多维随机变量及其分布测试题答案1 1

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）
1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
222
13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧
+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1
《
<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___
____ _
(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．
3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是1
3αβ+=;
当=α 29 ，=β 1
9 时X 与Y 相互独立．
4．设二维随机变量的密度函数2,01,02
(,)3
0,xy
x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__
65
72
____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为2
3,02
(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
，设A=
（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3
()4
P A B ⋃=
,则
6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于1
4
”的概率为_ _
31
ln 444
- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34
(0,0),(0)(0)77
P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,
则(max{,}0)P X Y ≥=_
5
7
. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为
则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .
9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为
6,01,
(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨
⎩
其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）
1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.
A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F
B .⎪⎩
⎪⎨
⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=
∞-∞---y x t
s dsdt e
y x F ),( D .⎪⎩
⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x e
y x F y x
2．设平面区域D 由曲线1
y x
=
及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．
A ．12
B ．1
3
C ．14
D ．12
-
3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．
A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布
B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布
C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布
D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布
4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．
A ．1
B ．
12 C ． 23 D ．3
4
5.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为
则下列式子正确的是（ C ）．
A ．;X Y =
B ．{}0;P X Y ==
C ．{}12;P X Y ==
D ．{} 1.P X Y ==
6.(1999年数学三)设随机变量1
01(1,2)1
114
24i X i -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．
A ．0；
B ．1
4； C ．12
； D ．1.
8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则
A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；
B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；
C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；
D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．
三、计算题（第一题20分，第二题24分）
1．已知2(),(),(1,2,3),a b
P X k P Y k k X Y k k
===-==与相互独立.
(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；
解：(1)由正则性()1k
P X k ==∑有，6
12311
a a a a +
+=⇒=
()1k
P Y k =-=∑有，36
14949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为
2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0
(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他
(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.
解：（1）∵0
(34)0
1x y ke dx dy ∞
∞-+⎰=⎰
∴4000
11433()()430
||112y
y x x e dx k e e dy k k e
∞
-∞∞
∞---=--⎰⋅=
=⎰
∴k=12
（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200
y x y x
u v F x y e dudv e
e ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0y
x
e
e
x y --=-->>
∴34(1)(1),0,00,
(,)x y e
e x y F x y ⎧--⎪
-->>⎨⎪⎩
=其他
（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--
3
8(1)(1)e
e --=--
3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为1
2
1,0
()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，
1
31,0
()3
0,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z X
Y p z p
x p z x dx ∞
-∞
=
-⎰
∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值
3363620
00
111()[]|236z
z
z x z x z x x
z
Z p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 3
6
(1)z
z e e -
-
=--
当z<0时，()0Z p z =
所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,
0z z
Z e e z p z z --⎧⎪
--≥=⎨⎪<⎩
4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0
(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下
列概率密度函数.
(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.
解：（1）因为3430()(,)123x y
x X p x p x y dy e
dy e ∞
∞
----∞=
==⎰⎰
3440
()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞
∞
----∞
=
==⎰⎰
所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =
当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤
34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--
所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,
0347,0z z z
z e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =
当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>
7z e -=
所以70,
0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0z
z z
z e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩
6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y x
p x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X
和Y 的边际密度函数.
解：2
()(,)33,01x
X p x p x y dy xdy x x ∞
-∞
=
==<<⎰⎰
1
22
3()(,)3(1),012Y y
p y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。