电磁场课后答案3.

3.1 以下几个量的量纲是什么？ a）E*D J/m3 ; b) H*B J/m3;
c) S W/m2
3.2 无源空间 H = zyˆ 0 + yzˆ 0 ， D 随时间变化吗？
答：
∇
×
H
=
J
+
∂D ∂t
=
0,Q
J
=
0,∴
∂D ∂t
=
0
，所以
D
随时间不变化。
3.3 假定（E1,B1,H1,和D1）、（E2，B2B ，H2和D2）分别为源（J1、ρv1）、（J2、ρv2）激发的满
= 102 4π
x0 sin103 t − y 0 cos103 t
案 3.8 在一半径为 a 的无限长圆柱体中有一交变磁通通过，其变化规律为ψ = ψ 0 sin ωt ，试求 答 圆柱体内外任意点的电场强度。
后 答：由法拉第电磁感应定律：
课 ∫ ∫ E ⋅ dl = ∂ B ⋅ dS ，在半径为 r 处满足: 2πrE = S ∂ψ ' ，其中ψ ' 表示被积分环路包围
cos mπx cos nπy
a
b
com S(t) =
E(t) × H(t)
=
yˆ 0 E ym sin
mπx cos nπy cosωt × zˆ0
a
b
− ωμ0
mπE ym a
cos mπx cos nπy sin ωt
a
b
aw. =
xˆ0
−
mπE
2 ym
4aωμ0
sin
2mπx a
cos 2
nπy b
sin
2ωt
.khd <
S
>=
1 Re{E × H*} = 2
1 2
Re{yˆ
0
E
ym
sin
mπx a
cos
nπy b
×
zˆ0 jωμ0
mπE ym a
cos mπx cos nπy} = 0
a
b
www 3.11 说明 S ≠ Re{E × He jωt }.
网 3.12 说明 S ≠ Re{Ee jωt × He jωt } 案 答： S = Re{E × H *} = Re{(Er + jEi ) × (H r − jH i )} = Er × H r + Ei × H i 答 Re{E × He jωt } = Re{(Er + jEi ) × (H r + jH i )e jωt }
解： E(t) = cos(ωt − z)x0 − sin(ωt − z)y 0
H(t) = cos(ωt − z)y 0 + sin(ωt − z)x0
x0
y0
z0
S(t) = E(t)× H(t)cos(ωt − z) − sin(ωt − z) 0 = z0
sin(ωt − z) cos(ωt − z) 0
Vemf
= − ∂ψ m ∂t
= − πa 2 B ω = −Bωa 2 / 2 2π
3.7 一点电荷（电量为 10–5库仑）作圆周运动，其角速度ω = 1000 弧度/秒，圆周半径r = 1cm，
如图P3.7，试求圆心处位移电流密度。
m 解： 为了计算方便，设 t = 0 时ϕ = 0，而ϕ = ωt，点电荷 q 在 O 点产生电位移矢量 D 为
)
;
∇ ⋅ (D1 + D2 ) = ρv1 + ρv2 ;
网 案
答 ∇ ⋅ (B1 + B2 ) = 0 ; D1 + D2 = ε ⋅ (E1 + E2 ) ; B1 + B2 = μ ⋅ (H1 + H 2 )
后 则： Et = E1 + E2 ， Bt = B1 + B2 ， H t = H1 + H 2 ， Dt = D1 + D2 课 在这过程中，应用了叠加原理。
后 = Re{[(Er × H r − Ei × H i ) + j(Ei × H r + Er × H i )]e jωt } 课= (Er × H r − Ei × H i ) cosωt − (Ei × H r + Er × H i ) sin ωt
Re{Ee jωt × He jωt } = Re{(Er + jEi )e jωt × (H r + jH i )e jωt } = Re{[(Er × H r − Ei × H i ) + j(Ei × H r + Er × H i )]e2 jωt } = (Er × H r − Ei × H i ) cos 2ωt − (Ei × H r + Er × H i ) sin 2ωt
∂t
∂t
的磁通的大小。
在圆柱体内： 2πrE = πr 2 ∂ψ ' ∂t
=>
E
=
rω 2
ψ
0
cos ωt
；
在圆柱体外： 2πrE = πa 2 ∂ψ ' ∂t
=>
E
=
ωa 2 2r
ψ
0
cos ωt
3.9 假定E= (x0+jy0)e–jz，H=(y0–jx0)e–jz，求用z、ωt表示的S以及<S>。
足麦克斯韦方程的解。求源为（Jt =J1 +J2、ρvt=ρv1+ρv2）时麦克斯韦方程的解。在得出你
的解中，你应用了什么原理？
答:
∇×
E1
=
−
∂B1 ∂t
;∇×
H1
=
J1
+
∂D1 ∂t
；∇ ⋅ D1
=
ρv1 ；∇ ⋅
B1
=
0;
D1 = ε ⋅ E1 ;
B1 = μ ⋅ H1
m ∇ ×
E2
=
−
∂B2 ∂t
S(t) = z0
3.10
设电场强度 E
=
Ey yˆ 0
=
yˆ 0 E ym
sin
mπx a
cos
nπy b
，求磁场强度 H
，以及瞬时坡印廷功
率流 S(t) 与平均坡印廷功率流 < S > 。
解： H
=
−
1 jωμ0
∇×E
=
−
1 jωμ0
(∂ ∂x
Ey zˆ0 )
=
−
zˆ0 jωμ0
mπE ym a
因此，上面两题目中的不等式成立。 3.13 求在电场E=104V/m或磁场B=104G（高斯G=10-4Wb/m2）两种情况下，比较单位体积中 存储的电场能与磁场能的差别。
答：对于E=104V/m，单位体积内的电场能：W = ε E 2 =4.425 × 10-4J; 2
对于B=104G，单位体积内的磁场能：W = 1 B 2 =3.98 × 105J。 2μ
co D
=
q 4πr 2
(− r0 )
=
q 4πr 2
(−
x0
cosϕ
−
y0
sin ϕ ) =
q 4πr 2
(−
x0
cosωt
−
y0
sin ωt)
w. 位移电流密度为
hda J dx
=
∂Dx ∂t
= x0
qω 4πr 2
sin ωt
www.k Jdy
=
−y 0
qω 4πr 2
cosωt
( 网 ) 把数值代入上式： J d
= ⎜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⎝⎛1 −
31.7 ×1014 2π ×106 2
⎟⎞ ⎟⎠
=
−79.1
所以电离层有效介电系数εe的变化范围为 − 320.5ε 0 < ε e < −79.1ε 0 。
3.6 一半径为 a 的导体圆盘以角速度 ω 在均匀磁场中做等速旋转，设圆盘与磁场互相垂直，
入图 P3.6，试求圆盘中心与它边缘之间的感应电动势。（图略） 答：由法拉第电磁感应定律，该圆盘在磁场中旋转运动时，等效为对于任一径向方向与整个 圆盘形成的环路的磁通量有了变化，可以得到：
3.4 如果在某一表面 E=0，是否就可以得出在该表面 ∂B = 0 ？为什么？ ∂t
答：不可以，假定 E = yxˆ ，则 ∂B = −∇ × E = zˆ ，在 y=0 的平面上 E=0，但 ∂B ≠ 0 .
∂t
∂t
3.5 对于调幅广播，频率f从 500KHz到 1MHz，假定电离层电子浓度N = 1012m–3，确定电离层
;
∇×
H2
=
J2
+
∂D2 ∂t
; ∇ ⋅ D2 = ρv2 ; ∇ ⋅ B2 = 0 ; D2 = ε ⋅ E2
;
.co B2 = μ ⋅ H2 aw 如果媒质为线性的，则有：
.khd ∇
×
(E1
+
E2
)
=
−
∂(
B1 + ∂t
B2
)
;
www ∇
×
(H1
+
H
2
)
=
(J1
+
J
2
)
+
∂(D1 + ∂t
D2
有效介电系数εe的变化范围。
解：ω P =
Ne2 = 5.64 ×107 ； mε 0
εe ε0
=
⎜⎜⎝⎛1
−
ω ω
2 p
2
⎟⎞ ⎟⎠
( ) 当ω = 0.5MHz，
εe ε0
= ⎜⎜⎝⎛1 −
31.7 ×1014 2π × 0.5 ×106
2
⎟⎞ ⎟⎠
=
−320.5
( ) 当ω = 1MHz， ε e ε0