一类二阶微分方程的非线性奇摄动n点边值问题

第26卷　第2期

2010年3月福建师范大学学报(自然科学版)Jo ur nal of F ujian N or mal U niver sity (Nat ur al Science Edition)V ol.26　N o.2M ar.2010文章编号:1000-5277(2010)02-0034-04

一类二阶微分方程的非线性奇摄动n 点边值问题

李晓琴,余赞平,周哲彦

(福建师范大学数学与计算机科学学院,福建福州　350108)

摘要:在一定条件下,研究了一类带有小参数的二阶非线性微分方程的非线性n 点边值问题解的存在性与渐近估计.

关键词:二阶微分方程;非线性边值问题;解的存在性;渐近估计

中图分类号:O 175.8 文献标识码:A

　收稿日期:2009-03-26　基金项目:福建省自然科学基金资助项目(2006J0204)

　通讯作者:余赞平,副教授,研究方向为奇异摄动问题.yu 3423191@yah oo .com .cn

The Nonlinear Singularly Perturbed n -point Boundary Value

Problem for a Kind of Second Order Differential Equations

LI Xiao -qin ,YU Zan -pin ,ZHOU Zhe -yan

(School of M athematics and Com p uter Science ,Fuj ian N or mal University ,F uz hou 350108,China )

Abstract :Under given conditions ,researches the existence and asymptotic estimate of

the solution of a kind of no nlinear n -po int boundar y value pro blems for second o rder differential equatio n w ith small param eter.

Key words :seco nd order differential equation;nonlinear bo undary value problem ;

existence of solutio n ;asy mpto tic estimate

在流体力学和量子力学等许多自然科学领域中常常遇到微分方程的边值问题,因此,微分方程的边值问题及其奇异摄动的研究受到人们的极大关注

[1-2].关于二阶非线性奇摄动的两点边值问题已有一些成果[3-4],近几年来,3点或一般的n 点边值问题的研究取得了一些进展[5-8].本文研究如下一类二阶微分方程的非线性n 点边值问题

y ″=f (t ,y ,y ′, ),　a

g [y (a ),y ′(a ),y (t 2),y (t 3),…,y (t n -1), ]=0,　y (b )+p y ′(b )=B ( )

(1)的奇异摄动,这里a =t 1

=B (0)+O ( ).1　相关引理及假设

首先引入二阶微分方程非线性n 点边值问题的微分不等式理论的一个结果.

引理1[8]　若边值问题

y ″=f (t ,y ,y ′),　a

h [y (a ),y ′(a ),y (t 1),…,y (t n -2)]=0,　g [y (t 1),…,y (t n -2),y (b ),y ′(b )]=0

满足如下条件:

(i)具有下解 (t )与上解 (t );

(ii)f (t ,y ,y ′)在[a ,b ]×[ (t ), (t )]×R 上连续且关于y ′满足Nagumo 条件;

(iii)g (y 1,y 2,…,y n -2,x ,z )在区域D 1=[ (t 1), (t 1)]×[ (t 2), (t 2)]×…×[ (t n -2), (t n -2)]×[ (b ), (b )]×[-N ,N ](N 为Nagumo 条件中的正常数)上连续,并且关于y 1,y 2,…,y n -2单调不增,关于z 单调不减;h (!,∀,y 1,y 2,…,y n -2)在区域D 2=[ (a ), (a )]×[-N ,N ]×[ (t 1), (t 1)]×

[ (t 2), (t 2)]×…×[ (t n -2), (t n -2)]上连续,并且关于∀,y 1,y 2,…,y n -2单调不增.

则此边值问题有解y (t )∈C 2[a ,b ],满足 (t )≤y (t )≤ (t ), y ′(t ) ≤N ,t ∈[a ,b ].

为了得到文章的结果,作出如下的假设.

H 1　退化问题f (t ,u ,u ′,0)=0,

u (b )+p u ′(b )=B (0)

(2)

存在解u =u (t )∈C 2[a ,b ].

记D ={(t ,y ) a ≤t ≤b , y -u (t ) ≤#},这里#为适当小的正常数.

H 2　f (t ,y ,y ′, )在D ×R ×[0, 0]上连续且关于y ′满足Nagumo 条件,关于y ,y ′具有连续的偏导数.

H 3　当x i ∈[u (t i )-#,u (t i )+#],i =1,2,…,n -1,!∈R , ∈[0, 0]时,g [x 1,!,x 2,x 3,…,x n -1, ]连续且关于!,x 2,x 3,…,x n -1单调不增,同时存在正常数∀,使得g [x 1,u ′(a )+∀,x 2,x 3,…,x n -1, ]≤0,g [x 1,u ′(a )-∀,x 2,x 3,…,x n -1, ]≥0,这里x i ∈[u (t i )-#,u (t i )+#],i =1,2,…,n -1, ∈[0, 0].

H 4　存在正常数r 0,使得当(t ,y ,y ′, )∈D ×R ×[0, 0]时,有 f (t ,y ,y ′, )-f (t ,y ,y ′,0) ≤r 0 , B ( )-B (0) ≤r 0 .

定义1　退化解u (t )∈C 2[a ,b ]称为强(弱)稳定,如果

f y ′(t ,y ,y ′,0)≤-k <0　(f y ′(t ,y ,y ′,0)≤0),

这里(t ,y ,y ′)∈D ×R ,k 为正常数.

定义2　退化解u (t )∈C 2[a ,b ]称为(I 0)稳定的,如果

f y (t ,y ,u ′,0)≥m >0,　(t ,y )∈D .

u (t )称为(I q )(q ≥1)稳定的,如果

j f (t ,y ,u ′,0) y

j y =u =0,　当t ∈[a ,b ],1≤j ≤2q 时, 2q +1f (t ,y ,u ′,0) y

2q +1≥m >0,　当(t ,y )∈D 时.这里q 为非负整数,m 为正常数,并且假设相关的偏导数存在.

2　主要结果

定理1　若条件H 1,H 2,H 3,H 4成立,退化解u (t )在[a ,b ]上强稳定且(I q )稳定的,则当 充分小时,边值问题(1)存在解y (t , )∈C 2[a ,b ],满足

y (t , )-u (t ) ≤v (t , )+c 1/(2q +1),

这里v (t , )= k -1∀ex p{-k -1(t -a )},c 为正常数.

证明　当t ∈[a ,b ]时,有v (t , )>0,v ′(t , )<0,并且满足

v ″=-kv ′,

v ′(a , )=-∀.

构造界定函数

(t , )=u (t )-v (t , )-∃( ), (t , )=u (t )+v (t , )+∃( ).

这里∃( )=[r (2q +1)!/m ]

1/(2q +1),r =max {r 0+max t ∈[a ,b ] u ″(t ) ,m (r 0+p c 0)2q +1/(2q +1)!},c 0为正

常数,使得 v ′(b , ) ≤c 0 1/(2q +1).

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