2.3-函数的单调性2
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§3 函数的单调性(二)
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学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(重点)； 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求 函数最值是函数单调性的应用之一(重、难点)．
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预习教材 P38－39 完成下列问题： 知识点一 函数最大值与最小值
最大值
最小值
条件 结论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)___≤___ M
f(x)__≥____ M
来自百度文库
存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_＝__M___
称M是函数y＝f(x)的最大 称M是函数y＝f(x)的最小
值
值
几何 f(x)图像上最高点的 意义 _纵__坐__标_____
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题型一 图像法求函数的最值
【例1】 (1)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图像，则它的最 大值、最小值分别是________，________．
x2，－1≤x≤1，
(2)已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最小
值．
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(1)解析 由图像知当x＝3时，f(x)取最大值3，当x＝－1.5 时，f(x)取最小值－2． 答案 3 －2 (2)解 作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知，当x＝±1 时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时f(x)取最小值f(0)＝ 0，故f(x)的最大值为1，最小值为0．
为__f_(b_)____，最小值为__f_(a_)___．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值
为__f_(_a_)__，最小值为___f_(_b_) _．
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【预习评价】 1 ． 结 合 教 材 P38 例 4 ， 你 认 为 应 怎 样 求 函 数 的 最 大 值 、 最 小
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3．函数f(x)最大值、最小值的几何意义是什么？ 提示:函数最大值的几何意义是对应图像最高点的 纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图像的最 低点的纵坐标．
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知识点二 函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值
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规律方法 解答实际问题的步骤 (1)审题：审读实际问题，找出已知条件，未知条件，确定 自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定 注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
的图
x2＋2x－1，x∈[0，＋∞
像，并写出函数的单调区间及函数的最小值．
解 f(x)的图像如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0) 和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1．
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题型二 函数最值的应用 【例2】 (1)某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，销售t辆
该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－t2＋21t和L2＝2t. 若 该 公 司 在 两 地 共 销 售 15 辆 车 ， 则 能 获 得 的 最 大 利 润 是 ________万元． (2)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产 销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万 元，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成 本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入 R(x)(万元)满足：
值？ 提示: 第一步：利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单 调性．
第二步：根据单调性确定函数的最大值、最小值．
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2．函数f(x)＝|x|的最小值是________． 解析 因为 f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0， 所以 f(x)的最小值是 0． 答案 0
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规律方法 利用图像法求函数最值的依据及步骤 (1)依据：以函数最值的几何意义为依据，常用于图像易作 出的函数求最值． (2)步骤 ①作：作出函数图像； ②找：在图像上找到最高点和最低点的纵坐标； ③定：确定函数的最大(小)值．
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【训练 1】 画出函数 f(x)＝－2x，x∈－∞，0，
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R(x)＝－ 11，0.4xx>25＋，4.2x，0≤x≤5， 假定该产品产销平衡(即 生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问 题： ①写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成 本)． ②工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
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(1)解析 设在甲地销售 x 辆，在乙地销售(15－x)辆，设销售 利润为 L，则 L＝－x2＋21x＋2(15－x) ＝－x2＋19x＋30 ＝－x－1292＋30＋1492． 所以，当 x＝9 或 x＝10 时，L 取最大值为 120．
答案 120
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(2)解 ①由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.52.x－2.8，0≤x≤5， ②当 x>5 时，因为函数 f(x)单调递减，所以 f(x)<f(5)＝3.2(万 元)， 当 0≤x≤5 时，函数 f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当 x＝4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使赢利最大为 3.6 万元．
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【训练2】 某特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价 为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可 销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒 20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减 少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元． (1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(元)与 每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式． (2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润 y(元)最大，并求出这个最大值．
f(x)图像上最低点的 __纵__坐__标____
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【预习评价】 1．任何函数都有最大值或最小值吗？
提示:不一定，如函数y＝x，x∈R时就无最大值和最小值． 2．若函数f(x)＝x2≥－1恒成立，则此函数的最小值就是－1吗？
提示:不对．虽然x2≥－1恒成立，但在函数定义域内找不到一 个x0的值使f(x0)＝－1，根据最小值定义可知此结论不成立．
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学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(重点)； 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求 函数最值是函数单调性的应用之一(重、难点)．
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预习教材 P38－39 完成下列问题： 知识点一 函数最大值与最小值
最大值
最小值
条件 结论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)___≤___ M
f(x)__≥____ M
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存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_＝__M___
称M是函数y＝f(x)的最大 称M是函数y＝f(x)的最小
值
值
几何 f(x)图像上最高点的 意义 _纵__坐__标_____
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题型一 图像法求函数的最值
【例1】 (1)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图像，则它的最 大值、最小值分别是________，________．
x2，－1≤x≤1，
(2)已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最小
值．
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(1)解析 由图像知当x＝3时，f(x)取最大值3，当x＝－1.5 时，f(x)取最小值－2． 答案 3 －2 (2)解 作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知，当x＝±1 时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时f(x)取最小值f(0)＝ 0，故f(x)的最大值为1，最小值为0．
为__f_(b_)____，最小值为__f_(a_)___．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值
为__f_(_a_)__，最小值为___f_(_b_) _．
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【预习评价】 1 ． 结 合 教 材 P38 例 4 ， 你 认 为 应 怎 样 求 函 数 的 最 大 值 、 最 小
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3．函数f(x)最大值、最小值的几何意义是什么？ 提示:函数最大值的几何意义是对应图像最高点的 纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图像的最 低点的纵坐标．
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知识点二 函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值
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规律方法 解答实际问题的步骤 (1)审题：审读实际问题，找出已知条件，未知条件，确定 自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定 注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
的图
x2＋2x－1，x∈[0，＋∞
像，并写出函数的单调区间及函数的最小值．
解 f(x)的图像如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0) 和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1．
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题型二 函数最值的应用 【例2】 (1)某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，销售t辆
该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－t2＋21t和L2＝2t. 若 该 公 司 在 两 地 共 销 售 15 辆 车 ， 则 能 获 得 的 最 大 利 润 是 ________万元． (2)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产 销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万 元，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成 本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入 R(x)(万元)满足：
值？ 提示: 第一步：利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单 调性．
第二步：根据单调性确定函数的最大值、最小值．
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2．函数f(x)＝|x|的最小值是________． 解析 因为 f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0， 所以 f(x)的最小值是 0． 答案 0
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规律方法 利用图像法求函数最值的依据及步骤 (1)依据：以函数最值的几何意义为依据，常用于图像易作 出的函数求最值． (2)步骤 ①作：作出函数图像； ②找：在图像上找到最高点和最低点的纵坐标； ③定：确定函数的最大(小)值．
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【训练 1】 画出函数 f(x)＝－2x，x∈－∞，0，
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R(x)＝－ 11，0.4xx>25＋，4.2x，0≤x≤5， 假定该产品产销平衡(即 生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问 题： ①写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成 本)． ②工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
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(1)解析 设在甲地销售 x 辆，在乙地销售(15－x)辆，设销售 利润为 L，则 L＝－x2＋21x＋2(15－x) ＝－x2＋19x＋30 ＝－x－1292＋30＋1492． 所以，当 x＝9 或 x＝10 时，L 取最大值为 120．
答案 120
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(2)解 ①由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.52.x－2.8，0≤x≤5， ②当 x>5 时，因为函数 f(x)单调递减，所以 f(x)<f(5)＝3.2(万 元)， 当 0≤x≤5 时，函数 f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当 x＝4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使赢利最大为 3.6 万元．
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【训练2】 某特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价 为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可 销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒 20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减 少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元． (1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(元)与 每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式． (2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润 y(元)最大，并求出这个最大值．
f(x)图像上最低点的 __纵__坐__标____
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【预习评价】 1．任何函数都有最大值或最小值吗？
提示:不一定，如函数y＝x，x∈R时就无最大值和最小值． 2．若函数f(x)＝x2≥－1恒成立，则此函数的最小值就是－1吗？
提示:不对．虽然x2≥－1恒成立，但在函数定义域内找不到一 个x0的值使f(x0)＝－1，根据最小值定义可知此结论不成立．