含有绝对值函数的性质

含有绝对值函数的性质及应用

函数是高中阶段数学的核心内容,贯穿着整个高中数学的教学过程.含有绝对值的函数是一类常见的函数类型,这类函数看起来是由一次函数、二次函数等基本函数组成的,但又与它们有很大差异,并且通常与函数的值域(最值)、不等式、方程等知识联系在一起,综合性比较强,学生在处理这类问题时,往往由于考虑不严密而引起种种错误,如何解决这类问题呢？分段讨论是基本的策略, 逐段处理,将问题转化为基本函数后,再各个击破,最后归纳总结.这一过程包含着分类、转化、数形结合等多种数学思想的综合运用.下面就其常见类型及解题策略举例说明.

一 与一次函数有关的绝对值函数 1 函数h k x a +-=||y 的性质及应用

函数||y x =的图象是由第一、二象限的角平分线构成的V 字形(如图1),而函数

h k x a +-=||y 是由函数||y x =的图象经过平移翻折等图形变换得到的,其中a 的符号决定

V 字开口方向:当0>a 时,V 字开口向上;当0a ,则张口角度为锐角;则1||k ）平移||k 个单位,再沿着y 轴向上（0>h ）或向下（0

例1 （07安徽）图3中的图象所表示的函数的解析式为（ ） (A)|1|23-=x y

(0≤x ≤2) (B) |1|2

3

23--=

x y (0≤x ≤2) (C) |1|2

3

--=

x y (0≤x ≤2) (D) |1|1--=x y (0≤x ≤2) 分析与解：由上述性质容易得到应选B.

例2 已知不等式||22

t x x --<有负数解,求t 的取值范围.

x

y 图1

x

y

k

O

h

图2

图3

图4

分析与解：原不等式等价于“||2x -2

t x ->+”, ||y t x -=表示顶点在x 轴上的V 字, 如 图4.从图象上来看,要使该不等式有负数解,则在左半平面抛物线2-x y 2

+=上至少有一点在V 字形的上方,所以当V 字顶点在线段AB 之间时,原不等式有负数解,对应t 的取值范围是:)2,4

9(-.

2 形如∑=-=

n

i i i

k x a

1

||y 的函数

对于含有多个绝对值的形如

∑=-=n

i i i k x a 1||y 的函数,一般是先根据n 个分界点i k 将函数分成1+n 段,去掉绝对值符号写

出分段函数形式,然后根据一次函数的性质或由图象(折线)解答问题..

例3 (09 重庆) 设函数|1||3|)(--+=x x x f ,若不等

式a a x f 3)(2

-≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A (,1][4,)-∞-+∞ B (,2][5,)-∞-+∞

C [1,2]

D (,1][2,)-∞+∞

解:由图象（图5）可知,当1≥x 时,函数4)(max =x f .所以有: 432

≥-a a ,解得1-≤a 或4≥a .故本题选:A

例4 (08山东) 设函数|||1|)(a x x x f -++=的图象关于直线1=x 对称,则=a ___. 解: 因为分界点1-=x 和a x =是关于直线1=x 对称的,所以3=a . 例5 (08宁夏) 已知函数|4||12|)(---=x x x f . （1） 解不等式2)(>x f . （2） 求函数)(x f y =的最小值.

解: (1) 原函数可化为:

⎪⎩

⎪

⎨⎧+---=.5,335)(x x x x f ，

，

，

.

442

1

21≥<<--≤x x x 作出函数)(x f y =的图象

,图5

它与直线的交点为: )2,7(- 和 )2,35(.所以2)(>x f 的解集是: ),3

5()7,(+∞⋃--∞. （2）由函数)(x f y =的图象可知,当21-=x 时,函数取得最小值2

9-. 二 与二次函数有关的含有绝对值函数

1 形如)0(||y 2

≠++=a c bx ax 的函数

函数)0(||y 2

≠++=a c bx ax 的图象是：函数 c bx ax ++=2

y 位于x 轴下方的图象沿

x 轴向上翻折后与其上方的部分组成.

例6设1,0≠>a a ,函数||log )(2

x ax x f a -=在]4,3[上是增函数,求实数a 的取值范围.

解:令||)(2

x ax x g -=(如图6).若1>a ,由

),1

(]4,3[+∞⊆a

,则)(x g 在]4,3[上是增函数.所以,

)(x f 在]4,3[上是增函数. 若1>a ,欲使)(x f 在

]4,3[是增函数, )(x g 在]4,3[上应为减函数,则

)1,21[

]4,3[a a ⊆,所以a

a 1

4,213<

≥,即4161<≤a .故a 的取值范围是1>a 或4

161<≤a . 例7（08浙江）已知t 为常数，函数|2|y 2

t x x --=在区间]20[，上最大值为2，求t .

解:因为函数|2|y 2

t x x --=在]20[，上只有在2,1,0=x 处才有可能取得最大值.若在

0=x 或2处取得最大值2, 解得2±=t ,其中2=t 不合题意舍去; 若在1=x 处取得最大

值2,解得1=t 或3-,其中3-=t 不合题意舍去.所以2-=t 或1. 2 形如)(,0(||)()(y 21x f a b x b x a x f ≠+++=至多为二次函数）

先由分界点2b -去掉绝对值符号,把函数写成分段形式后逐段讨论,最后再归纳总结. 例8 (09 江苏) 设a 为实数，函数||)(2)(2

a x a x x x f --+=. (1) 若1)0(≥f ,求a 的取值范围; (2) 求)(x f 的最小值；

(3) 设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集.