尺度分析举例
2018/11/17
5
(五)一维正交小波变换 1. 正交小波与小波级数 2. 正交小波与多尺度分析的关系 3. 一维正交小波变换 4. 离散信号的一维正交小波变换 5. 正交小波变换的矩阵形式 6. 正交小波与二进小波的比较
2018/11/17 6
(六)小波分析在单自由度 动力分析中的应用
2018/11/17 22
令 Wb, t eit wt b，则短时FT为
Parseval 恒等式
1 ˆ ˆ ~ (Gb f ) f t Wb, t dt f ,Wb, f ,Wb, 2
ˆ 都是窗函数，其确定 可以证明 Wb, 和 W b, 的矩形窗口为
主要内容
Fourier变换与信号时频局部化分析 连续小波变换 二进小波变换 L2（R）的多尺度分析 正交小波变换 小波分析的应用实例
2018/11/17
1
(一) Fourier变换 与信号时频局部化分析
1. 信号与Fourier变换 2. 时频局部化分析
相空间与窗函数 短时Fourier变换
2018/11/17
2018/11/17
14
相空间是指以“时间”为横坐标， “频域”为纵坐标的欧氏空间，而相空 间中的有限区域被称为窗口，沿时间轴 的一段区间被称为时间窗，沿频率轴的 一段区间被称为频率窗。

t
2018/11/17 15
窗函数的数学定义 1 2 R , w t L R , 且 tw t L 如果函数
则 wt 被称为窗函数.它的中心和半径分别 定义为： 1 2 t w t dt 中心： t 0 2
w
2
半径：
1 2 2 w (t t 0 ) wt dt w 2
1 2
该窗函数所确定的时间窗 t 0 w , t 0 w
2
(二) 连续小波变换
1. 连续小波函数 2. 常见小波函数举例 3. 连续小波变换
2018/11/17
3
(三) 二进小波变换 1. 二进小波变换的定义 2. 二进小波的构造 3. 有限信号二进小波变换 的算法及应用
2018/11/17
4
(四) 多尺度分析
1. 多尺度分析的基本概念 2. 双尺度差分方程