新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练(共40套)含答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
2024届新高考数学模拟卷(一)及答案
2024届新高考数学模拟卷(一)及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x＜-1或x＞2}，则A∪B=（）A. {x|x＜1或x＞2}B. {x|0＜x＜1或x＞2}C. {x|x＜-1或x＞0}D. {x|x＜-1或x＜1或x＞2}2. 函数f(x)=x²-2x+3的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知函数f(x)=log₂(x-1)，则f(3)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=30，则该数列的公差d=（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x)=x³-3x+1，则f'(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知f(x)=x²+2x+1，g(x)=x²-4，则f(x)·g(x)的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 没有对称轴的抛物线D. 有对称轴的抛物线7. 一个正方体长宽高分别为2、3、4，则它的对角线长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知函数f(x)=x²-4x+4，g(x)=x²-6x+9，则f(x)-g(x)的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 没有对称轴的抛物线D. 有对称轴的抛物线二、填空题（每题5分，共30分）9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S6=21，则该数列的首项a1=______。
10. 若函数f(x)=2x-3的图像上有一点P(m,n)，则点P的坐标为______。
11. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(x)在区间（-∞，+∞）上的单调递增区间为______。
12. 若直线y=2x+3与抛物线y=x²-4x+4相交于A、B两点，则AB的长度为______。
新高考高三数学模拟试卷及答案
新高考高三数学模拟试卷及答案新高考高三数学模拟试卷及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.） 1.函数22101y x x =-+的值域为 A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞解析：选D 因为222101(1)914y x x x =-+=-+≥，所以函数22101y x x =-+的值域为[4,)+∞，故选D ．2.1和4的等比中项为（）A.2B.2-C.2±D.4± 解析：选C 由题可得，设等比中项为a ，则24a =，解得2a =±.故选C.3.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（）A.60B.120C.45D.135 解析：选B 由余弦定理可知222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以1cos 2A =-，因为0180A <<，所以120A =.故选B.4.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A.23π B.2πC.223πD.π 解析：选 A 由题可得，该几何体是半个圆锥.所以其体积为11222323V ππ=??=.故选A.5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（）A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度解析：选 B 将函数sin()3y x π=+的图象向右平移3π个单位长度即可得到函数sin y x =的图象.故选B.6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（）A.1m <B.1m >-C.11m -<<D.1m >或1m <- 解析：选A 因为经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，所以1012AB m k -=>-，解得1m <.故选A.7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（）A.32 B.23 C.32- D.23-解析：选D 因为//a b ，所以230x +=，解得23x =-.故选D.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（）A.16B.17C.18D.19 解析：选C因为6324,144(6)n n S S n -==>，所以612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++180=，所以6616()36180216n n n S S S a a -+-=+=+=，所以136n a a +=.所以1()3632422n n n a a nS +===，解得18n =.故选C. 9.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，03AF x =，则0x =（）A.14 B.12C.1D.2 解析：选 B 由题可得，抛物线的准线方程为14x =-.因为03 2AF x =，由抛物线的定义可知，001342x AF x +==，解得012x =.故选B.10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（）A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)-D.14(,,2)33解析：选B 设中点为P ，则其坐标满足341351(,,)222-+++，即为1(,2,3)2.故选B.11.若x、y满足约束条件36022x yx yy+-≤+≥≤，则22x y+的最小值为A.5B.4C.2D.2解析：选C 由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y+可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y+=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y+=的距离为22d==，所以所求最小值为2.故选 B.12.设,a b R∈，则“4a b+>”是“2a>且2b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当2a>且2b>时，4a b+>成立，所以是必要条件，当4,1a b==时，4a b+>，但2a>，2b<，所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选B.13.在正方体1111ABCD A B C D-中，下列几种说法正确的是（）A.11AC AD⊥ B.11D C AB⊥ C.1AC与DC成45角 D.11A C与1B C成60角解析：选D 由题可得，设1AB=，以D为坐标原点，1,,DA DC DD分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz -.则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1) D D A A B B，1(0,1,0),(0,1,1)C C.所以11(1,1,0),(1,0,0)AC AD=-=-，因为1110AC AD=≠，所以选项A错误；11(0,1,0),(0,1,0)AB DC==，因为1110AB DC=≠，所以选项B错误；因为1(1,1,1),(0,1,0)AC DC=-=，所以6cos632θ==，所以1AC与DC不成45角，故选项C 错误.所以正确的选项是D.14.设,0a b >，则4(1)(1)b aab++的最小值为（） A.5 B.7 C.9 D.13解析：选C 444(1)(1)14529b a b a b a a b a b a b++=+++≥+?=.故选C. 15.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A.若,l m m α⊥?，则l α⊥ B.若,//l l m α⊥，则m α⊥ C.若//,l m αα?，则//l m D.若//,//l m αα，则//l m 解析：选B 由直线与平面垂直的判定定理可知，选项A 错误；直线与平面平行，则直线与平面内的直线没有交点，则是平行或异面，故选项C 错误；平行于同一个平面的两条直线不一定平行，故选项D 错误.故选B. 16.下列四个命题中正确的是( )A.若,a b R ∈，则a b a b -<+B.若,a b R ∈，则a b a b -<+C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <解析：选C 当2,0a b ==时，a b a b -=+，a b a b -=+，所以A,B 均不成立；当0,2a b ==时，a b a b -<+，但0ab =，所以D 不成立，故选C.17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ?是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+解析：选B 如图，因为2b AF BF a==，EF a c =+，要使ABE ?是锐角三角形，则只需AEB ∠为锐角，故45AEF ∠<，所以AF EF <，即22c a a c a-<+，化简得220e e --<，解得12e -<<.因为1e >，所以12e <<.故选B.18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CD CE CD=，CB CF CB=.若将CEF ?沿EF 折起，使得平面CEF 与平面ABFED 垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（）A.35 B.25 C.110 D.310解析：选 D 如图所示，设CO EF ⊥，则CO ⊥平面ABFED .因为CA CO OE ED DA =+++，所以532CA CO OE ED DA =+++=，3BE =.设直线AC与直线BE 所成角为θ，则5315cos 3cos cos 2CA BE CA BE θθθ?=?==|()CO OE ED DA =+++(BC ?)|CE +OE BC OE CE ED BC ED CE DA BC DA CE =?+?+?+?+?+?11|3324=+-+941|4-+=，所以3cos 10θ=.即直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为310 .故选D. 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1AB =，则实数a = ，A B = .解析：{}1;1,2,4 因为{}1AB =，且233a +≥，所以1a =，所以{}1,4B =，所以{}1,2,4A B =.20.在ABC ?中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ?= . 解析：4- 因为AB AC ⊥，所以AB BC ?=24AB -=-.21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .解析：[3,1]- 将直线与圆方程联立，消去y ，化简得222(22)10x a x a +-+-=，由方程有解可知，22(22)8(1)0a a ?=---≥，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.故选C.22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3xf xg x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 .解析：41[,)12-+∞ 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.因为()()3x f x g x +=，所以可知()33x x f x -=-，()33x x g x -=+.所以()(2)af x g x +22(33)(33)0x x x xa --=-++≥对[1,2]x ∈恒成立，即22233(33)23333x x x x x x x xa ----+-+≥-=--- 23333x x x x--=-+-对[1,2]x ∈恒成立，令88033[,]39x xt -=-∈，所以2()a t t≥-+对880[,]39t ∈恒成立，所以4112a ≥-.所以实数a 的取值范围是41[,)12-+∞.三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b a c ac =+-. (1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.解：(1)由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以有1cos 2B =. 因为0B π<<. 所以3B π=.(2)因为3B π=，所以23A C π+=，即23C A π=-，且203A π<<.所以23sin sin sin sin()sin )326A C A A A A A ππ+=+-=+=+. 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，3A C π==max )6A π+=；当566A ππ+=或66A ππ+=，即23A π=或0A =min )6A π+=.所以sin sin A C +∈.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n+=<<的离心率为2，且经过点,1)2P . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ?为定值.解：(1)根据题意有222223,43114n m n m n ?-=+=??解得221,4m n ==，所以椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)联立方程组22,44y kx t x y =+??+=?消去y ，化简得：222(4)240k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点坐标为00(,)D x y . 则有120224x x kt x k +==-+，00244ty kx t k =+=+. 所以004OD y k x k==-，所以44OD k k k k=-=-为定值. 25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()bf x x>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)因为1a =，所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+，即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥??+<+?或210,1(1)x x x +<??+<-+? 解得01x <<. 所以不等式的解集为(0,1).(2)2()1x a b f x x x +=>+恒成立等价于1()x a b x x+>+恒成立，即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立.所以有(1)b a b x x >-+或(1)ba b x x <-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立，解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。
新高考数学模拟卷(附答案)
新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
新课改高考数学小题专项仿真训练3
二、填空题：
13．－1 或 512；14．[8，14]；15．4；16．①②⑤
7．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20 ] ，2；（20，30 ] ，3；
（30，40 ] ，4；（40，50 ] ，5；（50，60 ] ，4；（60，70 ] ，2. 则样本在区间（10，50 ]
上
的频率为
（）
A．0.5
B．0.7
C．0.25
8．在抛物线 y 2 4x 上有点 M，它到直线 y x 的距离为 4
于
.
x 2
14．若
y
2
，则目标函数 z x 3y 的取值范围是
.
x y 6
2 cot 2 15．已知 1 sin
1, ．取棱长为 a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下
（）
A．12 种
B．6 种
C．10 种
D．9 种
11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为 4，则球的表面积为 （ ）
A．16（12－6 3)
B．18
C．36
D．64（6－4 2)
12．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进 3 步，然后再后退 2 步的
规律移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以 1 步的距离为 1 单位长移
动，令 P（ n ）表示第 n 秒时机器狗所在位置的坐标，且 P（0）=0，则下列结论中错．误．的
是（ ）
A．P（3）=3
B．P（5）=5
C．P（101）=21 D．P（101）<P(104)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
2024年高考数学仿真模拟卷试题及答案(新高考专用)
2024年高考数学仿真模拟卷试题及答案(新高考专用)一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间（a, b）上是减函数，则实数a和b满足的条件是（）A. a > bB. a < bC. a ≥ bD. a ≤ b答案：D2. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的图像（）A. 开口向上，顶点在(1, 2)B. 开口向下，顶点在(1, 2)C. 开口向上，顶点在(1, -2)D. 开口向下，顶点在(1, -2)答案：A3. 已知函数g(x) = x^3 - 3x，则下列结论正确的是（）A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递增C. g(x)在(-∞, 0)上单调递减D. g(x)在(0, +∞)上单调递减答案：B4. 若三角形ABC的三个角A、B、C满足cos A + cos B + cos C = 0，则三角形ABC一定是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：C5. 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = n^2 - n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2n - 1B. an = n - 1C. an = 2n - 2D. an = n - 2答案：A6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间（2, 3）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. k ≥ 1B. k ≤ 1C. k ≥ 2D. k ≤ 2答案：C7. 已知函数g(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数g(x)的图像是（）A. 两条射线B. 两条直线C. 两条曲线D. 一个角形区域答案：D8. 若a、b是方程x^2 - 2x - 3 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 16答案：B9. 已知函数h(x) = 3x - 4x^2 + 2，则函数h(x)的极大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A10. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，abc = 27，则a、b、c的值为（）A. a = 1，b = 3，c = 9B. a = 3，b = 4，c = 5C. a = 2，b = 4，c = 6D. a = 4，b = 5，c = 6答案：A11. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的前10项和为（）A. 90B. 100C. 110D. 120答案：B12. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)在区间（0, 1）上单调递减，则实数k的取值范围是（）A. k ≥ 1B. k ≤ 1C. k ≥ 2D. k ≤ 2答案：B13. 若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在x = 1处取得极值，则实数a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = n^2 + n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2n - 1B. an = n - 1C. an = 2n + 1D. an = n + 1答案：C15. 若函数g(x) = |x - 1| + |x + 1|的最小值为2，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 0B. x ≥ 0C. x ≤ 1D. x ≥ 1答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间（2, 3）上单调递增，则实数k的取值范围是________。
2024年高考数学模拟试题含答案(一)
2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。
又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。
要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。
2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。
根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。
当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。
当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。
4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。
2021年高考数学模拟训练卷 (40)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (40)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合M ={x|log 2(x −1)<1},N ={x|14<(12)x <1}，则M ∩N =( )A. {x|1<x <2}B. {x|1<x <3}C. {x|0<x <3}D. {x|0<x <2}2. 已知2−bi1+2i =a +i(a,b ∈R)，其中i 为虚数单位，则b =( )A. −1B. −9C. 1D. 93. 已知向量)A. −8B. −6C. 6D. 84. 我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )A. 113斤B. 739斤C. 778斤D. 111斤5. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，则(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )的充要条件是( )A. λ∈RB. λ=0C. λ=2D. λ=±16. 如图是一个四棱锥的三视图，其中正视图、侧视图都是正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的底面积是( )A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 执行如图所示的程序框图，如果输入n =5，m =3，则输出p 的等于( )A. 3B. 12C. 60D. 3608. 设偶函数f(x)=log a |x +b |在(0,+∞)上是单调的，则f(b −2)与f(a +1)的大小关系为( )A. f(b −2)=f(a +1)B. f(b −2)>f(a +1)C. f(b −2)<f(a +1)D. 不能确定9. 设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N +)，则数列{1a n}前10项和为( )A. 119B. 229C. 1011D. 201110. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称 C. y =g(x)的图象关于直线x =π2对称 D. y =g(x)的周期为π11. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足|PF 1|=3|PF 2|且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √3C. 2D. √212. 已知函数f (x )=3lnx −x 2+(a −12)x 在区间(1,3)上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A. (−12,5)B. (−12,112)C. (12,112)D. (12,5)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线x +y −4=0与圆x 2+y 2+2x =0的位置关系是________． 14. 已知cos(π4+α)=13，则cos(π2−2α)=______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≥0x +y ≤4y ≥1，则函数z =y −(x +2)的最小值为________．16. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在▵ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，且满足a 2c =b (a 2+c 2−b 2)(其中b ≠c)(I)求证：A =2B;(II)若f(x)=sinx +cosx ，求f(B)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PB 中点，PB =4√2． (I)求证：PD//面ACE ．(II)求三棱锥E−ABC的体积．19.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：(1)根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？(2)若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？(3)从(2)随机抽取的5人中再随机抽取3人，求在抽取的3人中出现1男2女的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 椭圆C ： x 2a+y 2b =1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点．求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．21. 22.已知函数f(x)=x 2−ax+ae x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x ≥0时，f(x)≤2恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知直线1的参数方程为{x =1+ty =√3+√3t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l的普通方程和极坐标方程；)，求点A到直线l的距离．(2)设点A的极坐标为(2,π623.已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+2|．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)解不等式f(x)<8．【答案与解析】1.答案：A解析：解：M={x|log2(x−1)<1}={x|0<x−1<2}={x|1<x<3}；N={x|14<(12)x<1}={x|0<x<2}；所以M∩N={x|1<x<2}．故选：A．直接求出集合M，N，然后求解M∩N．本题通过指数与对数的性质，求解集合，然后求解交集及其运算，考查计算能力．2.答案：B解析：解：复数2−bi1+2i =(2−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−2b+(−4−b)i，∵2−2b+(−4−b)i=a+i，∴2−2b=a，(−4−b)=1，∴b=−9，故选B．化简复数2−bi1+2i为2−2b+(−4−b)i，由题意可得2−2b+(−4−b)i=a+i，利用复数相等，解得b的值．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，化简复数2−bi1+2i是解题的难点．3.答案：D解析：本题考查了平面向量垂直的判定以及向量的坐标运算，属于基础题．根据a⃗·(2a⃗−b⃗ )=0求解即可．解：已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,k),∴2a⃗−b=(3,2−k)．又，∴a⃗·(2a⃗−b⃗ )=0．∴2×3+1×(2−k )=0． ∴k =8． 故选D ．4.答案：C解析：本题考查等差数列定义，前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题． 根据题意将每等人所得黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．解：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ， 则每等人比下一等人多得d 斤金，由题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，即{4a 1+6d =33a 1+24d =4，解得d =778，∴两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778， 故选C ．5.答案：A解析：解：(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )⇔(λa ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=λa ⃗ 2−λb ⃗ 2+(1−λ2)a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∵|a ⃗ |=√12+22=√5，|b ⃗ |=√(−2)2+12=√5， a⃗ ⋅b ⃗ =1×(−2)+2×1=0， ∴5λ−5λ+(1−λ2)×0=0， 即0=0，而此式恒成立，因此λ∈R ． 故选：A ．利用(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )⇔(λa ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=0，再利用数量积运算及其性质即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算及其性质，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查三视图和几何体的转换，考查几何体的体积和表面积公式的应用，考查运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用三视图转换为几何体，即可求出结果．解：根据几何体的三视图，转换后的四棱锥为：其底面为AA′B′B，正方体棱长为2，则AA′=2√2，AB=2，则该几何体的底面积是4√2，故选C．7.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k<m，执行循环体，k=2，p=12，满足条件k<m，执行循环体，k=3，p=60，不满足条件k<m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．8.答案：C解析：因为f(x)为偶函数，所以b=0，若f(x)=在(0,+∞)上是单调递减，则所以即f(b−2)<f(a+1)若f(x)=在(0,+∞)上是单调递增，则所以即f(b−2)<f(a+1)综上所知，选C9.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解：∵a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N+)，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2，∴1a n =2(1n−1n+1)．∴数列{1a n}的前10项和为S n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)]=2×(1−1 11 )=2011．故选：D．10.答案：B解析：解：∵若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，∴若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的对称轴，。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2023年新教材高考数学微专题专练40含解析
专练40 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D 的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．2．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.3.[2022·全国乙卷(理)，18]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．4．[2020·全国卷Ⅰ]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66 DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值．5.[2020·全国卷Ⅱ]如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．6．[2021·全国乙卷]如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．7.[2021·全国甲卷]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？8．[2022·新高考Ⅰ卷，19]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 2.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D到A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．专练40 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用1．解析：(1)证明：因为AB ＝AD ，O 为BD 中点，所以AO ⊥BD . 因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ， 因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD .(2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M ，连接EM . 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD ，所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD ∩CD ＝D ，因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC . 因为FM ⊥BC ，FM ∩EF ＝F ，所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥ME . 则∠EMF 为二面角E －BC －D 的平面角，∠EMF ＝π4因为BO ＝OD ，△OCD 为正三角形，所以△BCD 为直角三角形． 因为BD ＝2CD ，所以FM ＝12BF ＝12(1＋13)＝23从而EF ＝FM ＝23，所以AO ＝1因为AO ⊥平面BCD ，所以V ＝13AO ·S △BCD ＝13×1×12×1×3＝36.2．解析：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥DC .因此AD ⊥平面PDC . 因为AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC . 由已知得l ∥AD . 因此l ⊥平面PDC .(2)以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，P (0，0，1)，DC →＝(0，1，0)，PB →＝(1，1，－1).由(1)可设Q (a ，0，1)，则DQ →＝(a ，0，1).设n ＝(x ，y ，z )是平面QCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DQ →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，y ＝0.可取n ＝(－1，0，a ).所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n |·|PB →|＝－1－a 3·1＋a 2. 设PB 与平面QCD 所成角为θ， 则sin θ＝33×|a ＋1|1＋a 2＝331＋2aa 2＋1. 因为331＋2a a 2＋1≤63，当且仅当a ＝1时等号成立， 所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63. 3．解析：(1)证明：∵AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CBD ，∴AB ＝CB .∵E 为AC 的中点，∴DE ⊥AC ，BE ⊥AC . ∵DE ∩BE ＝E ，DE ，BE ⊂平面BED ， ∴AC ⊥平面BED .∵AC ⊂平面ACD ，∴平面BED ⊥平面ACD .(2)如图，连接EF .由(1)知AC ⊥平面BED . 又∵EF ⊂平面BED ， ∴EF ⊥AC .∴S △AFC ＝12AC ·EF .当EF ⊥BD 时，EF 的长最小，此时△AFC 的面积最小． 由(1)知AB ＝CB ＝2. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴BE ＝ 3. ∵AD ⊥CD ，∴DE ＝1， ∴DE 2＋BE 2＝BD 2，∴DE ⊥BE .以点E 为坐标原点，直线EA ，EB ，ED 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)，∴AB →＝(－1，3，0)，AD →＝(－1，0，1)，DB →＝(0，3，－1)，ED →＝(0，0，1)，EC →＝(－1，0，0).设DF →＝λDB →(0≤λ≤1)，则EF →＝ED →＋DF →＝ED →＋λDB →＝(0，0，1)＋λ(0，3，－1)＝(0，3λ，1－λ). ∵EF ⊥DB ，∴EF →·DB →＝(0，3λ，1－λ)·(0，3，－1)＝4λ－1＝0，∴λ＝14，∴EF →＝(0，34，34)，∴CF →＝EF →－EC →＝(0，34，34)－(－1，0，0)＝(1，34，34). 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋z ＝0.取y ＝1，则x ＝3，z ＝3，∴n ＝(3，1，3).设当△AFC 的面积最小时，CF 与平面ABD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CF →〉|＝|n ·CF →||n ||CF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×1＋1×34＋3×343＋1＋3×1＋316＋916＝437.故当△AFC 的面积最小时，CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为437.4．解析：(1)证明：设DO ＝a ，由题设可得PO ＝66a ，AO ＝33a ，AB ＝a ，PA ＝PB ＝PC＝22a . 因此PA 2＋PB 2＝AB 2，从而PA ⊥PB . 又PA 2＋PC 2＝AC 2，故PA ⊥PC . 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE →的方向为y 轴正方向，|OE →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设可得E (0，1，0)，A (0，－1，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22. 所以EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，EP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，22.设m ＝(x ，y ，z )是平面PCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·EP →＝0，m ·EC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋22z ＝0，－32x －12y ＝0.可取m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，1，2. 由(1)知AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，22是平面PCB 的一个法向量，记n ＝AP →，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝255.易知二面角B －PC －E 的平面角为锐角， 所以二面角B －PC －E 的余弦值为255.5．解析：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N . 又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)由已知得AM ⊥BC .以M 为坐标原点，MA →的方向为x 轴正方向，|MB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz ，则AB ＝2，AM ＝ 3.连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM ＝233，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13，0.由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC .设Q (a ，0，0)，则NQ ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2，B 1⎝⎛⎭⎪⎫a ，1，4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2，故B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(233－a ，－23，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2)，|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|＝2103. 又n ＝(0，－1，0)是平面A 1AMN 的法向量，故sin＝cos 〈n ，B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝＝1010. 所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 6．解析：(1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥DC .在矩形ABCD 中，AD ⊥DC ，故可以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设BC ＝t ，则A (t ，0，0)，B (t ，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，1，0，P (0，0，1)，所以PB →＝(t ，1，－1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，1，0.因为PB ⊥AM ，所以PB →·AM →＝－t 22＋1＝0，得t ＝2，所以BC ＝ 2.(2)易知C (0，1，0)，由(1)可得AP →＝(－2，0，1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，0，CB →＝(2，0，0)，PB →＝(2，1，－1).设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0n 1·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋z 1＝0－22x 1＋y 1＝0， 令x 1＝2，则z 1＝2，y 1＝1，所以平面APM 的一个法向量n 1＝(2，1，2). 设平面PMB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CB →＝0n 2·PB →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＝02x 2＋y 2－z 2＝0， 得x 2＝0，令y 2＝1，则z 2＝1，所以平面PMB 的一个法向量为n 2＝(0，1，1).cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝37×2＝31414，所以二面角A －PM －B 的正弦值为7014. 7．解析：(1)证明：因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2， 所以CF ＝1，BF ＝ 5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以AB ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，则B (0，0，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，BF →＝(0，2，1). 设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0，2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2).所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)易知面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1，0，0).设面DFE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 2＝0EF →·n 2＝0， 又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1，1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－m ）x ＋y －2z ＝0－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ， 于是，面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1，2－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋272.设面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小．8．解析：(1)设点A 到平面A 1BC 的距离为h .∵V 三棱锥A 1－ABC ＝V 三棱锥A －A 1BC ＝13V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝43， ∴13·S △A 1BC ·h ＝13×4. 又∵S △A 1BC ＝22，∴h ＝ 2.∴点A 到平面A 1BC 的距离为 2.(2)方法一 如图(1)，取A 1B 的中点E ，连接AE . 由AA 1＝AB ，AA 1⊥AB ，得AE ⊥A 1B 且AE ＝12A 1B . ∵平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，AE ⊂平面ABB 1A 1，∴AE ⊥平面A 1BC ，∴AE ＝h ＝2，AE ⊥BC ，∴A 1B ＝22，∴AA 1＝AB ＝2.由V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝4，AA 1＝2，得2S △ABC ＝4，∴S △ABC ＝2.易知AA 1⊥BC ，AE ⊥BC ，A 1E ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面A 1AB ，∴BC ⊥AB ，∴BC ＝2.过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接EF ，易得∠EFA 即为二面角A －BD －C 的平面角的补角．易得AC ＝AB 2＋BC 2＝22，则A 1C ＝AA 21 ＋AC 2＝2 3.∵A 1B ⊥CB ，D 为A 1C 的中点，∴BD ＝12A 1C ＝ 3. 易知AD ＝BD ＝12A 1C ＝3，∴△ABD 为等腰三角形， ∴AF ·BD ＝AB ·AD 2－（12AB ）2＝22， 则AF ＝223， ∴sin∠AFE ＝AE AF ＝2223＝32， ∴二面角A －BD －C 的正弦值为32. 方法二 如图(2)，取A 1B 的中点E ，连接AE .∵AA 1＝AB ，∴AE ⊥A 1B .∵平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，AE ⊂平面ABB 1A 1， ∴AE ⊥平面A 1BC ，∴AE ＝h ＝2，则AA 1＝AB ＝2.∵AE ⊥平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，∴AE ⊥BC .∵A 1A ⊥BC ，AE ∩A 1A ＝A ，∴BC ⊥平面ABB 1A 1.∵AB ⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AB .由V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1A ＝12AB ·BC ·A 1A ＝12×2×BC ×2＝4，解得BC ＝2. 以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BB 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图(2)的空间直角坐标系．易得B (0，0，0)，A (0，2，0)，E (0，1，1)，D (1，1，1).∴AE →＝(0，－1，1)，BD →＝(1，1，1)，BA →＝(0，2，0).由题意，得平面BDC 的法向量为n 1＝AE →＝(0，－1，1).设平面BDA 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·n 2＝0，BD →·n 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x ＋y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝0，z ＝－1，∴n 2＝(1，0，－1)，∴cos〈n 1，n 2〉＝n1·n 2|n 1|·|n 2|＝0＋0－12×2＝－12.设二面角A －BD －C 的平面角为α(0≤α≤π)，则sin α＝1－cos 2α＝32，∴二面角A －BD －C 的正弦值为32.。
2025届高三数学新高考模拟练习卷及答案
2025届高三数学新高考模拟练习卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间（-∞, a）上是减函数，在区间（a, +∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 1B. 1 < a ≤ 3C. a ≥ 3D. a ≤ 1 或 a ≥ 32. 已知函数g(x) = |x - 2| + |x + 1|，则g(x)的最小值为（）A. -3B. 0C. 3D. 43. 设函数h(x) = 2x - 3，若h(x)的图像与直线y = kx + b平行，则k和b的关系是（）A. k = 2，b ≠ -3B. k = -2，b ≠ 3C. k = 2，b = -3D. k ≠ 2，b ≠ -34. 设函数p(x) = (x - 1)^2 + 2，若p(x)的图像与直线y = 2x + 3相切，则实数x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 16，S8 = 64，则数列的公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 若三角形ABC的面积S = 12，且AB = 4，BC = 6，AC = 8，则角A的正弦值等于（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/67. 已知函数q(x) = x^3 - 3x，若q(x)在区间（-∞, a）上是增函数，在区间（a, +∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ -1B. -1 < a ≤ 0C. a ≥ 0D. a ≤ -1 或 a ≥ 08. 若函数r(x) = |x - 1| - |x + 1|，则r(x)的图像是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 两条射线D. 两条直线二、填空题（每题5分，共30分）9. 设函数s(x) = (x - 2)^2 + 1，若s(x)的图像与直线y = 2x + c相切，则实数c的值为______。
2024年新高考数学模拟卷A卷(解析版)
2024年新高考数学模拟卷A 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}2468M =，，，，{}2|280N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}2,4B ．{}2,4,6C ．{}2,4,6,8D ．[]24，【答案】A【详解】由题意{}2|280{|24}N x x x x x =--≤=-≤≤，∴{2,4}M N ⋂=．故选：A ．2．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则A ．25B ．C ．5D ．【答案】C【详解】()()()223443,1i i i z i i--⨯-===--()()2243 5.z -+-=3．已知()1,3a =-，()2,1b =- ，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】D【详解】 (1,3)=- a ，()2,1b =- ，(1ka b k ∴-= ，3)(2---，1)(2k =+，13)k --，2(3,1)a b +=--，()//(2)ka b a b +-，(2)3(13)k k ∴-+=---，∴解得：12k =-．故选：D ．4．已知函数2,(1)()4,(1)x a x ax x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．()2,4C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【详解】()f x 在(),-∞+∞上单调递增；∴2112211414aa a a a a a a⎧≥⎪≥⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪-++≤⎩，解得24a ≤≤；所以实数a 的取值范围为[]2,4．故选：A ．5．若椭圆X ：()22211x y a a +=>与双曲线H ：2213x y -=的离心率之和为736，则=a （）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【详解】椭圆X ：()22210x y aa +=>H ：2213x y -==，=2a=.故选：A.6．设过点(0,P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．19BC ．19-D ．【答案】A【详解】解法1：如图，圆22410x yx +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r ，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，得2sin 3APC APC ∠∠=，则221cos cos sin 09APB APC APC∠=∠-∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，所以1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选A.解法2：如图，圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB+-⋅∠=+-⋅∠，且πACB APB ∠=-∠，则448cos 5510cos APB ACB +-∠=+-∠，即44cos 55cos APB ACB -∠=-∠，解得1cos 09APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，则1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选：A.解法3：圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =线方程为0x=，则圆心到切点的距离2d r =<，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为y kx =，即0kx y -=，则圆心到切线的距离d =120,k k ==-1212sin tan 1cos k k k k ααα-==+，又α为锐角，由22sin cos 1αα+=解得1cos 9α=.故选：A.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件【答案】B【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足.故选：B8．若ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan αβ+=（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】A【详解】解法一：由题得()()2sin sin cos 2222βαααβαβ⎫-=-+-⎪⎪⎝⎭，所以2sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=-++，即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ++-=，即()()sin cos 0αβαβ+++=，显然()cos 0αβ+≠，故()tan 1αβ+=-.解法二：令π4αθ-=，则π4αθ=+，所以ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为π2sin sin sin 2βθθβ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin sin cos βθθβ=-，所以2sin sin cos cos sin sin βθθβθβ=+，即cos cos sin sin 0θβθβ-=，所以()cos 0θβ+=，则ππ2k θβ+=+，k ∈Z ，所以()πππ3πtan tan tan πtan 14424k αβθβ⎛⎫⎛⎫+=++=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
模拟卷03-2023年高三数学新高考全真模拟试卷(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(解析版)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（三）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}21220,log 1A x x x B x x ⎧⎫=--<=<⎨⎬⎩⎭，则()R A B ⋂=（ ）A ．(1,2)-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】{}220{12}A x x x x x =--<=-<<，121log 12B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，R12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 所以()R 1111,22A B x x ⎧⎫⎛⎤⋂=-<≤=-⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦． 故选：C2．已知复数z 满足2i 24i z +=-，则2z -=（ ）A ．8i -B ．8iC ．88i -D ．88i +【答案】A【详解】因()2i 24i z +=-，则24i (24i)(2i)10i2i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-，有2i z = 所以()222(2i 2)8i z -=-=-. 故选：A3．已知向量()1,2a =-，()1,2b =，设a ，b 的夹角为θ，则sin 22θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．1825-B ．1825C ．725-D ．725【答案】D【详解】因为()1,2a =-，()1,2b =，所以143a b ，()22125a =-+=，22125b =+=，又a ，b 的夹角为θ，所以3cos 5a b a bθ⋅==⋅，所以23187sin 2cos 212cos 122525πθθθ⎛⎫-=-=-=-= ⎪⎝⎭． 故选：D ．4．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ） A ．36cm B ．36cm 4C ．26cmD ．6cm【答案】A【详解】如图A BCD - 是棱长为6cm 的正四面体，由题意，6cm AD BD DC === ，设BC 的中点为M ，底面BCD △ 的重心为G ，O 为外接球的球心，则有AG ⊥ 底面BCD ，3332MD DC == ，2233CG DG MD === ，OA OC R == ，R 是外接球半径，在Rt AGD △ 中，2226GA AD DG =-= ，在Rt OGC 中，22212OG OC GC R =-=- ，2,1226OG OA GA R R +=∴-+= ，解得()36cm 2R =， 即正方体的最短棱长为()236cm R = ； 故选：A.A ．114B ．221C ．27D ．435【答案】C【详解】先考虑总情况，7个位置选3个放1，有37C 种，再考虑任意两个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有35C 种，则概率为3537C 2C 7P ==， 故选：C.6．已知函数()()sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭．若对于任意实数x ，都有()3f x fx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）． A ．2 B ．52C ．5D ．8【答案】C【详解】函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()π3f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可知函数图像的一个对称中心为π(,0)6，所以有()πππZ 66k k ω+=∈，解得()61Z k k ω=-∈， 由0ω>，当1k =时，ω有最小值5. 故选：C7．已知πe e ,π,2a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A 【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<， 所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；()()ee ππ2=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有()2xx >，又2π4<<，所以()ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且()ππ2>所以()()eπe πeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A8．某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．3【答案】A【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为PAC △，设AC x =，表示PAC △的面积，再运用基本不等式求最值即可．【详解】设圆锥顶点为P ，底面直径为AB ，圆心O ，另有一任意弦AC ，D 为AC 的中点，连接OP 、OD 、PD ，如图，设PAC △为过圆锥顶点的截面，因为PO ⊥底面ABC ，OD AC ⊥，因为PA PC =，D 为AC 的中点，所以PD AC ⊥， 由题意可知：2PA =，3AO =， 设AC x =，023x （）<≤，则2xAD =，221PO PA AO =-=， 所以22234x OD AO AD =-=-，2221162PD OP OD x =+=-， 则()2222221116161621244142PACx x SPD AC x x x x ⎛⎫+-=⋅=⋅-⋅=-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当28x =，即22x =时，等号成立，故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．,,,E F G H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,,AB BC CC C D 的中点，则（ ） A ．1A B //平面HGF B ．FG HE ∥C ．直线1D F 与直线HE 相交 D ．HE 与平面ABCD 所成的角大小是45︒【答案】ABD【分析】对A ，根据11//A B D C ，1//HG D C 判断即可；对B ，根据1FG BC ∥，1//BC HE 判断即可；对C ，根据F 不在平面11D ABC 内判断即可；对D ，转化为1BC 与平面ABCD 所成的角判断即可.【详解】对A ，因为正方体1111ABCD A B C D -中11//A D BC 且11A D BC =，故四边形11A D CB 为平行四边形，故11//A B D C .又由中位线性质可得1//HG D C ，且HG ⊂平面HGF ，1D C ⊄平面HGF ，故1//D C 平面HGF .故1A B //平面HGF ，故A 正确；对B ，由A 同理可得1FG BC ∥，1//BC HE ，故FG HE ∥成立，故B 正确；对C ，易得1D HE 所在的平面为11D ABC ，F 显然不在平面11D ABC 内，故直线1D F 与直线HE 异面，故C 错误；对D ，由B ，HE 与平面ABCD 所成的角即1BC 与平面ABCD 所成的角，即1C BC ∠，易得为45︒，故D 正确；故选：ABD 10．已知函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =- B ．()f x 的单调递减区间为(e )+∞，C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 【答案】ABC【分析】对于A ，利用导数的几何意义求解即可，对于B ，对函数求导后，由导数小于零可求得结果，对于C ，求导后求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值，对于D ，画出()f x 的图象，利用图象求解. 【详解】因为ln ()xf x x=，0x >， 所以221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==， 对于A ，(1)0,(1)1f f '==，则()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，所以A 正确； 对于B ，令()0f x '<，解得e x >，所以()f x 的单调递减区间为(e )+∞，，所以B 正确； 对于C ，令()0f x '>，得0e x <<，令()0f x '<，得e x >，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，所以()f x 的极大值为1(e)ef =，所以C 正确； 对于D ，由D 的解析知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，且1(e)ef =， 当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <， 所以画出()f x 的图象，如图，方程()1f x =-解的个数，即()f x 的图象与1y =-的交点个数， 由图知()1f x =-只有一个解，所以D 错误． 故选：ABC ．，点在其准线l 上，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点（点A 在第一象限），则下列说法正确的是（ ） A ．6pB ．AMB ∠有可能是钝角C ．当直线m 3AFM △与BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，||12AB = 【答案】ACD【分析】对于A ，利用抛物线的准线方程即可求解；对于B,对直线m 的斜率存在和不存在时进行分类讨论，得到,MA MB ，计算MA MB ⋅即可判断；对于C ，可得到12AFM BFMS y Sy =-，通过计算出12,y y 即可判断；对于D ，设直线AM 的方程为3ym x ，与抛物线进行联立可得222261290m xm x m ，通过题意可得到Δ0=，可计算出,A B 的坐标即可判断【详解】解：对于A ，由抛物线2:2(0)C y px p =>可得准线方程为2p x =-， 又点(3,0)M -在其准线l 上，所以32p ，解得6p，故A 正确；对于B ，由A 选项可得212y x =，且焦点()3,0F ， 当直线m 的斜率存在时，设直线:3m y k x，()()1122,,,A x y B x y ，则2312y k x yx整理得222261290k x k x k ，所以2122612k x x k++=，129x x =， 因为11223,,3,MAx y MB x y所以212121212333333MA MBx x y y x x k x x()()2121222361236+3++9369++936=0k x x x x k k +=-=->，所以cos 0MA MB AMBMA MB，因为0AMB，所以AMB ∠为锐角；当直线m 的斜率不存在时，直线:3m x =，所以将3x =代入抛物线可得6y =±，则3,6,3,6A B ， 则6,6,6,6MAMB，所以0MA MB ⋅=，此时AMB ∠为直角，故B 错误；对于C ，()11102AFMSMF y y =⨯⨯>，()()22102BFMS MF y y =⨯⨯-<， 所以()11221212AFM BFMMF y S y Sy MF y ⨯⨯==-⨯⨯-， 所以当3k =时，12123343y y k x k x ，12123336y y k x k x ，解得1263,23y y ，所以123AFM BFMS y Sy =-=，故C 正确； 对于D ，易得直线AM 的斜率存在，设直线AM 的方程为3y m x ，所以由2312y m x y x得到()222261290m x m x m +-+=①， 因为直线AM 与抛物线C 只有一个公共点， 所以2222612490m m m ，解得1m =±，又因为点A 在第一象限，所以0m >，则1m =， ①可变成2690x x -+=，解得13x =，故3,6,A 由B 选项可得此时3,6B ，所以12AB ，故D 正确；故选：ACD12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()2f x -，22f x -'⎛⎫⎪⎝⎭均为奇函数，则（ ） A ．()20f = B ．()()10f f ''= C ．()()32f f =D ．()()20221f f ''=--【答案】ACD【分析】由题知()()22f x f x -=-+，552222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，进而得()20f =，502f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝可判断A ；再对()()22f x f x -=-+求导可得()()1f x f x +='-'，进而得f x 为周期函数，周期为2，进而可得()()()202201f f f '''==--，()()10f f ''=-可判断BD ；再根据552222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'得1255222222f x C f x C ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得12C C =时，()()23f f =可判断C..【详解】解：因为若()2f x -，522f x -'⎛⎫⎪⎝⎭为奇函数，所以()()22f x f x -=-+，552222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'令0x =得()()22f f =-，5522f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，即()20f =，502f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，A 选项正确；所以，()()22f f x x ''=--+-，即()()22f x x f ''=+-，所以，函数fx 关于2x =对称，5,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以，553222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝''⎭'，即5322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'所以，()()1f x f x +='-'，所以，()()()21f x f x f x +=-+='''，即函数fx 为周期函数，周期为2，所以，()()()202201f f f '''==--，()()10f f ''=-，故D 选项正确，B 选项错误； 对于C 选项，由552222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'可得121515222222f x C f x C ⎛⎫⎛⎫--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12,C C 为常数，所以12552222f C f C ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12C C =，故令14x =得()()122232f C f C -=-，即()()23f f =，故C 选项正确. 故选：ACD.13．23(32)x x -+的展开式中x 的系数为______． 【答案】-36【分析】根据给定条件，把式子变形成两个二项式相乘，再利用二项式定理求解作答. 【详解】因3323(1(32))(2)x x x x -+=--，因此23(32)x x -+的展开式含x 的项是3(1)x -展开式的x 一次项与3(2)x -展开式的常数项的积，加上3(2)x -展开式的x 一次项与3(1)x -展开式的常数项的积的和，即223333223333C (1)C (2)C (1)C (2)36x x x ⋅-⋅-+-⋅⋅-=-，所以23(32)x x -+的展开式中x 的系数为36-. 故答案为：36-14．写出与圆221x y +=和圆4316x y -++=都相切的一条切线方程___________. 【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --= 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y xy ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．已知函数()3223f x x mx nx m =+++在=1x -处取得极值0，则m n +=______．【答案】11【分析】求出导函数()f x '，然后由极值点和极值求出参数,m n 值即可得，注意检验符合极值点的定义．【详解】()236f x x mx n '=++，则()()10,10f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即360130m n m n m -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得1,3,m n =⎧⎨=⎩或2,9.m n =⎧⎨=⎩当1,3m n =⎧⎨=⎩时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，不符合题意，舍去； 当2,9m n =⎧⎨=⎩时，()()()23129331x x x x f x =++=++'， 令0fx，得3x <-或1x >-；令()0f x '<，得31x -<<-．所以()f x 在(),3-∞-，()1,-+∞上单调递增，在()3,1--上单调递减，符合题意，则2911m n +=+=．故答案为：11．16．已知椭圆22:1(0)x y E a b +=>>的离心率为3，12,F F分别是椭圆E 的左、右焦点，点A 在椭圆E 上且在以12F F 为直径的圆上．线段1F A 与y 轴交于点B ，118F A F B ⋅=，则椭圆E 的长轴长为_____． 【答案】833【分析】由已知条件可得11118F A F B F A F B ⋅=⋅=，112π2FOB F AF ∠=∠=，进而可得112F BO F F A △∽△，可得21111228F A F B FO F F c ⋅=⋅==，求出c 的值，再由离心率求出a ，即可得到答案．【详解】由题意得11118F A F B F A F B ⋅=⋅=， 点A 在以12F F 为直径的圆上，则12π2F AF ∠=， 因为121BFO F F A ∠=∠，112π2FOB F AF ∠=∠=， 所以112F BO F F A △∽△，所以11121AF B FO F F F =，所以21111228F A F B FO F F c ⋅=⋅==，可得2c =， 又32c e a ==，所以433a =， 所以椭圆E 的长轴长为8323a =． 故答案为：833．17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足541n n a S =+ (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足51log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)15n n a -=(2)()415116n nn T -⋅+=【分析】(1) ()n n a f S =型的数列，利用公式()()1112nn n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩来解决. (2) 15n n b n -=⋅，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法． 【详解】（1）因为541n n a S =+，当1n =时，11154141a S a =+=+，解得11a = 当2n ≥，n *∈N 时，1154+1n n a S --=， 所以1155=444n n n n n a a S S a ----=，得15n n a a -= 即15nn a a -=，可知数列{}n a 是首项为1，公比为5的等比数列， 所以15n n a -=（2）由（1）可知15nn a +=，所以51log n a n +=，所以151log 5n n n n b a a n -+=⋅=⋅，所以01211525355n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 则12351525355nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减，可得0121455555n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-⋅.1551455154n n n n n n ---⋅=-⋅=-， 化简得()415116n nn T -⋅+=18．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 3a B b =． (1)求A ；(2)求cos cos B C +的取值范围． 【答案】(1)π3A =(2)3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角A 得大小；根据锐角三角形得角B 得范围，然后将cos cos B C +转化为关于角B 的正弦型三角函数，根据正弦型函数性质从而可得取值范围.【详解】（1）解：因为2sin 3a B b =，由正弦定理sin sin a bA B=得：2sin sin 3sin A B B =，又因为锐角ABC 中，0,,0,22A B ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 0B ≠，则2sin 3A =，即3sin 2A =，故π3A =；（2）解：由（1）得，23B C A ππ+=-=，所以23C B π=-， 又因为锐角ABC 中得：022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，所以213πcos cos cos cos cos cos sin sin 3226B C B B B B B B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，所以π3sin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 即cos cos B C +的取值范围为3,12⎛⎤⎥ ⎝⎦.19．如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，FA ⊥平面ABCD ，ED FA ∥，且22AB FA ED ===(1)求证：平面BDE ⊥平面FAC ； (2)求二面角B FC E --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)77【分析】（1）利用FA ⊥平面ABCD ，易得FA BD ⊥，再利用菱形性质得到AC BD ⊥，则可证明BD ⊥平面FAC ，则平面BDE ⊥平面FAC .（2）取BC 中点为G ，以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴建立空间直角坐标系，再计算出相关平面的法向量，即可求出二面角的余弦值，则得到其正弦值. 【详解】（1）证明：如图所示，设AC 与BD 的交点为O ，因为FA ⊥平面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，所以FA BD ⊥， 又因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 又因为FAAC A =，AC ⊂平面FAC ，FA ⊂平面FAC ，所以BD ⊥平面FAC又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面FAC （2）取BC 的中点G ，连接AG ，60ABC ∠=,AB BC =，ABC ∴为等边三角形， AG BC ∴⊥，以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴建立空间直角坐标系，则由题意得()0,0,2F ，1,3BG AG ==,1DE =,又//DE FA , 则()3,1,0B-，()3,1,0C，()0,2,1E ，()3,1,2FC =-，()0,2,0BC =，()3,1,1CE =-，设平面BFC 的法向量为(),,m x y z =，则00m FC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32020x y z y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩ 取()2,0,3m =，设平面EFC 的法向量为()111,,x n y z =，则00n FC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111132030x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩取()3,1,2n =，设二面角B FC E --的平面角为θ，则436cos 7227m n m nθ⋅===⨯⋅，所以二面角B FC E --的正弦值为267177⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭20．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用x 表示注射疫苗后的天数，y 表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL ，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示. 天数x 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平y 510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dx y c =⋅与y a bx =+（a ，b ，c ，d 均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y 与x 关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y 值小于50的天数X 的分布列及数学期望. 参考数据：其中ln w y =.xyw()621i i x x =-∑()621i i w w =-∑()()61i i i w w x x =--∑()()61ii i xx y y =--∑8.3e3.50 63.673.4917.50 9.49 12.95 519.014023.87参考公式：；()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i uu v v u vnuv buu unu ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa v bu=-. 【答案】(1)e dx y c =⋅更适宜作为描述y 与x 关系的回归方程类型(2)0.740.9e x y +=，该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL (3)分布列见解析，3()2E X =【分析】（1）根据散点图与方程的性质，可得答案；（2）根据求回归直线方程的公式，将（1）中的回顾方程，整理，可得答案； （3）根据题意，按照离散型分布列的步骤，写出分布列，利用均值公式，可得答案. （1）根据散点图判断，e dx y c =⋅更适宜作为描述y 与x 关系的回归方程类型.理由：方程y a bx =+表示的是直线，而方程e dx y c =⋅表示的是曲线，散点图表示的是曲线. （2）e dx y c =⋅，()ln ln e ln ln ln dx dxy c e c dx c ∴=⋅=+=+，设ln w y =，则有ln w dx c =+，()()()6621112.950.7417.50i i iii w w xx x d x ==--===-∑∑， 3.49ln 0.74 3.50.9w x c d -=-⨯==， 0.740.9w x ∴=+，所以y 关于x 的回归方程为0.740.9e x y +=.当=10x 时，0.74100.98.3e e 4023.87y ⨯+==≈，则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL. （3）由表中数据可知，前三天的y 值小于50，故X 的可能取值为0，1，2，3.()3336C 10C 20P X ===，()123336C C 91C 20P X ===，()213336C C 92C 20P X ===，()3336C 13C 20P X ===，故X 的分布列为 X0 1 2 3 P120920 920120所以数学期望()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为(2,0)F ，点P为C 上一动点（异于12,A A 两点），直线1PA 和直线2PA 与直线1x =分别交于M ，N 两点，当PF 垂直于x 轴时，12PA A △的面积为2．(1)求C 的方程；(2)求证：MFN ∠为定值，并求出该定值． 【答案】(1)22122x y -=(2)证明见解析，90°【分析】（1）由题意可得,a b 的方程组，从而得到结果；（2）设()()000,2P x y x ≠±，得到直线1PA 和直线2PA 的方程，解出M ，N 两点坐标，可知1M N y y =-，从而得到定值.（1）由题意知2c =，则224a b +=．当PF x ⊥轴时，2||b PF a=，故12PA A △的面积221222b S a b a =⋅⋅==，解得2a b ==，故C 的方程为22122x y -=．（2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()000,2P x y x ≠±， 则直线010:(2)2y PA y x x =++，令1x =，得00(12)2M y y x =++；直线020:(2)2y PA y x x =--，令1x =得00(12)2N y y x =--． 故()()1,,1,M N M y N y ，因为22200020,22M N y y y x y x =--=-，故1M N y y =-， 又()()1,,1,M N FM y FN y =-=-，则1M N FM FN y y ⋅=+． 因此10M N FM FN y y ⋅=+=， 故FM FN ⊥，即90MFN ∠=︒．22．已知函数()()()2ln 1e f x x k k =-+∈R ．(1)若2x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值； (2)设()()2ln 1e x x h x --=的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：()00221e x k x --≥-．【分析】（1）根据极值点定义可知()20f '=，从而解得2k =-；求导后，令()()()211e 1x g x x x -=-->，利用导数可求得()g x 单调性，结合()20g =可得()f x '的正负，进而得到()f x 单调性，由极值点定义可确定极值点，代入()f x 可得极值；（2）求得()h x '后，令()()()11ln 1x x x ϕ=---，利用导数可求得()x ϕ的单调性，结合零点存在定理可知()x ϕ有唯一零点()02,3x ∈；根据()x ϕ正负可确定()h x '正负，由此可得()h x 单调性，从而确定()h x 的极大值；根据方程有解可得不等式，整理可得结论. （1）()22e 1x f x k x -'=+-，()220f k '∴=+=，解得：2k =-； 当2k =-时，()()22ln 12e x f x x -=--，()()()22211e 22e 11x x x f x x x ----'=-=--； 令()()()211e1x g x x x -=-->，则()2e 0x g x x --'=<，()g x ∴在()1,+∞上单调递减，又()20g =， ∴当()1,2x ∈时，0fx；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<；f x 在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， f x 的极大值为()22f =-，无极小值.（2）()()()()()221ln 111ln 11e 1e x x x x x x h x x --------'==-； 令()()()11ln 1x x x ϕ=---，则()()ln 11x x ϕ'=---， 令()0x ϕ'=得：11ex =+，∴当11,1e x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>；当11,e x ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<；()x ϕ∴在11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当11,1e x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()1ln 10x x --<，()0x ϕ∴>；()21ln110ϕ=-=>，()312ln 20ϕ=-<，()02,3x ∴∃∈，使得()00x ϕ=，即()001ln 11x x -=-； ∴当()01,x x ∈时，()0h x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<；()h x ∴在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， ()h x ∴的极大值，即最大值为()()()0000220ln 11e 1e x x x h x x ---==-，()f x 有零点，()0f x ∴=有解，即()2ln 112e x x k ---=有解， ()0201121e x k x -∴-≤-，又()02,3x ∈，()00221e x k x -∴-≥-.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷+答案解析(附后)
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标Ⅰ高考仿真模拟数学试卷及答案
1. 2. 3. 4. 5. 2016年高考仿真模拟卷•新课标I、选择题（本大题共 12小题，每小题 只有一项是符合题目要求的。
已知全集U R ,A. XX 0 B . 设i 为虚数单位, 复数 5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中, Z 1 ai, Z 2 XX 1，则集合e U U C . x0 x 1 2i ，若勺是 Z 2 1 D. 纯虚数，则实数a 的值为 3A .- 2具有线性相关关系的变量 x , y C . - 6，满足一组数据如右表所示.y 与x 的回归直线方程为y?在区间 3x1，则m 的值是A . 0.5如图所示, A. 4x0 1 2 3 y-11m8C . 55,5内随机取出一个实数 a ，则a 0,1的概率为B . 0.30.1B . 6C . 0.2程序框图（算法流程图）25D. 246.已知△ ABC 为锐角三角形，且 A 为最小角，则点 P(si nA cosB,3cosA 1)位于7.在正四棱锥 P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60 ° E 为PC 的中点,则异面直线PA 与BE 所成角为 A . 90B . 60C . 45D . 30&已知等比数列 a n 中，若4a 「a 3,2a 2成等差数列，则公比q () A . 1 B . 1 或 2C . 2 或-1D . -19.给出下列命题：① “若X 2，则X 3 ”的否命题；② “ a 0, ，函数y a X 在定义域内单调递增”的否定；③ “是函数y sinx 的一个周期”或“2是函数y sin2x 的一个周期”；其中真命题的个数是11 .已知函数y f (x)是定义域为R 的偶函数.当x 0时，5si n(；x) (0 x 1)f(x)2f(x)4 2若关于x 的方程5(5a 6)f(x)6a 0(1)x 1 4(x 1)(aR ),有且仅有 6个不同实数根，则实数 a 的取值范围是A .0 a 1 或 a5 B . 0 a1或 a544A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2 2④“ x y”是“ xy 0 ”的必要条件A. 4B . 3C. 2D. 110 .若1 xx (0,—)，均有 9 log a x(a20,且 a 1)，则实数a 的取值范围是A .B .0,2 3C .2D .1,23C.0 a 1 或a 5 D . 1 a—或a0 4412, ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ,b,c ,且BC 边上的高为¥a，则b 取得最大值时，内角 A 的值为A.— 2二、填空题（本大题共 4小题,取值范围是bsinC . 3c cos B 0 .(1) 求 tanB ；(2) 若b 7，求 ABC 的周长的最大值.2 C.——35分，共20分.）B .—6每小题13.已知函数的定义域为2,3，则x 1的定义域是14.已知 x, y (0,2x31--的最小值为y215.已知圆C : x2ax0(a 0）与直线 l : x . 3y 3 0相切,16.已知数列a n 的通项公式为2a n nn ，若此数列为单调递增数列，则实数三、解答题：解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在 ABC 中，内角代B,C 所对的边分别为a,b,c ，且18.(本小题满分12分)设公差不为0的等差数列a n的前n项和为S5 3a5 2, a i, a2, a5依次成等比数列.(1)求数列％的通项公式;b n(2)令1anan 1 ( n),求数列b n的前n项和为n .，且满足1.2. 3 .4. 5.6.2016年高考仿真模拟卷•新课标I 【解析】根据题意可得,【解析】由题可知弓数，则3【解析】3x 2 上，【解析】7. C OEZ2AUB3 ai1 2i2a 0 a2-0123 x4带入得m=4.x|x 0或x 1，所以C u AUB3 ai 1 2i 3 2a1 2i 1 2i所以B正确.因为所求事件对应的区间长度为1,所以B cosB cos —2 2sin A0,1x|0 x 1 .a 6.i5,又已知是纯虚，利用(x, y)在直线1的概率为0.110sin A cosB 0，又因为12【解析】连接一---- 交于点匚，连接：三，二三.因为三为三二中点，所以cosA33cosA 1 0，所以P点的横纵坐标都为正值，所以A正确.II二二，所以-「三三即为异面直线三：与三三所成的角.因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以为二二在面■--- 内的射影, 所以-- 即为匸上与面，即Z^4O=60=，因为PA = 2，所以.所以在直角三角形三•三中—一：三X ，即面直线匚：与三三所成的角为一尸& C【解析】因为a3 ae2,2a2 2ag ,则有2aQ2 4a1 2ag，解得q=1 或q= —2 9. B【解析】对于①,若x>2，则x>3”的否命题为“若x w2,则x w 3”，为真命题;对于②，若a=1，则y=1为常数函数，则命题“ ？ a€( 0, +R)，函数y=a x在定义域内单调递增”为假命题，故其否定为真命题；对于③，y=sinx的最小正周期为2 n, y=sin2x的最小正周期为n,则命题“n是函数y=sinx的一个周期”或“ 2n是函数y=sin2x的一个周期”为真命题;对于④，“x 2+y 2=0”可推出“ xy=O ”，反之，不一定推出，故为充分条件，则为假命题.则真命题的个数为 3.11. C【命题立意】本题旨在考查根的存在及根的个数判断；函数零点与方程根的关系，各种思 想的综合运用，譬如转化，分类讨论，数形结合等，难度较大.【解析】函数f (x )图像如图：设t=f (x ),有两种情况符合情况：a a a原方程化为(t a) (5t 6) 0,解得知二一龙 a.当t i =—,Q — (1,—)，5 5 5 4此时方程有4个根；由题意知，当t=a 时，方程应有两个根，5 结合图像知道，0<a 1或a=-. 4【易错易误警示】本题作图容易出现问题问题，一定要考虑到图像与直线 y=1逐渐逼近,但是不能达到；还有讨论的时候，第一种情况易漏. 12. D【命题立意】本题旨在考查解三角形问题，结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理 把-转化为关于角A 的三角函数问题，再进行解答即可.b c1 V3 1】 因为 a a bcsin A ， 得26 2a2 2bccOSA 2 3bcsinA 2bccosA2.3sSA 2cosA 4sin bcbc10. A【命题立意】本题旨在考查指数函数与对数函数. 【解析】由指数函数与对数函1 1 192 log a 1 a 2 3且a<1 2 3 a 1，所以a 2数的图像可知0 a 1 , 再A 正确.a 22-3bcsi nA ，则b c 2 b 2 c bc訐-时-三取得最大值，则选D.13. 1,4【命题立意】本题考查了抽象函数的单调性•【解析】根据题意可得， 2 x 1 3，解得1 x 4.14. 3【命题立意】本题旨在考查指数运算和均值不等式求最值，要用到转化和化归思想.【解析】x 31Q 2x3(y2 y, x3 y, x y3利用均值不：等式，1 41 1 4 14 1 1 4 1 1 4 1y4x — _ 3( )-—-3 ( ) - (x y)( )-(上—5) x y 3x y x y 3 x y 3x y 3x y5)3,当且仅当y4x时，x,y (0,)即y=2x取等号. 故-4的最3x y x y小值为3.15. 3【命题立意】本题旨在考查直线与圆位置关系，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于a的方程，求解即可..-.. 2 °°^3【解析】因为圆的方程为x a y a ,则有---------------- a，解得a=3.216. >-3【命题立意】本题旨在考查数列的性质【解析】••• a n=n2+ n,--a n+1 = (n+1) 2+ (n+1 )T a n 是递增数列，.•.( n +1) 2+ (n+1) - n2- n>0 化简可得2n+1+ >0•••>- 2n - 1，对于任意正整数n都成立，•••>- 3.17. (1 )、“ 3 ； ( 2) 21【命题立意】本题旨在考查解三角形，在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答.【解析】(1) 因为bsinC 、.3ccosB 0, sin BsinC 3sinCcosB 0因为sinC 0 ,cos B 0tan B .. 3 (2 )由(1)知，B —3由722a 2 2 2c 2accosB ,得 49 a c ac ,所以（ac)23 2 3ac 49(a c) 49 4所以a c 14（当且仅当a-c-7时取等号）， 所以 ABC 周长的最大值为21. 审题，注意裂项求和法的合理运用.【解析】（1）设等差数列｛a n ｝的公差这d , 则 S=5a 1+10d , --5a 1+10d=3 (a 〔+4d ) -2 , 整理，得a 1=d-1 ,•/ a 1, a 2, a 5依次成等比数列， 二 a 22= a 1a 5，即 (a 1+d ) 2=a 1 ( a 1 +4d ),整理，得d-2a 1,解得 a 1-1, d-2,--a n =2n-1 ./、 1 1 11(2) b n -a n an 12 2n 12n 1T 1 1 . 1n--T n - 1232n 1 2n 118. (1) a n =2n-1 . (2)n 2n 1【命题立意】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真。
2023年高考数学全真模拟试卷01(新高考专用)(解析版)
2023年高考数学全真模拟试卷01（新高考专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋·天津南开·高三南开翔宇学校校考期末）设全集为{}270U x N x x =∈-<，{}2,3,5UA =，{}2,5,6B =，则()UAB =（ ）A ．{}1,4B ．{}2,5C ．{}6D ．{}1,3,4,6 【答案】A【分析】把{}270U x N x x =∈-<化简，分别求出集合A ，UB ，然后求解()U A B ∩.【解析】{}{}{}270071,2,3,4,5,6U x N x x U x N x =∈-<∴=∈<<=又{}{}2,3,51,4,6U A A =∴=，又{}{}2,5,61,3,4U B B =∴=(){}1,4UAB ∴=，故选：A2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）复数()()231i 1i --在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【解析】()()()()()232221i 1i 1i i 12i i 2i 1i 2i 2i 2i 2----==-⋅=+=+---，则复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，位于第四象限，故选：D.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．2π3C ．5π6 D ．π3【答案】B【分析】先求得数量积1a b ⋅=-，再利用向量夹角公式即可求得a 与b 的夹角. 【解析】因为3a b +=，所以()22222523a b a ba b a b a b +=+=++⋅=+⋅=,则1a b ⋅=-.则11cos ,122a b a b a b⋅-===-⨯⋅. 又因为[],0,π∈a b ，所以2,π3a b =,即a 与b 的夹角为2π3.故选：B. 4．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数()32sin22xx x f x +=的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解． 【解析】∵()32sin22xx xf x += ，x ∈R ， 33||||()2sin(2)2sin 2()()22x x x x x xf x f x --+-+-==-=- ，则()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B 、D ； 对12sin 2(1)02f +=> 故可排除选项C ．故选：A ． 5．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =，则90a =（ ） A ．87 B ．89C ．88D ．90【答案】C【分析】根据已知条件求得公差d ，从而求得正确答案. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()199195927,22a a S aa a +⨯==+=，所以53a =．又因为108a =，所以1051105a a d -==-． 故()90109010188a a =+-⨯=．故选：C6．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若22sin 291cos 2αα+=-，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）A ．3-B ．3C ．97D ．97-【答案】B【分析】由题知sin 0,cos 0αα<<，进而结合二倍角公式整理得sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=，再代入求解即可.【解析】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα<<，()()()()222221sin 2212sin cos sin cos 22sin 291cos 22sin sin 112sin αααααααααα++++====---，所以sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=所以cos sin 2sin sin 3cos sin 2sin sin αααααααα++==--.故选：B 7．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）设120231e 2023a =，2024ln2023b =，sin(0.2023)c =︒，则（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数()()()e ln 1,0,1xf x x x x =-+∈，利用导数确定函数的单调性可得()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断,a b 大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180︒=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1e sin 6,0,1000xh x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，利用导数确定单调性可得()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论．【解析】设()()()e ln 1,0,1x f x x x x =-+∈，则()()11e 1xf x x x =+-+'， 设()()()11e 1x g x f x x x==+-+'，则()()()212e 01x g x x x =++>+'恒成立， 所以()f x '在()0,1上单调递增，所以()()00f x f ''>=恒成立，则()f x 在()0,1上单调递增，故()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12023112024e ln 1ln 202320232023⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，所以a b >； 因为10.000494322023≈，0.2023π0.20230.0035308160.00049432180︒=≈>⨯， 则10.202362023︒>⨯，设()1e sin 6,0,1000x h x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1e 6cos6xh x x x '=+-，又设()()()1e 6cos6xm x h x x x ==-'+，故()()2e 12sin60xm x x x =++>'恒成立，所以()h x '在10,1000x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()110001111e 6cos 0100010001000h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-< ⎪ ⎪⎝'⎭⎝⎭'恒成立，则()h x 在10,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1202311e sin 620232023⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭ 又()1sin 6sin 0.20232023⎛⎫⨯<︒ ⎪⎝⎭，则()120231e sin 0.20232023<︒，即c a >； 综上，c a b >>.故选：D ．8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a = (当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h ==.故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a =令2(02)a t t =<<，V ()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=， 403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V最大，此时h =．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中0.028a =B ．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD【分析】根据频率和为1可构造方程求得a ，知A 错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B 正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD 正确. 【解析】对于A ，()0.0150.0330.0110.011101a ++++⨯=，0.03a ∴=，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁的人对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有40000.15600⨯=人，B 错误；对于C ，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，C 正确；对于D ，设75%分位数为x ，则()0.015100.03310300.030.75x ⨯+⨯+-⨯=， 解得：39x =，D 正确.故选：CD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断正确的是（ ）A ．直线1B D ⊥平面1ACD ； B ．1A P ∥平面1ACD ；C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；D ．三棱锥1D APC -的体积不变 【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证明判断； 对于B ，利用线面平行和面面平行的判定定理证明判断；对于C ，分P 与线段1BC 的B 端和1C 端以及线段1BC 的中点重合判断；对于D ，由11D APC P ACD V V --=，结合1BC ∥平面1AD C 判断. 【解析】对于A ，如图所示：连接BD ，根据正方体的性质，∵1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，∴1BB AC ⊥，又∵BD AC ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥面1BB D ， ∴1AC B D ⊥，连接1A D ，根据正方体的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA ，且1AD ⊂面11A D DA ，∴111A B AD ⊥； 又∵11AD A D ⊥，且1111A B A D A =，∴1AD ⊥面11A B D ， ∴11AD B D ⊥，且1ACAD A =，∴直线1B D ⊥平面1ACD ，故A 正确 对于B ，如图所示：连接111,A B A C ，在正方体中，∵AC ∥11A C ， 且AC ⊂平面1ACD ，11AC ⊂/平面1ACD ，∴11A C ∥平面1ACD ，同理可证1BC ∥平面1ACD ， 又∵11A C 、1BC ⊂平面11BA C ，且1111=AC BC C ，∴平面11//BA C 平面1ACD ，又∵1A P ⊂平面11BA C ，∴1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，当P 与线段1BC 的B 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11A BC ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3BC A =∠； 当P 与线段1BC 的1C 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11AC B ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3AC B ∠=； ∴当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值，∴11A PC ∠为异面直线1A P 与1AD 所成角，又∵111A B AC =， 且P 为线段1BC 的中点，∴11π2A PC ∠=，故1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，11D APC P ACD V V --=，∵1BC ∥1AD ， 且1BC ⊂/平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴1BC ∥平面1AD C ，∴点P 到平面1ACD 的距离不变，且1ACD △的面积不变， 所以三棱锥1P ACD -的体积不变，故D 正确；故选：ABD.11．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数21e 1()e x x f x +-=，()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．方程()f x x =只有一个实根B ．()f x '的最小值为2eC ．函数()()()f x G x f x '=的值域为(1,1)- D ．函数()()()F x f x f x '=⋅为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程()f x x =不止一个实根；利用()f x ''的正负，求出()f x '的单调性，进而求得()f x '的最小值；利用分离常数法，求得2()1e 21x G x =+-，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；2222()e e x x F x ---=-，而()()F x F x -=-不符合偶函数的定义.【解析】对于A ，方程()f x x =，即2111e 1e e 0ex x x x x x ---+---==-，显然0x =是方程的一个根，令()11ee x x x g x ---=--，由于()0201e e 1g --=-<，()1302e e 2g --=->，根据零点存在定理可知，函数()g x 在()1,2上有一个零点， 因此方程()f x x =不只有一个实根，A 选项错误；对于B ，2111e 1()e e ex x x x f x ---+-=-=，则()1111()e e e 1e 1+x x x x f x ------'⋅-⋅=-=，()1111()e 11e e e x x x x f x ------'==-'⋅+⋅-，令()0f x ''=，即110e e x x ----=，解得0x =，当0x <时，()0f x ''<，所以()f x '在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因此()f x '的最小值为112+e(0)e e f --'==，B 选项正确； 对于C ，1122112221122+111()e e e e ()1()e e e e e x x x x x x x x x f x G x f x --------+-'====+-++=， 22222122011010220e 11e e e e 1x x x x x >⇒+>⇒<<⇒<<⇒-<-<+++， 则2111e 21x -<-<+，所以函数()G x 的值域为(1,1)-，C 选项正确； 对于D ，()()11112222()()()e e e e ee +x x x x x x F xf x f x ---------'-==-⋅= 而()22222222()ee e e ()x x x x F x F x ------=-==----，所以函数()()()F x f x f x '=⋅不是偶函数，D 选项错误；故选：BC.12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知抛物线23y x =上的两点()00,A x y ，()()000,0B x y x -≠及抛物线上的动点(),P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，坐标轴原点记为O ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程为32x =-B ．三角形AOB为正三角形时，它的面积为C ．当0y 为定值时，1211k k -为定值D ．过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠的圆的周长大于3π 【答案】BCD【分析】由抛物线方程判断A ，根据正三角形求出直线OA 斜率，联立抛物线求点A 坐标即可判断B ，直接计算1211k k -结合,A P 在抛物线方程上化简可判断C ，根据题意及圆的性质求出半径，结合点A 在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【解析】对A ，由抛物线23y x =知准线方程为34x =-，故A 错误；对B ，当三角形AOB 为正三角形时，不妨设A 在第一象限，则π6AOx ∠=，直线AO方程为y =，联立23y x =，可得009,x y ==故0||22AB y ==⨯=2||AOB S AB ==△B 正确； 对C ，001200,y y y y k k x x x x -+==--，当0y 为定值时 00000000022000020103((122)2)2)()()()331(x x x x y y x x y x x y x x y y y y k y y y y y k y x x -----===-+-+---=-=为定值，故C 正确；对D ，因为圆过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠，所以可设圆心为(,0)a ，则0R x a =-=22000()()2y x ax =-，故20003()2x x ax =-，因为00x ≠，所以0230x a =+>，即32a >-，故0332R x a a =-=+>，所以圆的周长32π2π3π2R >⨯=，故D 正确.故选：BCD第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）()8111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为___.（用数字作答）【答案】28-【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【解析】()81x +的展开式通项为818C rrr T x-+=，所以22867C 28T x x ==，53368C 56T x x ==．故所求2x 的系数为1285628⨯-=-．14．（2023·广西梧州·统考一模）直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为______．【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【解析】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =． 15．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知()2e e x xmf x -=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，则m n +=__________．【答案】1【分析】根据()()0f x f x -+=，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得m ，再根据导数的几何意义可得()2f n '=，从而可求得n ，即可得出答案．【解析】函数()2e e x xmf x -=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f m =-=，解得1m =，经检验成立所以()2e 1e x xf x -=，则()()22222e e e 1e e 1e e x x x xx xxf x ⋅--+'==， 因为()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，所以()2e 12e n nf n +'==，解得0n =，所以1m n +=．16．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点（异于点A ，B ），直线BP 交x 轴于点D ．若直线AB ，AP 的斜率之积为49，且BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为______．【分析】设点的坐标，求斜率，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，化简得22AP BP b k k a ⋅=-，结合BDO BOD ∠=∠，知2249AP ABb k k a ⋅==，再利用222c a b =-及离心率公式即可求解. 【解析】设()00,P x y ，(),A m n ，(),B m n --，则直线AP 的斜率为00y n x m --，BP 的斜率为00y nx m++，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220022x m y n a b --=-， 即200200x m y n a y n b x m +-=-⨯+-，即221AP BP a k k b =-⨯，即22AP BP b k k a⋅=-， 又BDO BOD ∠=∠，则AB BP k k =-，即22AP ABb k k a⋅=， 即2249b a =，则2249b a =，所以2222224599c a b a a a =-=-=，即2259c a =，则椭圆C的离心率为c a =四、解答题：本小题共6小题，共70分。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。
新课改高考数学小题专项仿真训练四十
新课改高考数学小题专项仿真训练四十一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、满足条件φ⊊ M ⊊｛0，1，2｝的集合M 共有A 、3个B 、6个C 、7个D 、8个 2、设集合M=｛x | x=k π2 + π4 , k ∈z ｝，N=｛x | x= k π± π4, k ∈z ｝，则M 与N 之间的关系是A 、M ⊆NB 、M ⊇NC 、M = ND 、M ≠N 3、下列四组函数中，表示同一个函数的是A 、f(x) = |x| 与g(x) = x 2B 、y = x °与y = 1C 、y = x+1与y = x 2－1x －1D 、y = x －1 与y =x 2－2x+14、设函数f (x) = 2－x －1 x ≤0若f (x 0) > 1，则x 0的取值范围是 x12x ＞0A 、（－1，1）B 、（－1，+∞）C 、（－∞，－2）∪（0，+∞）D 、（－∞，－1）∪（1，+∞） 5、函数y = lnx+1x －1x ∈（1，+∞）的反函数为 A 、y = e x －1e x +1 x ∈（0，+∞） B 、y = e x +1e x －1 x ∈（0，+∞）C 、y = e x －1e x +1 x ∈（－∞，0）D 、y = e x +1e x －1 x ∈（－∞，0）6、函数 f (x) = x | x+a |+b 是奇函数的充要条件是A 、ab = 0B 、a+b = 0C 、a = bD 、a 2+b 2 = 0 7、函数y = 1－1x －1A 、在（－1，+∞）内单调递增B 、在（－1，+∞）内单调递减C 、在（1，+∞）内单调递减D 、在（1，+∞）内单调递增 8、不等式(1+x) (1－|x| ) > 0的解集是 A 、｛x | 0≤x ≤1｝ B 、｛x | x ＜0且x ≠－1｝ C 、｛x | －1＜x ＜1｝ D 、｛x | x ＜1且x ≠－1｝9、当x ∈R 时，f (x)满足f (x+2) = f (－x+2)，如果方程f(x) = 0，恰好有4个不同的实根，这四个根的和为A 、0B 、2C 、4D 、8 10、设y = 13 x+m 和y = nx －6互为反函数，则m , n 值分别为A 、2 ，3B 、3，2C 、－6，3D 、3，－6 11、若函数f(x) =x －4mx 2+4mx+3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是A 、（－∞，+∞）B 、[ 0，34 ）C 、（34 ，+∞）D 、[ 0，34]12、设f(a) , g(x)都是单调函数，有如下四个命题①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)+g(x)单调递减④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)+g(x)单调递减其中正确的是命题是A、①②B、①④C、②③D、②④二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13、函数y =14x－5－4的定义域是________________________。
新数学高考模拟试题(附答案)
新数学高考模拟试题(附答案)一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7186．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种7．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310B ．310C ．3310- D 343-8．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 10．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8011．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=则BC=______ A 3B 7C 2D 23二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________16．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．三、解答题21．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 23．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.24．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 25．已知0,0a b >>.(1)211a b≥+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．26．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )bx x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．4．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C.考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.5．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．7．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-45×31325210-+⨯=， 故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.8．B解析：B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．9．D解析：D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新课改高三高考数学小题专项
仿真模拟训练一
(含答案)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函
数
y =2x +1
的图象是
（ ）
2.△ABC 中，cos A =
13
5
，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）
A.65
56 B.－6556 C.－6516 D. 65
16
3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.多于3
4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）
A.f (x ·y )=f (x )·f (y )
B.f (x ·y )=f (x )+f (y )
C.f (x +y )=f (x )·f (y )
D.f (x +y )=f (x )+f (y )
5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）
A.b ∥α,c ∥β
B.b ∥α,c ⊥β
C.b ⊥α,c ⊥β
D.b ⊥α,c ∥β
6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）
A.14
B.16
C.18
D.20
7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）
A.8种
B.10种
C.12种
D.32种
8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）
A.l 与a 、b 分别相交
B.l 与a 、b 都不相交
C.l 至多与a 、b 中的一条相交
D.l 至少与a 、b 中的一条相交
9.设F 1，F 2是双曲线4
2
x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，
则|1PF |·|2PF |的值等于（ ）
A.2
B.22
C.4
D.8
10.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）
A.31
B.40
C.31或40
D.71或80
11.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）
A.小
B.大
C.相等
D.大小不能确定
12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已
知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）
A.P 点
B.Q 点
C.R 点
D.S 点
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.
14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.
15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，
f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.
16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：
根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：
一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、13.（
21，1） 14.6 15. 2
1
新课改高考数学小题专项仿真模拟训练二
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量
共线的向量共有（ ）
A ．2个
B ． 3个
C ．6个
D ． 7个
2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )
A ． 21
B ． 1
C ． 2
D ． 4
3．若(3a 2
－3
12a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）
A ．4
B ．5
C ． 6
D ． 8
4． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）
A ． 20
3 B ． 10
3
C ．
20
1 D ． 10
1
E
F
D
O
C B
A
5．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）
A.（3，0）
B.（2，0）
C.（1，0）
D.（-1，0）
6．已知向量ｍ＝（a，b），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）
A.（a，－b）
B.（－a，b）
C.（b，－a）
D.（－b，－a）
7. 如果S=｛x｜x=2n+1,n∈Z｝,T=｛x｜x=4n±1,n∈Z｝,那么
A.S T
B.T S
C.S=T
D.S≠T
8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
9．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;
(2)若l⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )
A.4
B.1
C.3
D.2
10．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是（）
A.(－∞，4)
B.(－4，4]
C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)
D.[－4，2)。