结构力学——第6章结构位移计算讲解

虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。
注意桁架杆件轴力是正对称的
ΔD
FN FNPl 8mm() EA
§6-5 图乘法
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 ΔKP
MM Pds EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：
（1）杆轴为直线； （2）EI=常数；
计算可以简化
（3）M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
§6-5 图乘法
常用简单图形的面积和形心
§6-5 图乘法
两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。
ya
2 3
c
1 3
d
yb
1c 3
2 3
d
两个图的竖标a、b或c、d不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。
§6-5 图乘法
均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物 线图形如图a。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
移△KP。位移计算公式为
ΔKP
FNduP
MdP FS Pds
虚拟状态如图b所示。由材料力学
广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
同，截面的I、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
（3）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理： 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所 做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单 地说，外力虚功等于变形虚功。
位移状态与 力状态无关
图a的弯矩图与图b所示相 应简支梁的弯矩图是相同的， 由此可以很方便地进行图乘。
§6-5 图乘法
yC所在图形是折线图形时， 应分段图乘。如图所示。
Δ
1 EI
( A1 y1
A2 y2
A3 y3 )
杆件为变截面直杆时，应分 段图乘。如图所示。
Δ A1 y1 A2 y2 A3 y3
EI1
EI 2
EI 3
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
k FSP ds GA
k—剪切变形的 改正系数
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
FN FNPds EA
kFS FSP ds GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
化产生的K点的竖向位移△Kt。α为
材料的线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处的温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。
M x tan tanα为常数
§6-5 图乘法
MM Pds EI
tan
EI
xM Pdx
tan
EI
xdA
dA M Pdx MP图中阴影的微分面积 xdA 微分面积对y轴的静矩
xdA A xC
Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。
MM Pds
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
Fl 3 () 16 EI
根据
实际状态
弯矩图，
判定杆件
变形后的
凸凹方向。
§6-5 图乘法
例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移△Cy，梁的EI=常数。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，
求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。
虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的
△K 上作虚功。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
外力虚功为
W FK ΔK FR1c1FR2c2 FR3c3 1 ΔK FRc
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；
弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
EI
tan
EI
A xC
A yC EI
yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标
图乘法
§6-5 图乘法
如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为
ΔKP
MM Pds A yC
EI
EI
应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）竖标yC只能取自直线图形。 （3）Aω与yC若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
§6-1 概述
计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。
图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
ΔAy
5 8
ql 4 EI
ql 2 EA
k ql2 2GA
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（4）讨论
ΔAy
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。
设 FK=1
变形虚功为
WV FNdu Md FSds
由虚功原理 W WV
ΔK FRc FNdu Md FSds
单位荷载法
平面杆件结构位移计算一般公式
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态
t t1 t2 25℃ 2
t 10℃
ΔAy
tAFN
t
h
AM
5mm()
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
图a所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷c2和转角c3，
现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如K点的竖向位移△Kc。
FR 为虚拟状态的支座反力 FR 与c方向一致时其乘积取正
解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。
将AB段的弯矩图分解为一个三角 形和一个标准二次抛物线图形。
由图乘法得
ΔCy
1 EI
[( 1 3
ql 2 8
l ) 3l 28
(1 2
ql 2 8
l) l 3
( 2 ql2 l) l ] ql4 () 3 8 4 128 EI
§6-5 图乘法
虚位移必须 是微小的
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
dWV FNdu Md FSds
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
1 500
]
此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移△Bx。设
梁的截面厚度远小于其半径R。
解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为
M P FR sin
虚拟状态如图b，截面弯矩为
M 1 (R R cos ) R(1 cos )
ΔKP
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
MM Pds EI
ΔKP
FN FNPds EA
FN FNPl EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds FN FNPl
EI
EA
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
ΔAy
5 8
ql 4 EI
[1 2 15
(h)2 l
2 25
E G
(h)2] l
截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。
当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得
源自文库
ΔAy
5 8
ql 4 EI
[1
1 750
§6-1 概述
变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。 截面A转动的角度—截面A的角位移，
计为φA。
ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
§6-1 概述
产生位移的原因：荷载 温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
代入位移计算公式，可得
虚拟状态
ΔBx
MM Pds (1 cos )2 FR3 ()
EI
2EI
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半
部各括号内数值为杆件的截面面积A（×10-4m2）， E=210GPa。
解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。
ΔKt FNtl
对于桁架由于杆件制造误差
ΔKt FNl
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
例6-8 图a所示刚架施工时温度为20℃，试求冬季当外侧温度为
-10 ℃ ，内侧温度为0 ℃时A点的竖向位移△Ay。已知
l=4m，α=10-5 ℃-1，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。
， 解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为t1， t1=-30 ℃ 内侧温度变化为t2=-20 ℃ 。
§6-5 图乘法
例6-4 试求图a所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态如图c所示。
由图乘法，可得
ΔCD
A yC
1
2 ql2 ( l)h
EI EI 3 8
qhl3 () 12 EI
§6-5 图乘法
例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay，并勾绘刚架的