异面直线所成角的求法
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（4）以B为特殊点
E
C
B
F A
G
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
练习2
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
练习2（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
练习2 （解法三）
E C
S
A F B
S E C
B F
A
例 １ 在正方ห้องสมุดไป่ตู้ABCD—A1B1C1D1中，指
出下列各对线段所成的角： D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1 3) A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
2）A1 B1与AC所成的角= 4 5°
A
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
B1 C
B
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
(2)以A为特殊点
E
C F
B G
A
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（3）以F为特殊点
D
G
C F A
E B
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角. D
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 A1
= 9 0°
D
C1 B1
C
2）与棱BB1垂直的棱有：
A
D1
相交：A1B1、 AB、B1C1、BC、 A1
异面：A1D1、AD、 D1C1、 DC、
相交垂直 垂直
D
异面垂直
A
B
C1 B1
C B
例 ２：如图，空间四边形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,点M,N分别是AB,CD的中点,且 MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.
Ｂ Ａ
a
点A
点B
A 直线a
a
直线AB与a异面.
异面直线所成角定义:
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
注意：异面直线所成角的范围是 （0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
典型例题:
知识回顾：
空间直线的三种位置关系:
（1）相交直线— 有且仅有一个公共点．
（2）平行直线— 在同一个平面内，没有公共点．
（3）异面直线— 不同在任何一个平面内，没有
公共点．
b
a α
b O
a b
α
M
a α
(1)
(2)
(3)
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A
.G
M
DN
B
C
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和 对角线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
D
G.
E
C
B
F A
(1)以E为特殊点
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角. D
E
C
B
F A
G
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
练习2
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
练习2（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
练习2 （解法三）
E C
S
A F B
S E C
B F
A
例 １ 在正方ห้องสมุดไป่ตู้ABCD—A1B1C1D1中，指
出下列各对线段所成的角： D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1 3) A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
2）A1 B1与AC所成的角= 4 5°
A
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
B1 C
B
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
(2)以A为特殊点
E
C F
B G
A
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（3）以F为特殊点
D
G
C F A
E B
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角. D
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 A1
= 9 0°
D
C1 B1
C
2）与棱BB1垂直的棱有：
A
D1
相交：A1B1、 AB、B1C1、BC、 A1
异面：A1D1、AD、 D1C1、 DC、
相交垂直 垂直
D
异面垂直
A
B
C1 B1
C B
例 ２：如图，空间四边形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,点M,N分别是AB,CD的中点,且 MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.
Ｂ Ａ
a
点A
点B
A 直线a
a
直线AB与a异面.
异面直线所成角定义:
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
注意：异面直线所成角的范围是 （0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
典型例题:
知识回顾：
空间直线的三种位置关系:
（1）相交直线— 有且仅有一个公共点．
（2）平行直线— 在同一个平面内，没有公共点．
（3）异面直线— 不同在任何一个平面内，没有
公共点．
b
a α
b O
a b
α
M
a α
(1)
(2)
(3)
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A
.G
M
DN
B
C
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和 对角线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
D
G.
E
C
B
F A
(1)以E为特殊点
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角 线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角. D