有限元法分析

[K ]22 M
[K ]n2
L L L
[K ]2n M
[K ]nn
{qM}2 {q}n
（5-34）
对于弹性力学平面问题：
子向量 { F }i、{ q }i
都是二维向量，
子矩阵 { K }ij
是2×2阶矩阵，角标( i, j )为节点总码编号，
n
为整体结构中的节点总数。
整体有限元方程式中的{ F }、{ K } 和 { q } 可按以下步骤建立：
总刚度矩阵中其余元素均为零。
下面通过一个简单实例来说明总体刚度矩阵{ K } 的形成。
图5-7 三角形薄板结构
图5-7所示为一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有 四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况 是在节点4、5、6 三处共有四个位移分量限定为零，即
U 4 V4 V5 V6 0
K 55 K 56 K 53 4
K
4
K
65
K 66
K
63
K 35 K 36 K 33
则按下标的编码将各子矩阵写入总体刚度矩阵中相应的位置，对应项 相加，则得总体刚度矩阵为
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K11
1
K21
1
K
K31
1
0
0
0
K12 1 K22 1 K22 2
K22 3 K32 1 K32 3
F Kq
（5-33）
上式称为整体有限元方程式。式中：
{F}
为整体总节点载荷列阵；
[K]
为整体结构的刚度矩阵，或称总刚度矩阵；
{q}
是整体结构的所有节点的位移列阵。
上式写成分块的形式，则为
{F}1 [K ]11 [K ]12 L [K ]1n {q}1
{FM}2 {F}n
[K ]21 M [K ]n1
单元4： i4 , j4 , m4 5, 6, 3
假设在单元分析中，已得出单元 1 在整体坐标系中的单元刚度
矩阵[K] (1)，写成分块形式为
局码 i
j
m
i K22
K 1 j
K32
K23 K33
K21 K31
1
2
3
m K12 K13 K11 1
单元1 i2 j3 m 1
23
1 总码
(1) 整体节点位移列阵 { q }
{ q } 的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列 而成。
这相当于将各个单元的节点位移 q(e)直接叠加，共同节点只取一
个表示即可。
(2) 总刚度矩阵 { K }
{K} 由各个单元刚度矩阵 K(e)直接叠加而成。
这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入 总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不 同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。
单元划分后，利用单元的性质和精度要求，写出表示单元内 任意点的位移函数；并利用节点处的边界条件，写出用节点位移表 示的单元体内任意点位移的插值函数式。
3. 单元特性分析
根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可 计算出单元内任意点的应变；
由物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意 点的应力；
K42 2 K52 2 K52 3
0
K13 1 K23 1 K23 3
K33 1 K33 3 K33 4 0
K53 3 K53 4
K63 4
0 K24 2
0 K44 2 K54 2
0
0 K25 2 K25 3
K35 3 K35 4
它是一个6×6阶矩阵。矩阵中下标的数字是节点总码。
对单元 2、3、4 经过坐标转换后，可得出在整体坐标系中的单
元刚度矩阵，写成分块形式为
K 44 K 45 K 42 2
K
2
K
54
K 55
K
52
K 24 K 25 K 22
K 33 K 32 K 35 3
K
3
K
23
K 22
K
25
K 53 K 52 K 55
(4)
i(4)
5
单元4 i5 j6 m3
j(4)
6
图5-8 离散后的三角形薄板单元
对比图5-7与图5-8可以看出，四个单元节点局部码与节点总码 的对应关系为：
单元1： i1 , j1 , m1 2, 3, 1 单元2： i2 , j2 , m2 4, 5, 2
单元3： i3 , j3 , m3 3, 2, 5
力学模型简化时，必须明确以下几点：
(1) 判断实际结构的问题类型，是属于一维问题、二维问题还是 三维问题。如果是二维问题，应分清是平面应力状态，还是平面应变 状态。
(2) 结构是否对称，如果结构对称，则充分利用结构对称性简化 计算，如图5-a 所示（取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算）。
图5-a 取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算
(3) 简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。
(4) 进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数如材料弹性模
量E，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状 及尺寸等。
2. 单元划分和插值函数的确定
根据分析对象的结构几何特性、载荷情况及所要求的变形 点，建立由各种单元所组成的计算模型。
第5章 有限元法(2)
Ⅴ Finite Element Method (FEM)
5.3 有限元法的工程应用
5.3.1 有限元法的解题步骤
1. 结构的力学模型简化
采用有限元法来分析实际工程结构的强度和刚度问题时： 首先应从工程实际问题中抽象出力学模型，即需对实际问题的 边界条件、约束条件和外载荷进行简化。 这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的 解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。
由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之
间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。
4. 整体分析（单元组集）
整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。 整体分析的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以 求解节点位移。
把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体 结构的节点力与节点位移之间的关系。
四个单元的节点局部码如图5-8所示。
图5-8 离散后的三角形薄板单元
四个单元的节点局部码如图5-8a 所示。
1
单元1
m(1)
i2
j3
(1)
m 1
2 i(1)
j (1)
3
单元3
i3
2
j (3)
i(3) 3 j 2
m5
(3)
单元2 i4
2
m(2)
j5
(2)
m2
i(2)
j(2)
4
m(3)
5 5
3
m(4)