同济大学-高等数学微积分教案设计

第一章：函数与极限

1.1 初等函数图象及性质

1.1.1 幂函数

函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]

1.1.2 指数函数与对数函数

1．指数函数

函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。

因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。

若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0

由于y=(1/a)-x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。[如图]

2．对数函数

指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a>0，a≠1），叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。

y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。

若a>1，对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间(1,+∞)函数值为正。

若0

1．三角函数

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。

2．反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。

这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。

例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[-，]上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。

这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有。

1.2 数列极限的概念

设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时都有，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。

数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间。

1.3 函数极限的概念

设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，为2。

1.4 单调有界数列必有极限

单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。

在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。

对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。

从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即。可以证明，当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e，这

个e是无理数，它的值是 e = 2.9045…

1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则

我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西（Cauchy）极限存在准则数列收敛的充分必要条件是：

对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有。

必要性的证明设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当n>N时，有；

同样，当m>N时，也有。

因此，当m>N， n>N时，有

所以条件是必要的。充分性的证明从略。

这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。

1.6 连续函数

1.6.1 定义：若函数f(x)在x0点的附近包括x0点本身有定义，并且，

则称f(x)在x0点连续，x0为f(x)的连续点。[如图]

1.6.2 充要条件：f(x)在x0点既是左连续又是右连续。

初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间的连续函数。

1.6.3 三类不连续点：

(1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如图]

(2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。[如图]

(3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义。[如图]

1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同

1.7.1 定义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间任意两点x1,x2，当时总有，就称f(x)在区间一致连续。

1.7.2 与连续的比较：

(1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。

(2)连续函数对于某一点x0，取决于x0和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。

(3)一致连续的函数必定连续。[例：函数y = 1/x，当x∈(0,1)时非一致连续，当x∈(C,1)时一致连续]

(4)康托定理：闭区间[a , b]上的连续函数f(x)一定在[a , b]上一致连续。

第二章：导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。

2.1 导数的概念

2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该领域）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,

即,也可记作。

导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和

导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。

2.1.2 求导举例

例求函数（n为正整数)在处的导数

解

把以上结果中的换成得,即

更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式.