巧作平行线构造相似三角形的四种常用方法方法训练(2020年最新)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析.doc
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1 ③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形的辅助线技巧
︵
AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积．
九
【分析】延长 BA 与 CD，两延长线交于点 F，由 CH 垂直于 BF，得到一对直角相等，由
年
CH 为角平分线得到一对角相等，再由 CH 为公共边，利用 ASA 可得出三角形 CFH 与三
级
角形 CBH 全等，由全等三角形的对应边相等得到 CF＝CB，且 BH＝HF，由 BH＝3AH，
1
∴AE= 2AB＝1，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴
=
= ；
（2）∵△ADG 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△ADG 中，由勾股定理得：AG= √3 + 3 =3√2，
∵AB∥DC，
15
相似三角形的辅助线技巧
数
【解答】解：
（1）如图，连接 FC、AD．
学
∵点 F 是 AB 的中点，CD＝BC，
︵
∴FC 是△ADB 的中位线，
九
1
∴FC= 2AD，
年
∴△EFC∽△EDA，
级
∥
︶
∴
=
∴
= ；
=2，
（2）∵点 F 是 AB 的中点，AB＝18，FB＝EC，
1
∴EC= 2AB＝9．
由（1）知，
=2，则
=2，故 AE＝18，
∴AC＝AE+EC＝18+9＝27．
9
相似三角形的辅助线技巧
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似
三角形对应边成比例即可求得线段的比．
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 AD＝CE．DE
相似三角形常用辅助线做法
相似三角形常用辅助线做法
作平行线构造相似三角形
1.添加平行线构造x型或A型相似三角形
2.从复杂图形中找出一个恰当的点，并做平行线达到解题目的。
【典例赏析】
【当堂练习】
【课后练习】
1.如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于F，求（1）BE:EF的值。
（2）AF：FC的值。
2.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为延长线上一点，且BE=AD，ED和AB 交于F。
求证：
EF:FD=AC:BC
阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果，求的值
（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为（用含a的代数式表示）.
（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E 是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为（用含m，n的代数式表示）.。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反A型：如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角∠BAO=∠CDO，若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.试一试写出具体证明过程应用练习：1.已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AE AB AF AC⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB2.已知在△ABC中,∠ABC =90∘,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证：△APQ∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理如图已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：2AC AH AB=⋅，2BC BH BA=⋅，，2HC HA HB=⋅，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型EDC BA模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC=，试一试写出具体证明过程 应用练习：1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠C模型五：一线三等角如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）2.△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF 的长． 3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。
求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。
相似三角形证明技巧整理
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：① __________________________ :② ______________________________ :③ ______________________________________、两个三角形相似的六种图形:築件条件^Z1-Z B ^AB//DE 条件ZA-Zp 鋼牛AD 是 RtABC耦谨上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决• 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、斤f找另一角 ------------- ►两角对应相等，两三角形相似a）已知对等［找夹边对应成比例 ---------------- 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似厂找夹角相等------- ►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比V 找第三边也对应成比例——三边对应成比例，两三角形相似一找一个直角一►斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似人士r找另一角—►两角对应相等，两三角形相似c）己知一个直- ,I找两边对应成比例►判定定理2k找顶角对应相等判定定理1d） ----------------------------------------- 有等腰关V找底角对应相等判定定理1＜找底和腰对应成比例-------- 判定定理3e）相似形的传递性若厶“厶2, 3,则3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析.
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形解题方法与技巧
相似三角形解题方法与技巧相似三角形解题方法与技巧一、相似三角形的判定：（比照全等三角形）例1：如图，在△ABC 中，D 是AB 上任意一点，DF‖BC，延长BC 到点E 使CE=BC ，连结DE 叫AC 于点G ，求证 : AD AB =DG GE例2：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：BE 2=EF ?EG ．例3：如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是A B C D例4：在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,AF=14AD.求证：(1)△FAE ∽△EBC(2)FE ⊥EC二、常见的相似三角形的类型：（1）平行线型（2）相交线型（3）旋转型（4）母子型（5）K 形图解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．例：观察能力训练：指出下列图形中的相似三角形。
三、相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形中对应三线之比等于相似比．(3)相似三角形的周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方．B CBCAD EA B C例：在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB,AC,BC 上,DE//BC,EF//AB,若△ADE 与△CEF 面积分别为9和4,求四边形DEFB 的面积。
四、如何确定对应边与对应角（1）对应角所对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角；（3）公共角是对应角，其对边是对应边；（4）对顶角是对应角，其对边是对应边；（5）最长（短）边对应最长（短）边，最大（小）角对应最大（小）角。
相似三角形解题方法与技巧◆判定两个三角形相似的证题思路1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例c)己知一个直角 d)有等腰关系◆证明线段成比例一、“三点定形法”寻找相似三角形例1、已知:如图,ΔABC 中, CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB吗？说明理由。
（完整版）相似三角形证明技巧（整理）
（完整版）相似三角形证明技巧（整理）相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？） a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
巧添辅助线证相似三角形
初中数学巧添辅助线证相似三角形编稿张亚一校林卉二校杨雪审核杨国勇一、添加平行线构造“A”、“8”型1. 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（1）定理的基本图形：（2）燕尾图形辅助线的添加方法GEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA注意：（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；（2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；（3）通过线段比例之间的等量代换求解。
2. 方法归纳：（1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“8”字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
②引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
二、作垂线构造相似直角三角形1. 基本图形2. 所用知识点（1）等量代换——等角的余角相等。
（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。
注意：（1）相似三角形中对应边要找准。
（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。
例题 平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：2··AB AE AD AF AC =＋。
解析：作BM ⊥AC 于点M ，可证△ABM ∽△ACE ，则AB •AE ＝AM •AC ，易得△BCM ∽△CAF ，则BC •AF ＝CM •AC ，故得出结论。
答案：作BM ⊥AC 于点M ，则∠AMB ＝∠AEC ＝90°，∵∠BAM ＝∠CAE ，∴△ABM ∽△ACE ， ∴AB •AE ＝AM •AC ，∵∠BCM ＝∠CAF ，易得△BCM ∽△CAF ， ∴BC •AF ＝CM •AC ，∴()2••••AB AE BC AF AM AC CM AC AC AM CM AC +=+=+=。
∵AD ＝BC ，∴2··AB AE AD AF AC =＋。
用平行线判定三角形相似
AE AF .
CD CF ∵AE＝EB，∴AE＝
1AB＝
1 CD.
2
2
∴CF＝2AF＝4.
总结
知2－讲
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角 形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并 且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通 过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相 等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段 的长．
总结
知1－讲
利用平行线寻找相似三角形的方法： 在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有
线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A” 型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选， 也是今后解本类题目的首要之选．
知1－讲
用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一 边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似． 数学表达式：如图， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE.
3 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例
式中，正确的是( )
A.
AB OA =
CD AD
C.
AB OB =
CD OC
B.
OA OB =
OD BC
D. BC = OB AD OD
利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例 式或等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用 平行线分线段成比例的基本事实证明；当比例式或 等积式中的线段有的在平行线上时，可直接利用平 行线截三角形相似的对应边成比例证明；当比例式 或等积式中的线段不是对应线段时，利用转化思想， 用等线段、等比例、等积替换进行论证．
知1－讲
要点精析： (1)定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在
直线相交． (2)根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都
相似三角形解题方法技巧
b)己知两边对应成比例
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，
两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个
直角三角形相似
找另一角
两角对应相等，两三角形相似
c)己知一个直角 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
找顶角对应相等 判定定理1
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．
求证：CD2＝DF·DG．
G
E
C
A
FB D
小结：
证明等积式思路口诀： “遇等积，化比例： 横找竖找定相似； 不相似，不用急： 等线等比来代替。
、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
分析：
1. 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，
可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式 搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证 的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法 来确定三角形。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱 撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用 基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC中, CE⊥AB,BF⊥AC.
求证: AE AC AF BA
（判断“横定”还是“竖定”？ ）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的 平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）
作平行线构造全等三角形方法
作平行线构造全等三角形方法构造全等三角形主要有以下几种方法：1. SSS（Side-Side-Side）方法：根据两个三角形的所有三边分别相等，即边边边相等，可以得到全等三角形。
假设已知一个三角形ABC，要构造一个全等三角形A'B'C'，可以先构造相同长度的线段A'B'，再以点A'为圆心，取与线段AB等长的半径，画弧交AB于点B'，再以点B'为圆心，取与线段BC等长的半径，画弧交BC于点C'，则三角形A'B'C'与三角形ABC 全等。
2. SAS（Side-Angle-Side）方法：根据两个三角形的一个边和夹角以及另一个边分别相等，即边角边相等，可以得到全等三角形。
假设已知一个三角形ABC，要构造一个全等三角形A'B'C'，可以通过以下步骤进行：首先，取任意一点O，以OA=OA'为半径、∠AOB=∠A'O'B'为角，画弧与边BC相交于点B'；然后，在线段A'O'上取一点C'，使OC'=OC，最后，连接A'B'C'，即得到全等三角形A'B'C'。
3. ASA（Angle-Side-Angle）方法：根据两个三角形的两个角和两个边分别相等，即角边角相等，可以得到全等三角形。
假设已知一个三角形ABC，要构造一个全等三角形A'B'C'，可以通过以下步骤进行：首先，以点A'为圆心，以角B为角度作弧，交边AB于点B'；然后，以点B'为圆心，以角C为角度作弧，交边BC于点C'；最后，连线A'B'C'，即得到全等三角形A'B'C'。
需要注意的是，以上方法仅适用于给定一些已知的条件，如边长和角度等，以及一些基本的几何结论，例如作圆心角、中位线等。
相似三角形中证明技巧
相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线 例1. 如图，∆A B C 的ＡB 边和A Ｃ边上各取一点D 和E ，且使AD=AE,D Ｅ延长线与BC 延长线相交于Ｆ,求证:BF CF BDCE=BDA CF EF证明:过点Ｃ作CG//FD 交A Ｂ于G小结:本题关键在于AD=A Ｅ这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例２. 如图，△A ＢC 中，AB<ＡC,在ＡB 、AC 上分别截取BD ＝CE ，ＤE,BC 的延长线相交于点F,证明:AB ·DF ＝AC ·EF 。
分析：证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然A B D F A C E F A B A C E FD F⋅=⋅=不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一:过E 作ＥＭ／/AB ，交B Ｃ于点M,则△ＥMC ∽△A ＢＣ（两角对应相等,两三角形相似）。
∴=⋅=⋅E M A B E CA CE M A C A B E C 即，∴=AB AC EMEC同理可得∆∆E M F D B F ~ ∴=E F D F E MB D ，又， B DE C E M E C E M B D =∴=（为中间比），E MB D∴=A B A C E FD F， ∴⋅=⋅A B D F A C E F方法二:如图，过D 作DN//E Ｃ交ＢＣ于N则有，，∆∆B D N B A C ~ ∴=⋅=⋅B D A B D N A C B D A C A B D N ，即（比例的基本性质）∴=A B A C B DD N同理，∆∆E C F D N F ~ ∴==E C D N E F D F B D E C ，而（已知）∴=B D D N E C D N E CD N （为中间比），∴=∴⋅=⋅A B A C E FD FA B D FA C E F ，又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=ＣM∴ 2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅三、作延长线例5. 如图,Ｒt ∆A ＢC 中,C Ｄ为斜边A Ｂ上的高,E 为CD 的中点,ＡE的延长线交BC 于Ｆ,FG ⊥AB 于G ，求证:FG 2=ＣF •BF解析：欲证式即FGCFBF FG = 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔＣＦG 会相似吗?显然不可能。
专训2 巧作平行线构造相似三角形(3)
专训2 巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△中，E，F是边上的两个三等分点，D是的中点，分别交，于点P，Q，求.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△中，＝，F为底边上一点，＝，取的中点D，连接并延长交于点E ，求的值．(第2题)过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△中，＞，在边上取一点D，在上取一点E，使＝，直线和的延长线交于点P.求证：＝.(第3题)过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△中，点M为边的中点，点E为上一点，且＝，连接并延长交的延长线于点D.求证：＝2.(第4题)答案1．解：如图，连接，∵E，F是边上的两个三等分点，∴＝＝.∵D是的中点，∴＝.∴是△的中位线．∴∥，且＝.∴∥.∴△∽△.∴＝＝.∵＝2，∴＝2，＝2.∴＝.∵∥，∴△∽△.∴＝.设＝a，则＝2a，＝3a.∴＝＝∴＝(第1题) (第2题) 2．解：如图，过点C作∥交的延长线于点G.∴△∽△.∴＝.又∵D为的中点，∴＝.∴＝.∵＝，∴＝∵∥，∴△∽△.∴＝＝＝.3．证明：如图，过点C作∥交于点F，∴△∽△.∴＝.∵∥，∴∠＝∠.(第3题)∵＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴＝.∴＝.4．证明：(方法一)如图①，过点C作∥，交于点F，(第4题①)∴△∽△.∴＝.∵点M为边的中点，∴＝.易证△≌△.∴＝.∵＝，∴＝3.∴＝.∵＝，∴＝＝，即＝3.∴＝2.(第4题②) (方法二)如图②，过点C作∥，交于点F，∴＝.又∵点M为边的中点，∴＝2.∴2＝.∴＝.又∵＝，∴＝2.又∵∥，∴＝＝2.∴＝2.(第4题③) (方法三)如图③，过点E作∥，交于点F，∴＝＝.由＝，知＝＝＝，∴＝，＝.由∥，得△∽△，∴＝.又∵＝，∴＝.∴＝.∴＝2.(第4题④)(方法四)如图④，过点A作∥，交的延长线于点F，∴△∽△.∴＝.∵＝，∴＝.∴＝.由∥，＝，易证得△≌△.∴＝.∴＝.∴＝2.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．。