第24章 解直角三角形单元测试卷及评分标准

图（1）
A
C
B
图（2）
图（3）
E
D B
C
A
第24章 解直角三角形单元测试卷
姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 在Rt △ABC 中,5,13,90==︒=∠AC AB C ,则A sin 的值为 【 】
（A ）
135 （B ）1312
（C ）125 （D ）512
2. 如图（1）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,5=AB ,
3=BC ,则B cos 的值是 【 】 （A ）53 （B ）54
（C ）43 （D ）3
4
3. ︒60sin 的值为 【 】 （A ）3 （B ）
2
3
（C ）
22 （D ）2
1 4. 如图（2）所示,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,
︒=∠35A ,则BC 的长为 【 】 （A ）︒35sin m （B ）︒35cos m （C ）
︒35sin m （D ）︒
35cos m
5. 如图（3）所示,在△ABC 中,AC AB =,AD 平分
BAC ∠,点E 为AC 的中点,3=DE ,则=AB 【 】 （A ）4 （B ）5 （C ）5. 5 （D ）6
6. 某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然 发生险情,相关部门接到求救信号后,立即派遣一架直 升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援,如图（4）
所示,当飞机到达距离海面3000 m 的高空C 处时,测得A 处渔政船的俯角为︒45,
测得B 处发生险情渔船的俯角为︒30,此时渔政船和渔船的距离AB 是 【 】
图（4）
（A ）33000 m （B ）(
)
133000+ m
（C ）(
)
133000
- m （D ）31500 m
7. 在△ABC 中,
(
)
03cos 23tan 32
=-+-B A ,则△ABC 为 【 】
（A ）直角三角形 （B ）等边三角形
（C ）含︒60角的任意三角形 （D ）顶角为钝角的等腰三角形 8. 如图（5）所示,在△ABC 中,BC AD ⊥,垂足为点D ,若︒=∠=45,26C AC , 3tan =∠ABC ,则BD 等于 【 】 （A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）32
图（5）
图（6）
D
A
C
9. 如图（6）所示,在△ABC 中,BC AC ⊥,︒=∠30ABC ,点D 是CB 延长线上的一点,且BA BD =,则DAC ∠tan 的值为 【 】 （A ）32+ （B ）32 （C ）33+ （D ）33
10. 如图（7）所示,为了测量某建筑物MN 的高度,在平地上A 处测得建筑物顶端
y
x
图（10）
H
O
P
M 的仰角为︒30,向点N 方向前进16米到达B 处,在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为︒45,则建筑物MN 的高度等于 【 】
图（7）
（A ）()138+ m （B ）()
138- m （C ）()1316+ m （D ）()
1316- m
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 计算:()
=︒--+⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-30cos 23120196121
π _________. 12. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知3,2==AC CD ,则=A cos _________.
图（8）
D
B
C
A
图（9）
13. 如图（9）所示,一山坡的坡度为3:1=i ,小辰从山肢A 出发,沿山坡向上走了200米到达点B ,则小辰上升了_________米. 14. 如图（10）,点P ()a ,12在反比例函 数x
y 60
=
的图象上,x PH ⊥轴于点H ,则 =∠POH tan _________.
15. 如图所示,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度,站在教学楼
的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°,测得旗杆顶端A 的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,则旗杆AB 的高度是__________m.（结果保留根号）
图（50）
三、解答题（共75分）
16. 计算:（每小题5分,共10分）
（1）︒+︒-︒30sin 45tan 230cos 3; （2）()1330cos 2160sin 2101
-+︒--︒+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-.
17.（8分）先化简,再求值:⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+÷-11112
x x x ,其中︒-︒=30tan 345cos 2x .
18. （9分）在△ABC 中,B A ∠∠,均为锐角,若0sin 2
223sin =-+-B A ,求C ∠的度数.
19.（9分）如图（11）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90A ,C ABC ∠=∠2,BD 是ABC ∠的平分线. 求证:AD CD 2=.
图（11）
D
A
B
C
20.（9分）如图（12）所示,在Rt △ABC 中,15,53
sin ,90==︒=∠AB B C ,求△ABC
的周长和A tan 的值.
图（12）
21.（9分）如图（13）所示,在△ABC 中,BC AD ⊥于点D ,,30,8︒=∠=ABD AB
︒=∠45CAD ,求BC 的长.
图（13）
.
22.（10分）如图（14）所示,平台AB 高为12米,在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°,底部点C 的俯角为30°,求楼房CD 的高度.（7.13≈）
图（14）
23.（11分）如图（15）所示,在△ABC 中,点D 在AB 上,且CB CD =,点E 为BD 的中点,点F 为AC 的中点,连结EF 交CD 于点M ,连结AM . （1）求证:AC EF 2
1
=
; （2）若︒=∠45BAC ,求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系.
图（15）
M
D
F
A E
B
C
第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11.
5233+ 12. 43 13. 100 14. 12
5
15. ()
339+ 三、解答题（共75分）
16. 计算:（每小题5分,共10分） （1）︒+︒-︒30sin 45tan 230cos 3; 解:原式2
1
12233+⨯-⨯
= 0
21223=+
-=
（2）
()1330cos 2160sin 2101
-+︒--︒+⎪⎭
⎫
⎝⎛-解:原式132
3
212-+⨯-+= 2= 17.（8分）先化简,再求
值
:
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+÷-11112x x x ,其
中
︒-︒=30tan 345cos 2x .
解:
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+÷-11112x x x
()()111
11+=
-⋅
-+=
x x
x x x x
……………………………………5分 ∵︒-︒=30tan 345cos 2x ∴123
33222-=⨯-⨯
=x ……………………………………7分 当12-=x 时 原式2
2
211
121==+-=
. ……………………………………8分
18. （9分）在△ABC 中,B A ∠∠,均为锐角,若0sin 2
2
23sin =-+-B A ,求C ∠的度数.
解:∵0sin 2
223sin =-+-B A 23
sin -
A ≥0,
B sin 22-≥0 ……………………………………3分
∴0sin 22,023sin =-=-B A ∴2
2sin ,23sin ==B A ……………………………………5分 ∵B A ∠∠,均为锐角 ∴︒=∠︒=∠45,60B A
……………………………………7分 ∵︒=∠+∠+∠180C B A ∴︒=︒-︒-︒=∠754560180C . ……………………………………9分 19.（9分）如图（11）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90A ,C ABC ∠=∠2,BD 是
ABC ∠的平分线. 求证:AD CD 2=.
图（11）
证明:在Rt △ABC 中,∵C ABC ∠=∠2 ∴︒=∠+∠902C C ∴︒=∠︒=∠60,30ABC C
……………………………………3分
∵BD 平分ABC ∠ ∴︒=∠=∠=∠3021C ∴CD BD =
……………………………………6分 在Rt △ABD 中,∵︒=∠302 ∴AD BD 2=
……………………………………8分 ∴AD CD 2=
……………………………………9分 20.（9分）如图（12）所示,在Rt △ABC
中,15,53
sin ,90==︒=∠AB B C ,求
△ABC 的周长和A tan 的值
.
图（12）
解:∵5
3sin =B ∴5315,53==AC AB AC ∴9=AC
……………………………………3分
在Rt △ABC 中,由勾股定理得:
129152222=-=-=
AC AB BC
……………………………………5分 ∴
36
12915=++=++=∆BC AC AB C ABC
……………………………………6分
3
4
912tan ===
AC BC A . ……………………………………9分 21.（9分）如图（13）所示,在△ABC 中
,
BC AD ⊥于点
D ,,30,8︒=∠=ABD AB ︒=∠45CAD ,求BC 的长.
图（13）
解:∵BC AD ⊥
∴△ABD 和△AC D 都是直角三角形 在Rt △ABD 中, ∵︒=∠30ABD ∴42
1
==
AB AD ……………………………………3分 ∵2
3
cos ==
∠AB BD ABD ∴
2
3
8=BD ∴34=BD
……………………………………6分 ∵︒=∠45CAD
∴△ACD 是等腰直角三角形 ∴4==CD AD
……………………………………8分
∴434+=+=CD BD BC . ……………………………………9分 22.（10分）如图（14）所示,平台AB 高为12米,在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°,底部点C 的俯角为30°,求楼房CD 的高度.（7.13≈）
解:作CD BE ⊥
由题意可知:12==CE AB 米. 在Rt △BCE 中 ∵3
3
tan ==
∠BE CE CBE ∴
3
3
12=BE ∴312=BE 米
……………………………………5分 ∵︒=∠45DBE ∴312==BE DE 米
……………………………………8分 ∴()
3112+=+=DE CE CD 米 ∴()4.327.1112≈+⨯≈CD 米
第11页
……………………………………10分 答:楼房CD 的高度约为32. 4米. 23.（11分）如图（15）所示,在△ABC 中,点D 在AB 上,且CB CD =,点E 为BD 的中点,点F 为AC 的中点,连结EF 交CD 于点M ,连结AM . （1）求证:AC EF 2
1
=
; （2）若︒=∠45BAC ,求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系.
图（15）
M
D
F
A E
B
C
（1）证明:∵CB CD =,点E 为BD 的中点 ∴BD CE ⊥
……………………………………2分 ∴△ACE 是直角三角形
∵点F 为AC 的中点 ∴AC EF 2
1
=
; ……………………………………5分 （2）解:∵︒=∠45BAC ∴△ACE 是等腰直角三角形 ∴CE AE =………………………7分 ∵CE AE =,点F 为AC 的中点
∴EF 垂直平分AC ∴CM AM =
……………………………………9分 ∵CD DM CM =+ ∴DM AM BC +=.
……………………………………11分。