边界层理论

在y方向，在y=0处，因流体黏性作用，壁面流体速度为零，此静止流体 对邻近流体层施加黏性阻力，致使其速度减慢，动量损失。逐层传递，直至 某层流体流速与主体流速接近，到达边界层外围（y=δ）
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
第二节 平板层流边界层
普朗特边界层方程
普朗特边界层方程是在N-S方程基础上简化得来。边界 层内可忽略质量力，于是得到N-S方程和连续方程：
不可压缩粘性流体 平行平板间定常层 流流动
普 朗 特 边 界 层 方

边界层外边界
II尾部流区域 I边界层
边界层外边界
y u0
边界层
u0
外边界
u0
u=0.99u0
δ(x)
u(x,y) x
边界层厚度：紧靠壁面的一层流体黏附在壁面上，速度为零，
沿y方向速度逐渐增加，至某处，流速接近于来流速度u0，该处 与壁面的垂直距离为δ，则δ称为边界层厚度。
将流体速度从u=0到u=0.99u0对应的流体层厚度
4.96 xRex
1 2
近似解：
5.48 xRex
1 2
即为边界层厚度沿x方向发展变化的规律。
y u0
边界层
u0
外边界
u0
u=0.99u0
δ(x)
u(x,y) x
第三节 圆管内的边界层
当一流速为u0的流体流经一圆管时，则在圆管固壁形成边 界层，边界层厚度也会沿轴向逐渐增加，流动由层流过渡到湍 流。
第四节 Leabharlann Baidu界层的分离
边界层分离现象：实际流体流过弯曲壁面时，经常从某一点 开始边界层脱离壁面，并产生漩涡，这种现象也叫脱体现象。
分离点S应满足的条件：
u y y0 0
M点后压强增加，流体微团受到的压差力是与流动方向相 反的阻力，称为逆压梯度，逆压梯度是边界层分离的根本 原因。
边界层的基本特征
与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小。
边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。
边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体 质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势 流速度，边界层厚度必然逐渐增加。
由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的 压 强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
低雷诺数（Re小）流动以黏性力为主，可忽略惯性力；
高雷诺数（Re大）流动以惯性力为主，可忽略黏性力。
但在实践中，后一条规律并非完全合理。
1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，普朗特第一次
提出了边界层的概念。
他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流 动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这 一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界 层。边界层以外区域可以看成是理想流体，而阻力的问题则与边 界层的特性有关。
边界层中的流动状态
对于平板上的边界层，从层流向湍流的过渡发生在临界雷诺 数Rexc前后，与临界雷诺数对应的x称为临界距离xc。
临流界速距大离小x有c的关长。度壁与面壁愈面粗前糙缘xc的愈形短状。、粗糙度、流体性质和

临界雷诺数的定义为： Rexc

xcu0
对于光滑平板，临界雷诺数的范围是2×105∽3×106。为方 便起见，可取Rexc=5×105
u u0
y
0.99
可假设一个边界层速度分布函数f(y），如抛物线方程，计算当ux
达到u0时的y值，即为边界层厚度
注意：边界层的外边界是人为划定的，不是流线！
在平壁前缘，即x=0处，边界层厚 度为零。离开前缘，边界层开始形成并 发展，厚度沿流动方向逐渐增加。

通常 x很小，表明受黏性影响的流体层厚 度相对于流体流动距离是很薄的。
当实际流体沿固体壁面流动时，只要流体能润湿壁面，则紧贴壁面的一 层极薄的流体，将附着在壁面上不滑脱，即该层流体的速度为零。 由于流动的Re很大，流体的流速将由壁面处的零值沿着与流动相垂直的方 向迅速增大，在很短的距离内趋于一个定值。
可以推知，在壁面附近，必然存在这样一层流体，其与流向垂直的方向上
的速度梯度很大，由牛顿黏性定律可知，黏性剪应力为黏度与速度梯度的
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux


X
-
1

p x
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
uy

Y
-1

p y
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
uz


Z
-
1

p z
图示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据 普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场 划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。
这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论 具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学 的一个重要领域。今天主要介绍边界层的基本概念及研究方法。
路德维奇.普朗特（Ludwig Prandtl） 1875年2月4日出生于德国的弗莱辛
与平壁边界层不同的是，平壁边界层厚度没有限制，而管内 边界层厚度的上限是圆管半径。
只要圆管足够长，管内边界层将在管中心汇合，此后边界层 的厚度将维持不变，通常将这时的流动称为充分发展了的流 动。
若边界层汇合时流体的流动为层流，则管内流动为层流；若 汇合是为湍流，则管内流动为湍流。
判断充分发展了的圆管流态可以依据基于圆管直径和平均速 度的雷诺数：Re ubd
乘积。
牛顿黏性定律
- dux
dy
所以在这层流体中，绝对不能忽略粘滞力的作用，这样一层流体就称为边 界层。在边界层内，必须用黏性流体运动方程来描述，层内的法向速度梯 度很大，运动是有旋的。
在边界层之外的区域可忽略粘性力的作用，视为理想流 体。用欧拉方程（理想流体运动微分方程）加以描述。
欧 拉 方 程
锐缘效应
在自然界或在工程问题中，我们经常发现，流 体绕过任何物体的尖缘时，总要出现分离，如图所 示。试解释之。
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边界层理论
主要内容
前言 边界层的形成 平板层流边界层 圆管内的边界层 边界层的分离
前言 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体
运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数 学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中 许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。
u x

v y

0
u
u x

v
u y


1 ρ
dp dx


2u y 2
程
边界条件
y 0 : u 0, v 0

y


:
u 0.99u0
普朗特的学生布拉修斯于1908年将普朗特边界层 方程应用于半无限长平板层流边界层精确解，得到：
精确解：
1953年8月15日卒于哥廷根 现代力学的奠基人之一，普朗特的开创性工作，将 19世纪末期的水力学和水动力学研究统一起来，被 称为“现代流体力学之父”。除了在流体力学中的 研究工作，还培养了很多著名科学家，对我国流体 力学研究做出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特 的学生。
第一节 边界层的形成
一般认为: