第1 线性空间与线性变换
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1.1 线性空间
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
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常见的线性空间
已知
➢空间中两组基：
{1, 2,..., n}
{1,2,..., n}
满足: (12...n ) (12...n )Cnn 1
2
3
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
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例题2 设R22中向量组{Ai}
1 1
wk.baidu.com
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
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四、基变换和坐标变换
讨论：
运算：函数的加法和数乘
•eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
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线性空间的一般性的观点：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）
前言
一、课程介绍 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
• 以矩阵为工具研究问题 • 在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
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二、教学安排
学时配置
讲授第1章至第6章 (48学时)
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
基变换公式 设空间中有两组基：
{{11,,22,,......,, nn}}
过 渡 矩
阵
则 (12...n ) (12...n )Cnn
过渡矩阵C的性质：
➢ C为非奇异矩阵
➢ C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
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2 坐标变换公式
第1章：10学时;
第2章：8学时
第3章：8学时；
第4章：6学时；
第5章：8学时；
第6章：6学时
考核方式：课程结束考试（第13周）
卷面成绩为最终成绩
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三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 矩阵论历年试题及其解答
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2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
Fn
基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构。
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同构的性质
定理1.3:V n （F）中向量{1，2，…n} 线性相关它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
不交作业，但应该重视练习环节。
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第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
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三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间
Vn( F ) 的一组基， Vn( F ) ， = n xii ，则x1 ，
x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。i1
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 R22中向量 3
下的坐标。
4
1 5
在基{Eij}
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例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}；
运算：矩阵的加法和数乘矩阵
R mn ；C mni1。
Pn [x]={p(x)= n1 ai x：i aiR}
运算：多项式的加法和数乘
F=R或C
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n
Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。
Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]，
dim C[a，b]= 约定：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
向量0
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二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x[0，1]
线性无关。
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二、线性空间的基和维数
基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数：
1.1 线性空间
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
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常见的线性空间
已知
➢空间中两组基：
{1, 2,..., n}
{1,2,..., n}
满足: (12...n ) (12...n )Cnn 1
2
3
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
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例题2 设R22中向量组{Ai}
1 1
wk.baidu.com
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
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四、基变换和坐标变换
讨论：
运算：函数的加法和数乘
•eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
第6页/共54页
线性空间的一般性的观点：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）
前言
一、课程介绍 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
• 以矩阵为工具研究问题 • 在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
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二、教学安排
学时配置
讲授第1章至第6章 (48学时)
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
基变换公式 设空间中有两组基：
{{11,,22,,......,, nn}}
过 渡 矩
阵
则 (12...n ) (12...n )Cnn
过渡矩阵C的性质：
➢ C为非奇异矩阵
➢ C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
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2 坐标变换公式
第1章：10学时;
第2章：8学时
第3章：8学时；
第4章：6学时；
第5章：8学时；
第6章：6学时
考核方式：课程结束考试（第13周）
卷面成绩为最终成绩
第2页/共54页
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 矩阵论历年试题及其解答
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2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
Fn
基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构。
第12页/共54页
同构的性质
定理1.3:V n （F）中向量{1，2，…n} 线性相关它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
不交作业，但应该重视练习环节。
第3页/共54页
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
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三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间
Vn( F ) 的一组基， Vn( F ) ， = n xii ，则x1 ，
x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。i1
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 R22中向量 3
下的坐标。
4
1 5
在基{Eij}
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例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}；
运算：矩阵的加法和数乘矩阵
R mn ；C mni1。
Pn [x]={p(x)= n1 ai x：i aiR}
运算：多项式的加法和数乘
F=R或C
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n
Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。
Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]，
dim C[a，b]= 约定：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
向量0
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二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x[0，1]
线性无关。
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二、线性空间的基和维数
基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数：