等差数列与等比数列 高中数学竞赛汇总

等差数列与等比数列

基础知识

1．数列的概念

定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即

，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中

是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：

，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列

定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质：

（1）等差数列的通项公式：或；

（2）等差数列的前项和公式：或；

（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；

（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；

（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；

（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；

（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；

（8）若，则；特别地，当时，；

（9）设，，

，则有；

（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；

（11）对于项数为的等差数列，有，；

（12）是等差数列的前项和，则；

（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则

①．为等差数列，公差为；

②．（即

）为等差数列，公差；

③．（即）为等差数列，公差为.

3．等比数列

定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常

用字母表示（），即。

等比数列具有以下性质：

（1）等比数列的通项公式：或；

（2）等比数列的前项和公式：；

（3）等比中项：；

（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，

即；

（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；

（6）设，是等比数列，则也是等比数列；

（7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

（8）设是正项等比数列，则是等差数列；

（9）若，则；特别地，当时，；

（10）设，，

，则有；

（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则

①．为等比数列，公比为；

②．（即）

为等比数列，公比为；

典例分析

例1．设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_____________个。

解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即

。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；

若，由于为正数，则，即，故，这时有或；

若，则，这时有或。

例2．设，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有___________个。

解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={}。

将S按数的奇偶性分成与两个子集。

从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；

从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；

所以共有+种不同的取法。

例3．设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项

都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）

分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差时，讨论A的个数。

解法一：设元素集中满足条件的A有个，则

，，……如此下去，可以发现。

事实上，比的A增加的公差为的1个，公差为的1个，……，公差为为偶数)或为奇数）的增加1个，共增加个。

由的递推公式可得个。

解法二：设A的公差为，则，分为两种情况讨论：

（1）当为偶数时，则当时，公差为的A有个，当

时，公差为d的A有个，故当n为偶数时，这种A共有

个；

（2）当为奇数时，则当时，公差为的A有个，当

时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有

个；

综合（1）（2）得，所求的A共有个。

例4．将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，

7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是

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