极差方差标准差(整理)

北京四中

撰稿：张扬责编：姚一民

数据的波动

一．基本知识点讲解：

1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差=数据中的最大数-数据中的最小数

2. 方差与标准差：

S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]

设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是

(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：

方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。

3. 标准差：

一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：

标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。

4. 计算方差的三个公式

公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，

比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。

二．例题解析：

（1）应用公式①

例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。

解：

例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：

甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7

乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7

求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定

解：

∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。

（2）应用公式②

例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：

甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8

乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9

求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定

解：

（3）应用公式③

例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）

10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9

解：设a=10，每个数都减去10，有

三：小结：

1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。

2. 方差与标准差是用来衡量数据波动大、小的重要的量，一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据的波动也就越大。

3. 计算方差的公式有三个，应根据具体数据选择适当的公式，以便使计算方差的过程简便。

四．拓展练习：

1. 甲乙两名运动员在10次100米跑中的成绩如下（单位：秒）

甲：11.1、10.6、11、10.5、10.9、11、10.7、10.9、10.7、10.6

乙：11、10.8、11、10.7、10.6、10.6、10.8、10.9、10.8、10.8

问哪名运动员成绩比较稳定

答案:

1., 乙的成绩比较稳定

数据的分布

1.频数：累计出每个小组的数据的个数（在这里也就是每个分数段的分数个数），称为这组的频数

2.这组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率

每组的频率=这组的频数/数据的总个数

3.频数分布图

例：为增强学生的身体素质，某校坚持长年的全员体育锻炼，并定期进行进行体能测试。

图是某班学生的立定跳远成绩（精确到0.01米）进行整理后，分成5组，画出频数分布直方图的一部分，已知从左到右四个小组的频数分别是0.05,0.15,0.30,0.35,第5小组的频数是9

（1）请将频数分布直方数补充完整

（2）该班参加这次测试的同学有多少人？

（3）若成绩在2.00米以上（含2.00米）的为合格，问该班成绩的合格率是多少？

（4）这次测试中，你能肯定该班学生成绩的众数和中位数各落在哪一小组内吗？