B3微分形式的基本方程解析精品PPT课件

质量力 作用在流体的每个质点（微团）上
并与流体质量成正比的力称为质量力。
A点附近取微团 dm，dV，dF∝dm ，称
质量力极限为f作用在A点F的 单 位dF质(量N力k。g 或m/s2 )
lim 体积力
V 0
f
m
dm
F
dF
(
N
/
m3
)
lim V 0 V dV
A dm dV
dF
F V fdm V fdV
x y z
t
• 微分形式的流体连续性方程化为
v 1 Dρ ρ Dt
1
dV
ux
u y
uz
divu
u
V dt x y z
上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密 度的相对减少率。
方程的限制条件：同种流体。
v 0 • 对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零：
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B3.2 作用在流体微元上的力
B3 微分形式的基本方程 11
流场中的分布力
表面力
dFs / dA
法向应力p 切向应力
体积力
dFb / d
单位质量力 f
重力、惯性力
单位体积力 ρf 电磁力
重力场： f gk (gz)
重力势： W gz
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B3 微分形式的基本方程 12
( ux uy uz )dxdydzdt dxdydzdt
x y z
t
微分形式的 连续性方程
ux uy uz
x y z t
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连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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x
ux x
1
x
dx
dt
y
u y y
1
y
dy
dt
，
z
uz z
1
z
v u 2cxy y x (x2 y2 )2
v
v dy f (x) y
2cxy (x2 y2)2
dy
cx x2 y2
f
(x)
点涡流动
u
cy x2 y2
v
cx x2 y2
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B3 微分形式的基本方程 10
例已知a点的速度u=10.38m/s,x方向的速度梯度 u 24.86s1
dz
dt
V xyz
1
V
dV
dt
1
x
dx
dt
1
y
dy
dt
1
z
dz
dt
x
y
z
1
dV ux uy uz
divu u
V dt x y z
体积的相对膨胀率对于速度的散度！
V const d V dV 0
dt
dt
质量守恒方程
d
1
dV

d
divu
0
dt V dt dt
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B3.1.1 流体运动的连续性原理
B3 微分形式的基本方程
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• 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进
控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。
• 由哈维发现的人体血液循环理论是流体
连续性原理的例证：
心脏
动脉系统 静脉系统
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连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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同理：y轴向的净流出量：
z轴向的净流出量： 六面体的净流出量：
uy dxdydzdt
y
uz dxdydzdt
z
( ux uy uz )dxdydzdt
x y z
据质量守恒定律，dt时间内流出控制体的总净流质量应 等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即：
x
试求a点上方5mm处y方向的速度v
u
u
v
0
x y
u v a
v v u 24.86 y y x v va v 24.86y 24.86 0.005 0.1243m / s va 0 v v va 0.1243m / s
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连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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ux uy uz 0
t x y z
(
u
)
0
t
(u) u u
密度的质点导数
d(
x,
y , z ,t
)
u
v
w
u
dt
t x y z t
(u)
u
u
d
u
t
t
dt
d
u
d
(
ux
u y
uz
)
0
dt
dt
x y z
连续性方程
流体体积的相对膨胀率等于 流体密度的相对减少率
连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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质量守恒定律在流体力学中的具体形式。
dt时间内，流进控制体的流体质量为
uxdydzdt
流出的流体质量为
ux dy
(
ux
ux
x
dx
)dydzdt
dz dx
dt时间x轴向流出的净质量：
ux
ux
x
dx
y
Ox z
(
ux
ux
x
dx
)dydzdt
uxdydzdt
ux
x
dxdydzdt
建立流体运动基本方程
B3 微分形式的基本方程
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引言 本章讨论流体运动所涉及相关的变化规律。
①连续性方程
(
u
)
0
t
②连续介质力学基本运动平衡方程
a
f
P
③ 线性本构方程
P (
p
2
divu
)I
2E
④纳维－斯托克斯方程
du
3
f
p
1
divu
2u
du
(
u
u
dt u
)
f
p
3
2u
dt
t
⑤静力平衡方程 f p
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B3 微分形式的基本方程 13
f 在三个坐标轴上的分量用（X，Y，Z）表示!
非均质 力：
均质 力：
X
lim
dV A
dFx dm
Y
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连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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ux uy uz 0
t x y z
定常、可压缩
ux
uy
uz
( u ) 0
x y z
连续性方程
d
u
d
(
ux
uy
uz
)0
dt
dt
x y z
不可压缩 ρ=const
u
ux
u y
uz
0
x y z
柱坐标系
u
rur
u
uz
0
rr r z
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B3 微分形式的基本方程
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例已知x方向的速度分布，试求y方向的速度分布
y u c x2 y2
连续性方程
d
u
d
(
ux
uy uz
)0
dt
dt
x y z
不可压二维连续性方程
u
u
v
0
x y
毛细管系统
控制体---流体流过的固定边界包含的体积 控制面---固定边界构成的面—欧拉观点
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B3.1.2 微分形式的连续性方程
B3 微分形式的基本方程
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对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质 流量应等于密度的减少率
ρu ρv ρw ρ