解线性方程组的解法_图文
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第三章
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficient matrix)、 未知量矩阵和常数项矩阵. T β O ( 0 , 0 , , 0 ) 当 时，称Ax O 为n元齐次线性方程组； 当 β O 时，称 Ax β 为n元非齐次线性方程组. 并称
a11 a 21 A ( A, β ) a m1 a12 a 22 am2 b1 a 2 n b2 a m n 式为 其中
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2
Ax β
a1n a2n am n
x1 b1 x2 b2 x , β x b n m
r ( A) r ( Aβ ) n，有唯一解 Ax β r ( A) r ( Aβ ) n，有无穷多解 解的判定 r ( A) r ( Aβ )，无解 r ( A) n，只有零解 Ax O r ( A) n，有非零解 ( Aβ ) 阶梯阵，得同解方程组 线性方程组求解方法：消元法 线性表示、线性组合 向量 线性相关、线性无关 极大线性无关组 解的关系 基础解系 解的结构 通解
r1 r2 r3 4 r2
0 1 0
0 1 0
6 3 1 0 1 1 5 0 1 1 5 0 0 1 6 3 18 0 9 0 1 1 6 2
(1) ( 2) (3)
解 原方程组
2 x1 5) 4( 4 ) (
(1) ( 4 )
x2
x1 ( 4)(9)
(8) ( 9 )
2 x1 x 2 3 x3 1 (1) 3) 2 (1) ( x 2 x3 5 ( 4) 4 x 2 x 3 2 (5) 1 ( 6) 2 x3 3 (8) 2 x3 6 (6) 1 x1 (7) 3 ( 4 ) x3 5 x 2 x3 5 ( 4 ) 3 x3 18 (7 ) x3 6 (9) 9
2 1 3 1 r2 r1 2 1 3 1 r3 2 r1 A 2 0 2 6 0 1 1 5 4 2 5 4 0 4 1 2
2 0 0 1 r1 r3 r2 r3 0 0
§3.1
消元法
第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解 问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficient matrix)、 未知量矩阵和常数项矩阵. T β O ( 0 , 0 , , 0 ) 当 时，称Ax O 为n元齐次线性方程组； 当 β O 时，称 Ax β 为n元非齐次线性方程组. 并称
a11 a 21 A ( A, β ) a m1 a12 a 22 am2 b1 a 2 n b2 a m n 式为 其中
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2
Ax β
a1n a2n am n
x1 b1 x2 b2 x , β x b n m
r ( A) r ( Aβ ) n，有唯一解 Ax β r ( A) r ( Aβ ) n，有无穷多解 解的判定 r ( A) r ( Aβ )，无解 r ( A) n，只有零解 Ax O r ( A) n，有非零解 ( Aβ ) 阶梯阵，得同解方程组 线性方程组求解方法：消元法 线性表示、线性组合 向量 线性相关、线性无关 极大线性无关组 解的关系 基础解系 解的结构 通解
r1 r2 r3 4 r2
0 1 0
0 1 0
6 3 1 0 1 1 5 0 1 1 5 0 0 1 6 3 18 0 9 0 1 1 6 2
(1) ( 2) (3)
解 原方程组
2 x1 5) 4( 4 ) (
(1) ( 4 )
x2
x1 ( 4)(9)
(8) ( 9 )
2 x1 x 2 3 x3 1 (1) 3) 2 (1) ( x 2 x3 5 ( 4) 4 x 2 x 3 2 (5) 1 ( 6) 2 x3 3 (8) 2 x3 6 (6) 1 x1 (7) 3 ( 4 ) x3 5 x 2 x3 5 ( 4 ) 3 x3 18 (7 ) x3 6 (9) 9
2 1 3 1 r2 r1 2 1 3 1 r3 2 r1 A 2 0 2 6 0 1 1 5 4 2 5 4 0 4 1 2
2 0 0 1 r1 r3 r2 r3 0 0
§3.1
消元法
第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解 问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm