北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
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8．C
【分析】
①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD sin∠AOC ，可得结论③正确．
【详解】
解：①当a≥1时，把x＝0代入直线方程可得y＝a，把y＝0代入直线方程可得x ，
∴S△AOB a ，故结论①正确；
13．
【分析】
设 ，根据条件结合距离公式求出 ，即可求得 .
【详解】
由已知可得 ，设 ，
，
则 ，解得 ，
.
故答案为： .
14．
【分析】
易知直线 的斜率存在，设斜率为 ，由 与圆相切，可建立等式关系，即可求出 的方程，再由直线 与直线 垂直，可建立斜率关系，即可求出 的值.
【详解】
由题意，圆 的圆心为 ，半径为 .
联立 ，得到 ，
由韦达定理，有 ，
O到直线l的距离为 ，
.
则 .
所以 ，化简得 ，解得 ，
所以直线 ： 或 .
18．（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）设 ，可得 ，分别表示出 ，即可得到 的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得 ，代入 中，可求出答案；
（2）易知 ，结合PQ⊥PA，即 ，可得 ，进而求出直线 的方程，令 ，可得得 ，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为 ，从而可知直线PB与x轴垂直.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
9．已知直线 与直线 平行，则实数
10．双曲线 的两条渐近线的方程为________.
11．已知 为双曲线 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近线的距离为_______.
12．已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上的点， 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．
【详解】
解：由题意可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A
4．C
【分析】
设直线 与圆 交于 两点，从点 向直线 作垂线，垂足为 ，连结 ，由点到直线的距离公式，可求出 ，再结合 ，可求出答案.
【详解】
设直线 与圆 交于 两点，从点 向直线 作垂线，垂足为 ，连结 ，
则 ， .
故选：C.
【详解】
（1）设 ，则 ，
则 ， ，
因为P，A都在椭圆上，所以 .
所以 .
（2）因为 ，又PQ⊥PA，即 ，
所以 ，所以直线 ： ，令 ，得 ，
因为P在直线y=kx上，所以 ，代入得到B点的横坐标为 ，
所以直线PB与x轴垂直.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（Ⅱ）设圆 的半径为 ，圆心纵坐标为 ，由已知条件列出方程，求出 与 ，由此能求出圆 的方程；（Ⅲ）设 ，根据 列出 且 ，化简可得到 的轨迹方程.
试题解析：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4.
设双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 到渐近线的距离为 ，
故答案为：1．
12．
【详解】
过点 作 轴于点 ，如图所示：
由 是底角为 的等腰三角形得， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，即离心率 ，故答案为 ．
【方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据 建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出 之间的关系，求出离心率 ．
（2）当△ 面积等于 时，求直线 的斜率.
18．如图，已知直线 与椭圆 交于 两点.过点 的直线 与 垂直，且与椭圆 的另一个交点为 .
（1）求直线 与 的斜率之积；
（2）若直线 与 轴交于点 ，求证： 与 轴垂直.
参考答案
1．A
【分析】
由斜率公式，可求出直线AB的斜率.
【详解】
由 ，可得 .
故选：A.
16．（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）设点 ， ， ， ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合 ，进而得到 的周长．
【详解】
（1） ，
整理得 ，
则 ，
，其中 ；
（2）由 ，
则 ，解得 ，
经检验，此时 ，
所以 ，
由抛物线的定义，
②当a≥1时，|AB| ，故|AB|2＝a2 ，
直线l可化为a2x+y﹣a＝0，圆心O到l的距离d
，故|CD|2＝4（1﹣d2）＝4（1 ），
假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2 4（1 ），
整理可得（a2 ）2﹣4（a2 ）+4＜0，即（a2 2）2＜0，
显然矛盾，故结论②错误；
北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，则直线AB的斜率为（）
A．2B．1C． D．不存在
2．圆心为 且过点 的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
3．焦点在 轴上的椭圆 的离心率是 ，则实数 的值是（）
A． B． C． D．
4．已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 所截的弦长为（）
A． B． C． D．2
5．已知抛物线 的焦点为F， 是C上一点， ，则 =（）
A．1B．2C．4D．8
6．过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的动弦 的中点的横坐标为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
8．直线l：ax+ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB= ；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜ .其中，所有正确结论的序号是（ ）
有 ，
又 ，
所以 的周长为 ．
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式 ；（2）利用 ；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
17．（1） ；（2）
【分析】
（1）先求出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，可求出 的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；
2．D
【分析】
由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．
【详解】
∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），
∴圆的半径 ，
则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝25．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型．
3．A
【分析】
由题意可得 ，则 ，再由离心率是 ，可得 ，从而可求出实数 的值
13．已知点 ，抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则
三、双空题
14．已知过点 的直线 与圆 相切，且与直线 垂直，则实数 ___________；直线 的方程为___________.
四、解答题
15．已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.
（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；
当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.
故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0.
点睛：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设 是轨迹上的任意一点；②寻找动点 所满足的条件；③用坐标 表示条件，列出方程 ；④化简方程 为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.
（Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.
此时圆心纵坐标b=r-1=12.
所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169.
（Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM⊥PM.
即 （x≠0且x≠-5），
整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）.
S△COD |OA||OC|sin∠AOC sin∠AOC ，
故∃a≥1，使得S△COD ，结论③正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题．
9．1或-1
【分析】
直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.
【详解】
时，不合题意；
时，由直线 与直线 平行可得直线斜率相等，
即 ，
故答案为：1或-1.
10．
【分析】
令 解得结果
【详解】
令 解得两条渐近线的方程为
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．1
【分析】
求出双曲线的 ， ， ，可设 ，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．
【详解】
双曲线 的 ， ， ，
则可设 ，
从而倾斜角取值范围是 ，选D.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.
7．B
【分析】
设 ， ，可得 ，由抛物线的定义可知 ，再结合 ，可求出 的最大值.
【详解】
设 ， ，则 .
由抛物线的定义可知 ，
由图可知 ，即 ，当且仅当直线 过焦点F时， 取得最大值6.
故选：B.
若直线 的斜率不存在，则直线 为 ，此时 与圆不相切，不符合题意；
若直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 为 ，
则 ，解得 ，即直线 为 ，
因为直线 与直线 垂直，所以 ，即 .
故答案为： ； .
15．（Ⅰ）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x2+y2+5x-14y+24=0.
（2）易知直线 斜率存在，可表示出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出 的表达式，及点 到直线 的距离 的表达式，结合 ，可求出直线 的斜率.
【详解】
（1）因为直线l过 ，斜率为 ，所以 ： .
联立 ，得到 .
由韦达定理，有 ，
设 ，则 ， ，
所以 ， .
（2）由题意，可知直线 斜率存在，设斜率为 ，则为 ： ，
5．A
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】
由抛物线 可得 ，
准线方程 ，
， 是 上一点， ， ．
，
解得 ．
故选： ．
6．D
【分析】
先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.
【详解】
由题意得直线 斜率存在，设为k，则直线 ： ，
由直线 与圆 有公共点得 ，
（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 相交于 两点.
（1）将 表示为 的函数；
（2）若 ，求 的周长.
17．已知椭圆 ，直线 过点 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点.
（1）设 为 的中点，当直线 的斜率为 时，求线段 的长；
【分析】
①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD sin∠AOC ，可得结论③正确．
【详解】
解：①当a≥1时，把x＝0代入直线方程可得y＝a，把y＝0代入直线方程可得x ，
∴S△AOB a ，故结论①正确；
13．
【分析】
设 ，根据条件结合距离公式求出 ，即可求得 .
【详解】
由已知可得 ，设 ，
，
则 ，解得 ，
.
故答案为： .
14．
【分析】
易知直线 的斜率存在，设斜率为 ，由 与圆相切，可建立等式关系，即可求出 的方程，再由直线 与直线 垂直，可建立斜率关系，即可求出 的值.
【详解】
由题意，圆 的圆心为 ，半径为 .
联立 ，得到 ，
由韦达定理，有 ，
O到直线l的距离为 ，
.
则 .
所以 ，化简得 ，解得 ，
所以直线 ： 或 .
18．（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）设 ，可得 ，分别表示出 ，即可得到 的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得 ，代入 中，可求出答案；
（2）易知 ，结合PQ⊥PA，即 ，可得 ，进而求出直线 的方程，令 ，可得得 ，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为 ，从而可知直线PB与x轴垂直.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
9．已知直线 与直线 平行，则实数
10．双曲线 的两条渐近线的方程为________.
11．已知 为双曲线 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近线的距离为_______.
12．已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上的点， 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．
【详解】
解：由题意可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A
4．C
【分析】
设直线 与圆 交于 两点，从点 向直线 作垂线，垂足为 ，连结 ，由点到直线的距离公式，可求出 ，再结合 ，可求出答案.
【详解】
设直线 与圆 交于 两点，从点 向直线 作垂线，垂足为 ，连结 ，
则 ， .
故选：C.
【详解】
（1）设 ，则 ，
则 ， ，
因为P，A都在椭圆上，所以 .
所以 .
（2）因为 ，又PQ⊥PA，即 ，
所以 ，所以直线 ： ，令 ，得 ，
因为P在直线y=kx上，所以 ，代入得到B点的横坐标为 ，
所以直线PB与x轴垂直.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（Ⅱ）设圆 的半径为 ，圆心纵坐标为 ，由已知条件列出方程，求出 与 ，由此能求出圆 的方程；（Ⅲ）设 ，根据 列出 且 ，化简可得到 的轨迹方程.
试题解析：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4.
设双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 到渐近线的距离为 ，
故答案为：1．
12．
【详解】
过点 作 轴于点 ，如图所示：
由 是底角为 的等腰三角形得， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，即离心率 ，故答案为 ．
【方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据 建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出 之间的关系，求出离心率 ．
（2）当△ 面积等于 时，求直线 的斜率.
18．如图，已知直线 与椭圆 交于 两点.过点 的直线 与 垂直，且与椭圆 的另一个交点为 .
（1）求直线 与 的斜率之积；
（2）若直线 与 轴交于点 ，求证： 与 轴垂直.
参考答案
1．A
【分析】
由斜率公式，可求出直线AB的斜率.
【详解】
由 ，可得 .
故选：A.
16．（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）设点 ， ， ， ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合 ，进而得到 的周长．
【详解】
（1） ，
整理得 ，
则 ，
，其中 ；
（2）由 ，
则 ，解得 ，
经检验，此时 ，
所以 ，
由抛物线的定义，
②当a≥1时，|AB| ，故|AB|2＝a2 ，
直线l可化为a2x+y﹣a＝0，圆心O到l的距离d
，故|CD|2＝4（1﹣d2）＝4（1 ），
假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2 4（1 ），
整理可得（a2 ）2﹣4（a2 ）+4＜0，即（a2 2）2＜0，
显然矛盾，故结论②错误；
北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，则直线AB的斜率为（）
A．2B．1C． D．不存在
2．圆心为 且过点 的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
3．焦点在 轴上的椭圆 的离心率是 ，则实数 的值是（）
A． B． C． D．
4．已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 所截的弦长为（）
A． B． C． D．2
5．已知抛物线 的焦点为F， 是C上一点， ，则 =（）
A．1B．2C．4D．8
6．过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的动弦 的中点的横坐标为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
8．直线l：ax+ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB= ；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜ .其中，所有正确结论的序号是（ ）
有 ，
又 ，
所以 的周长为 ．
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式 ；（2）利用 ；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
17．（1） ；（2）
【分析】
（1）先求出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，可求出 的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；
2．D
【分析】
由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．
【详解】
∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），
∴圆的半径 ，
则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝25．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型．
3．A
【分析】
由题意可得 ，则 ，再由离心率是 ，可得 ，从而可求出实数 的值
13．已知点 ，抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则
三、双空题
14．已知过点 的直线 与圆 相切，且与直线 垂直，则实数 ___________；直线 的方程为___________.
四、解答题
15．已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.
（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；
当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.
故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0.
点睛：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设 是轨迹上的任意一点；②寻找动点 所满足的条件；③用坐标 表示条件，列出方程 ；④化简方程 为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.
（Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.
此时圆心纵坐标b=r-1=12.
所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169.
（Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM⊥PM.
即 （x≠0且x≠-5），
整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）.
S△COD |OA||OC|sin∠AOC sin∠AOC ，
故∃a≥1，使得S△COD ，结论③正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题．
9．1或-1
【分析】
直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.
【详解】
时，不合题意；
时，由直线 与直线 平行可得直线斜率相等，
即 ，
故答案为：1或-1.
10．
【分析】
令 解得结果
【详解】
令 解得两条渐近线的方程为
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．1
【分析】
求出双曲线的 ， ， ，可设 ，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．
【详解】
双曲线 的 ， ， ，
则可设 ，
从而倾斜角取值范围是 ，选D.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.
7．B
【分析】
设 ， ，可得 ，由抛物线的定义可知 ，再结合 ，可求出 的最大值.
【详解】
设 ， ，则 .
由抛物线的定义可知 ，
由图可知 ，即 ，当且仅当直线 过焦点F时， 取得最大值6.
故选：B.
若直线 的斜率不存在，则直线 为 ，此时 与圆不相切，不符合题意；
若直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 为 ，
则 ，解得 ，即直线 为 ，
因为直线 与直线 垂直，所以 ，即 .
故答案为： ； .
15．（Ⅰ）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x2+y2+5x-14y+24=0.
（2）易知直线 斜率存在，可表示出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出 的表达式，及点 到直线 的距离 的表达式，结合 ，可求出直线 的斜率.
【详解】
（1）因为直线l过 ，斜率为 ，所以 ： .
联立 ，得到 .
由韦达定理，有 ，
设 ，则 ， ，
所以 ， .
（2）由题意，可知直线 斜率存在，设斜率为 ，则为 ： ，
5．A
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】
由抛物线 可得 ，
准线方程 ，
， 是 上一点， ， ．
，
解得 ．
故选： ．
6．D
【分析】
先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.
【详解】
由题意得直线 斜率存在，设为k，则直线 ： ，
由直线 与圆 有公共点得 ，
（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 相交于 两点.
（1）将 表示为 的函数；
（2）若 ，求 的周长.
17．已知椭圆 ，直线 过点 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点.
（1）设 为 的中点，当直线 的斜率为 时，求线段 的长；