19-20 第10章 10.2 事件的相互独立性

10.2事件的相互独立性

1．相互独立事件的定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B 相互独立，简称为独立．

2．相互独立事件的性质

当事件A ，B 相互独立时，则事件A 与事件B －相互独立，事件A －与事件B 相互独立，事件A －与事件B －

相互独立．

思考：(1)事件A 与B 相互独立可以推广到n 个事件的一般情形吗？

(2)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形吗？

[提示] (1)对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．

(2)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．

1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B ，否则记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 的关系是( )

A ．A 与

B ，A 与

C 均相互独立

B ．A 与B 相互独立，A 与

C 互斥

C ．A 与B ，A 与C 均互斥

D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立

A[由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]

2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是()

A．0.64B．0.56

C．0.81 D．0.99

C[A i表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.]

3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是．

1

2[由题意知P＝8

8＋4×

6

6＋6

＋4

8＋4

×

6

6＋6

＝1

2.]

【例1】判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．

(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．

(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．

[解](1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．

(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB ＝{6}，

∴P(A)＝3

6

＝1

2

，P(B)＝2

6

＝1

3

，P(AB)＝1

6

＝1

2×

1

3

，即P(AB)＝P(A)P(B)．故事

件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．

判断事件是否相互独立的方法

(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)利用性质：A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()

A．互斥事件B．相互独立事件

C．对立事件D．不相互独立事件

D[由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]

【例2(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一

场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.

(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． [解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A ，则P (A )＝13×14×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＝118.

(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B 为“甲两场只胜一场”，设事件C 为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B ∪C ，

则P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋13×14＝512＋112＝12.

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：

(1)用恰当的字母表示题中有关事件；

(2)根据题设条件，分析事件间的关系；

(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；

(4)利用乘法公式计算概率．

2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．

[解] 记甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件D ，E ，F ，则甲不胜A 、乙不

胜B 、丙不胜C 分别为事件D －，E －，F －.根据各盘比赛结果相互独立，可得红队

至少两名队员获胜的概率为

P ＝P (D ∩E ∩F －)＋P (D ∩E －∩F )＋P (D －∩E ∩F )＋P (D ∩E ∩F )＝

P (D )P (E )P (F －)＋P (D )P (E －)P (F )＋P (D －)P (E )P (F )＋P (D )P (E )P (F )

＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.

[1．如果事件A ，B 相互独立时，那么事件A 与事件B ，事件A 与事件B ，事件A 与事件B 各是什么关系？

[提示] 事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B 相互独立．

2．如果事件A ，B 相互独立，事件AB 的对立事件是A － B －吗？ [提示] 如果事件A ，B 相互独立，事件AB 的对立事件是A － B －∪A B ∪A B .

【例3】 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)两个人都译不出密码的概率；

(3)恰有1个人译出密码的概率．

[思路探究] 首先判断事件是否相互独立，然后利用相互独立事件的性质，