2019浙江高考数学第22题压轴题第2问解答

2019浙江高考数学第22题压轴题第2问解答
题目:
设f (x)
=
a ln x
+
√ 1
+
x(x
>
0),若对任意x
∈
[
1 e2
,
∞),
f
(x)
≤
√
x 2a
恒成立,求a的取值范围.
解:
由题,先取特殊值缩小a的范围:
令x
=
1,则有a
ln
1
+
√ 1
+
1
≤
√
1 2a
,
从而可以得到0
<
a
≤
√
2 4
.
√ 那么不等式a ln x + x + 1
1+ + x
1+ + x
√ x
≤2
2, ∀x ∈ (x0, 1) ∪ (1, ∞)
下面给出上式的证明．
√ 因为2 2 −
√
1
+
1 x
>
2
2−
1+
1 x0
>
√√ 2 2− 1+7
=
0,
因此上式等价于
(
1
+
1
+
2√ln x )2
≤
√ (2 2
−
1 + 1 )2
x
x
x
计算得等价于要证
√ √√ g3(x) = ln x − 4 x + 2 2 1 + x ≤ 0, ∀x ∈ (x0, 1) ∪ (1, ∞)
下面证明g3(x)在(x0, 1)上单调递增,在(1, ∞)上单调递减. 易知
1 2√ 1
1
g3(x)
=
x
−
√ x
+
2√ 1+x
=
x g4(x)
其中g4(x)
=
1
−
√ 2x
+
√
2
√x 1+x
,
注意到
√
1
2 x+2
g4(x)
=
−√ x
+
2
(x
+
1)
3 2
容易知道g4(x) ≤ 0, ∀x ∈ (x0, ∞). 这是因为g4(x) ≤ 0等价于x3 + 2x2 + 2x + 2 ≥ 0. 因此g4(x)是单
调递减函数, 又g4(1) = 0,从而g4(x) ≤ g4(1) = 0, ∀x ∈ (1, ∞)且g4(x) ≥ g4(1) = 0, ∀x ∈ (x0, 1). 从
√
而g3(x)在(x0, 1)上单调递增,在(1, ∞)上单调递减,则g3(x) ≤ g3(1) = 0.
√
综 上,g2 (x)
≥
<
1时,
由韦达定理g1(x)g2(x)
=
−x 2 ln(x)
>
0且g1(x) + g2(x)
=
−2 1+x 4 ln x
>
0． 从
而g1(x) > g2(x) > 0, 这时,解不等式(1),有
a ≤ g2(x) 或 a ≥ g1(x)
√
注Байду номын сангаас到g1(1
−
1 e100
)
>
2 4
.因此,a要满足a
≤
g2(x)对任意x
1
综上，a只需满足如下条件
0 < a ≤ g2(x), ∀x ∈ (x0, 1) ∪ (1, ∞)
√
因此,下面我们证明若x ∈ (x0, ∞), g2(x) ≥
2 4
.
注意到g2(x)可以等价地写成如下形式,
g2(x) =
1
1
+
1 x
+
1
+
1 x
+
2√ln x x
事实上,我们有
1
1 2 ln x √
∈
(x0,
1)均成立.
√
√
–
当1
<
x时,
由韦达定理g1(x)g2(x)
=
−x 2 ln(x)
<
0且g1(x) + g2(x)
=
−2 1+x 4 ln x
<
0．从而g1(x)
<
0 < g2(x), 这时,解不等式(1),有
g1(x) ≤ a ≤ g2(x)
又因为a > 0,因此a要满足a ≤ g2(x)对任意x ∈ (1, ∞)均成立.
4
1
∆ (x) = 4 + √ (2 + ln x) ≥ 0, x
∀x ∈ [ e2 , +∞)
(2)
存在x0
∈
(
1 7
,
1)
使得∆(x0)
=
0.
这是因为容易知道∆(
1 7
)
<
0且∆(1)
>
0.
结合第一个结论可知存
在x0
∈
(
1 7
,
1)
使得∆(x0)
=
0.
因此,
• 若∆(x) ≤ 0, 则由第二个结论知x < 1,也就是说当∆(x) ≤ 0时,2 ln x < 0.此时(3)恒成立.
≤
√ x
2a
等价于
(2
ln
x)a2
+
√ (2 1
+
x)a
−
√ x
≤
0
(1)
当x
=
1时,
考虑一元二次方程(2
ln
x)a2
+
√ (2 1
+
x)a
−
√ x
=
0，从而有判别式
√ ∆(x) = 4(1 + x + 2 x ln x)
对于∆(x),有如下两个结论
(1)
∆(x)是一个在[
1 e2
,
∞)上的单调递增函数,这是因为
√1 22
=
2 4
,
∀x
∈
(x0, ∞). 从而a的取值范围为0 < a ≤
2 4
.
2
• 若∆(x) > 0,即x > x0且x = 1时. 一元二次方程的两根为g1(x), g2(x),其中
√
√
− 1 + x − 1 + x + 2 x ln x
g1(x) = √
2 ln x
√
(2)
− 1 + x + 1 + x + 2 x ln x
g2(x) =
2 ln x
(3)
√
√
–
当x0
<
x