塑性力学第三章-屈服条件

=1 3
2
σ1 −σ3 Tresca : =1 σs
pr pr ≥σ : =1 2t tσ s pr pr σ ≤σ : + =1 2t σ s 2 tσ s
Mises :
Tresca :
σ σ s
+σ s
2
pr
2t 1 = 3
φ=
3 ( Sij − Cε ijp )( Sij − Cε ijp ) − σ s = 0 2
简单拉伸时， 简单拉伸时，
2 1 1 S1 = σ , S 2 = S 3 = − σ , ε 1p = ε p , ε 2p = ε 3p = − ε p 3 3 2
3 [( S1 − Cε 1p ) 2 + ( S 2 − Cε 2p ) 2 + ( S 3 − Cε 3p ) 2 ] − σ s = 0 2 3 2 ( σ − Cε p ) − σ s = 0 2 3
2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy + τ 2yz + τ zx ) = 2σ s2
(σ
x
−σ y
)
2
+
2
σ y −σ x 2
2
+
σ y −σ x 2
2
2 + 6 τ xy = 2σ s2
第三章
一维问题的屈服
屈服条件
应力应变状态
三维应力状态的屈服
初始屈服条件 初始屈服曲面 初始屈服曲线
Tresca 屈服条件 Mises屈服条件
实验验证
初始屈服条件
初始弹性状态的界限为初始屈服条件
ɺ φ (σ ij , ε ij , ε ij , t , T ) = 0
影响因数： 应力 影响因数： 1应力、2应变、3应变率、4时间、5温度 应力、 应变 应变、 应变率 应变率、 时间 时间、 温度
σ
p
σ1
σ
σ2
解：
pr pr σ1 = ,σ 2 = + σ ,σ 3 = − p ≈ 0 t 2t
σ
p
σ1
σ
Mises :
(σ 1 − σ 2 )
σ σ s
2
2
+ (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ
2 2
pr 2t
2 s
σ2
+σ s
_____ p
_____ p
2 p p dε ij dε ij 3
K = ϕ ( ∫ dW p ) , dW p = σ ij dε ijp
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
φ =σ −K = 0
简单拉伸时， 简单拉伸时，
σ = σ s + E pε p
2
2
σ x +σ y
2
σ x −σ y + 2
σ x −σ y − 2
2
σ x +σ y
2
σ1 −σ3 = σ s
σ x −σ y 2
2
σ x −σ y 2 2
1 2 + τ xy = σ s2 4
例2：薄壁筒轴向拉伸应力 σ 和内压 p 作用，内半径为： 作用，内半径为： r=40cm ，壁厚为：t =4cm 。σ s = 240 MPa 壁厚为： 写出 M 和 T 条件。 条件。
σ′ 3
σ 1 = −2k
0
σ1
σ 1 − σ 2 = 2k
σ 2 = −2k
2、Mises 屈服条件 、
Mises条件的常用形式： 条件的常用形式： 条件的常用形式 （1）应力偏张量第二不变量形式： 应力偏张量第二不变量形式：
′ J 2 = k2
=
2
1 2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy + τ yz + τ zx = k 22 6
σ z + 4τ zθ = σ s
2 2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 2 + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2
σ z 2 + 3τ zθ 2 = σ s2
σz σ s τ + 3 zθ = 1 σ s
2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
σ z 2 + 4τ zθ 2 = σ s2
只考虑初始屈服条件由应力状态决定
F (σ ij ) = 0
坐标变换对于初始屈服条件没影响
球张量部分对于初始屈服条件没影响
屈服曲面和屈服曲线
点屈服,则 P′点屈服 则 P 点屈服 点非屈服,则 P′点非屈服 则 P点非屈服
屈服曲面是柱状体 屈服曲面与 π 平面的交线为屈服曲线 屈服曲线能够体现出屈服曲面的特征
1.15 1.10 1.05 1
M
µσ
-1 0
T
1
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Taylor,1931) 薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Taylor,1931)
T
T P
τ
P T , τ zθ = σz = 2πRh 2πR 2 h
P
σ1 =
σz
2
+
σ
2 z
4
+ τ zθ
σ
σ2 = 0
σ3 =
R P σ θ = q ,σ z = ,σ r ≈ 0 h 2πRh
P q
σ1 σ2
P
令
σ 1 = σ θ ,σ 2 = σ z ,σ 3 = σ r = 0
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − π R 2 q = µσ = σ1 − σ 3 πR 2 q
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − πR 2 q = µσ = σ1 −σ3 πR 2 q
2
2
0
例1：试定出在 z 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。 µ =0.5 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。 1 解： ε z = 0 εz = σ z − µ (σ x + σ y ) E 1 σ z = (σ x + σ y ) τ yz = τ zx = 0 2
(
)
Mises 屈服条件： 屈服条件：
P = 0,
µσ = −1
µσ = 0
(θ = −300 )
(θ = 00 )
P = πR 2 q ,
P = 2πR 2 q ,
µσ = 1
(θ = 300 )
σ1 − σ 3 Tresca : =1 σs
2σ 2 − σ 1 − σ 3 µσ = σ1 − σ 3
1 − µσ σ1 − σ 2 = (σ 1 − σ 3 ) 2 1 + µσ σ 2 −σ3 = (σ 1 − σ 3 ) 2
[
(
)]
（2）应力强度形式： 应力强度形式：
′ σ = 3J 2
1 2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy + τ yz + τ zx 2
[
(
)] = σ
s
σ =σs
（3）弹性形变比能形式
（4）等倾面上的剪应力形式
平面应力问题的Mises条件： 条件： 平面应力问题的 条件
σ2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
σ 1 2 − σ 2σ 2 + σ 2 2 = σ s2
σ x , σ y , σ z = 0 , τ xy , τ yz = τ zx = 0
= 2σ s2 2 k
0
2k = σ s
σ1
2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 (τ xy + τ 2yz + τ zx ) = 2σ s2
2 2 2 σ x + σ y − σ xσ y + 3τ xy = σ s2
两种屈服条件的比较
σ′ 2
y
（1）单向拉伸时重合： 单向拉伸时重合：
Tresca : τ max =
σs
2
=k
0
2k
2 3
σ′ 1
x
Mises : σ = σ s
Tresca 六边形内接于Mises 圆 六边形内接于Mises （2）纯剪切时重合： 纯剪切时重合：
几何表示： 几何表示：正六棱柱面
将σ1 ，σ2 ，σ3向π平面投影
π平面上的屈服轨迹：正六边形 平面上的屈服轨迹：
σ′ 2
平面应力状态： 平面应力状态：
σ3 = 0
σ 1 ≤ 2k
σ 1 − σ 2 ≤ 2k σ 2 ≤ 2k
ο
σ′ 1
σ 1 − σ 2 = −2k
σ2
σ 2 = 2k σ 1 = 2k
Mises :
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = σ s 2
σ1 −σ 3 2 = 2 σs 3 + µσ
[
]
Mises :
σ1 − σ 3 Tresca : =1 σs
Mises :
σ1 − σ 3 2 = 2 σs 3 + µσ
σ1 −σ3 σs
T : τ max = τ s = k
M :σ = 3τ s
σ′ 3
τs =
τs =
σs
2 σs
3
:T
:M
Tresca 六边形外切于Mises 圆 六边形外切于Mises
屈服条件的实验验证
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验比较
薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Lode,1926) 薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Lode,1926)
σz
2
−
σ z2
4
+ τ zθ
2σ 2 − σ 1 − σ 3 µσ = = σ1 − σ 3
−P P 2 + 4T 2 / R 2
P = 0, T ≠ 0
µσ = 0
(θ = 00 )
T = 0, P > 0,
µσ = −1
(θ = 300 )
Tresca : σ 1 − σ 3 = σ s
Mises : σ = σ s
σz σ s τ + 4 zθ = 1 σ s
2 2
σz σ s
τ + 4 z θ = 1 σ s
2
2
τ zθ σs
1 0.6 0.4
M T
1
σz σs
σz σ s
τ + 3 z θ = 1 σ s
σ
σ
σ =σs
τ max =
σs
2
=k
纯剪切应力状态时： 纯剪切应力状态时： τ = τ s
σ 1 = τ , σ 2 = 0, σ 3 = −τ
τ
τ max = τ s = k
主应力次序未知时： 主应力次序未知时：
σ 1 − σ 3 ≤ 2k σ 1 − σ 2 ≤ 2k σ 2 − σ 3 ≤ 2k
屈服曲线特征
1、屈服曲线是封闭的 、
2、屈服曲线是外凸的 、
3、假设各向同性,拉压同性 、假设各向同性 拉压同性 屈服曲线有6条对称轴 屈服曲线有 条对称轴
π 平面与主应力空间的坐标关系
y
σ 1,σ 2 ,σ 3
2 3
′ σ2
r
θ
′ ′ σ 1′, σ 2 , σ 3
x
′ σ3
σ 1′
x, y
r ,θ
___ p
σ = σ s + Ep ε
（2） 随动强化模型 ）
材料产生各向异性
ˆ φ = f (σ ij − σ ij ) = 0
线性强化
φ = f (σ ij − Cε ijp ) = 0
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
3 ′ σ = 3J 2 = Sij Sij 2
2
σ =0
σs pr = 2t 3
pr pr ≥σ : =1 2t tσ s
σ pr pr ≤σ : + =1 2t σ s 2 tσ s
pr σ s = 2t 2
r = 40 cm , t = 4 cm , σ s = 240 MPa
Mises :
Tresca :
p l = 5 .65 MPa p l = 4 .9 MPa
两种常用屈服条件 1、Tresca 屈服条件 、 当最大剪应力达到某一极限值时， 当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进入塑性状态
τ max = k
主应力次序已知时： 主应力次序已知时：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
σ 1 − σ 3 = 2k
单向拉伸时： 单向拉伸时： σ 1 = σ , σ 2 = σ 3 = 0
后继屈服条件
进入塑性后， 进入塑性后，屈服面的变化规律
后继屈服函数： 对于理想塑性材料：
φ φ= f
对于强化材料，后继屈服函数可写成
φ (σ ij , ha ) = 0
（1）等向强化（各向同性）模型 ）等向强化（各向同性）
φ = f (σ ij ) − K = 0
K = K (ha )
K = ϕ ( ∫ dε ) , dε =
( )
σ x −σ y 2
1 2 + τ xy = σ s2 3
Tresca 屈服条件： 屈服条件：
τ yz = τ zx = 0
σ1 =
σ3 =
1 σ z = σ 2 = (σ x + σ y ) 2
2 + τ xy
2 + τ xy 2 + τ xy = σ s