16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用

目录

1、 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2、 正态分布(高斯分布) ............................................................................... 2 3、 指数分布 ...................................................................................................... 2 4、 Beta 分布(β分布) .................................................................................. 2 5、 Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6、 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7、 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8、 Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9、 Cauchy 分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布) .. (7)

10、 2

χ分布(卡方分布) (7)

11、 t 分布 ........................................................................................................ 8 12、 F 分布 ........................................................................................................ 9 13、 二项分布 ................................................................................................ 10 14、 泊松分布(Poisson 分布) .................................................................. 10 15、 对数正态分布 .......................................................................................

11

1. 均匀分布

均匀分布~(,)X U a b 就是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。

1

()f x b a

=

-

()2

a b

E X +=

2

()()12

b a Var X -=

2. 正态分布(高斯分布)

当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量很可能服从正态分布,记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布

2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

22

()2()x f x μσ--

=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ就是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性:{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。

(),0

x f x e x λλ-=>

1

()E X λ

=

2

1

()Var X λ=

4. Beta 分布(β分布)

Beta 分布记为~(,)X Be a b ,其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ,实验数据(事件A 发生y 次,非事件A 发生n-y 次),则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-,即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。

10

()x t x t e dt ∞--Γ=⎰

1

1()()(1)()()

a b a b f x x x a b --Γ+=

-ΓΓ ()a E X a b

=

+ 2

()()(1)

ab

Var X a b a b =

+++ 5. Gamma 分布

Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的与的分布,解决的问

题就是“要等到n 个随机事件都发生,需要经历多久时间”,记为~(,)X Ga a b 。其中0a >为形状参数,0b >为尺度参数。Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。

1(),0

()a a bx

b f x x e x a --=>Γ

()a

E X b =

2()a Var X b

=

6. 倒Gamma 分布

倒Gamma 分布记为~(,)X IGa a b 。若随机变量~(,)X Ga a b ,则

1

~(,)IGa a b X

。其中0a >为形状参数,0b >为尺度参数。倒Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数1

λ

、均值已知的正态分布2(,)N μσ的参数2σ的共轭先验分

布。