第34届中国数学奥林匹克试题及解析

2k ∼ 2k+1 , k ≥ 2. 2max(a,b) P, Q
3. △ABC EB 证法一 O2
OE ∥ AD, DE ⊥BC △ADK △ABC
EK = EA △AKD
⊙(AKD)
∠P QA + ∠ABQ = 180◦ . ∠AKP = ∠ABQ.
∠P QA + ∠AKP = 180◦ OO2 , OE, O2 E .
y, z ≤ 2 x ≤ 8 7 一
⇒ x2 y 2 z ≤ 29 = 512, {a, b, c, d, e} = {−1, −1, −1, −1, 9}
.
x ≤ 6 + y ≤ 8 y, z ≤ 2 288 a, b, c, d, e
xy 2 z 2 ≤ 8 · 24 < 288
=0 C B y
c2 a2 = a c |xE | = |xF |, |yE | = |yF | B A D 的
a=c E . 2xA yB A B E 的 F xB xC = −yB yC ̸= 0
F B
xB xC = yB yC = 0 A x
axA xE = cyB yE = 1 2xA yB = 4 2 4 ≥√ =√ 2 2 acxE yE ac(axE + cyE ) ac 2 , yB = a √ 2 √ 2 √ 2 c 的 的 M 1 , M3 , M5 , M7 的 O A 一 一 .
2k + 1 ∼ 2k (k + 1) 2的 .
Hale Waihona Puke Baidu
2k + 1
数
2k + 1 4 5 6
{3, 4, 5}, {5, 12, 13}, {12, 16, 20}, {15, 20, 25}, {7, 24, 25}, {10, 24, 26}, {6, 8, 10} 2a , 2b , a, b ≥ 2 P, Q . 一 BC E 一 BC P ̸= D 一 数 (4) a, b
. 4
∠BAK = ∠CAQ Q Q 的 A, K, D, Q′ 一
∠ABK = ∠AQC A, K, D, Q 一 O
△ABK ∼ △AQC △ABK ∼ △AQC Q′ . ∠ABK = ∠AQ′ C
的
△ABK ∼ △AQ′ C ∠ABK = ∠AQ′ C A, K, D, Q′
AQ′ · AK = AB · AC AD ∠BAC ∠DAK = ∠DAQ′ = θ. 的 –
. 3
证法二 些 1 2 3 4 5 O E O BC BC EB △ADK AS K BC A B D
的 C
– 的 AB < AC S AS ∠BAC 的 .
A 的 BC
EK = EA P O Q PQ
. PQ O ∠CQP = ∠CAQ. A, B, C, Q，A, K, P, Q ∠CQP = ∠AQP − ∠AQC = (180◦ − ∠AKP ) − (180◦ − ∠ABP ) = ∠ABP − ∠AKP = ∠BAK ∠BAK = ∠CAQ P P 一 的 .
AB · AC = 2AD · AK cos θ − AK 2 的 AB · AC = DA2 − DK 2 EK = EA DE = R △KDE
AB · AC = DA2 − EK 2 − ED2 AB · AC = DA2 − EA2 − ED2 △ADE 一
AB · AC = 2AE · DE sin ∠AEB = 2R · AE sin ∠AEB AE sin ∠AEB 的 AZ
AB · AC = 2R · AZ D, E, K
一
的
的 AB · AC = 2R sin B · AB = 2R · AZ .
. . 6
证明
O
Q′
∠BAK = ∠CAQ′
∠SAK = θ AD
O
S
AZ ⊥BC
Z.
OE ∥ AD, OS ∥ DE
OSDE
DE = OS = R
O
AB · AC = 2R sin B · AB = 2R · AZ = 2AE · DE sin ∠AEB = 2R · AE sin ∠AEB = DA2 − EA2 − ED2 = DA2 − EK 2 − ED2 = DA2 − DK 2 = 2AD · AK cos θ − AK 2 △ABK ∼ △AQ′ C ∠ABK = ∠AQ′ C AQ′ · AK = AB · AC AD ∠BAC ∠DAK = ∠DAQ′ = θ
y ≤6+x y + 2z = 10 + 2x x2 z 2 y ≤ 4 · 9 · 8 = 288 5 二 i x≤3 y≤2 z ≤ 2 6 二 ii
⇒
{a, b, c, d, e} = {−1, −1, −1, 4, 4}
.
⇒ x2 y 2 z ≤ 8 · 9 = 72
a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e
5 ∑ i=1
ai = 2(a + b + c + d + e) = 10
a = 5 − a4 − a5
数 b, c, d, e.
a, b, c, d, e ≥ −1 ⇔ ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1 ) ∑ {ai } ai 5 ai = aT (i) ∏
ai = 10, ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1 ) 些 5 的一 T ai 些 的 的 ai aT (i)
ai 的 的
. 一
aT (i) 的 . .
. 1
1 ∏ 2 一 −x + 2y + 2z = 10 −x + y ≤ 6 y + z ≤ 6 ∏ ai ≥ −162 i y + z ≤ 6 2y + z = 10 + 2x ≤ 12 − z ( ⇒ xy z ≤ x
−1, −1, −1, 4, 4 −1, −1, −1, −1, 9 .
−512 a, b, c, d, e
. 2
2. P, Q 证明 Pm
数 a, b, c
一 数 a, b
的 P1 , P2 , · · · , Pm a∼b 的 .
2 2
{a, b, c} P = P1 , Q = Pm P 1 , P2 , · · · , P m k .
. 7
第二天
4. 1 2 证明 1 的
2
一 的
的 的
. 一的 的
2
. c>a>0 E 的 G xE : yE = xG : yG A, B, C, D 的 0 EG
ax + cy = 1 EF GH
E, F, G, H axE x + cyE y = 1 E G B B
axG x + cyG y = 1 F E H F 的
. ∀ 1 ≤ i ≤ m − 1, P1 ∩ Pi+1 ̸= ∅. Pi ∩ Pi+1 ̸= ∅ a ∈ P1 , b ∈
数m≥2 a, b 1 a ∼ b ⇒ ka ∼ kb 2 a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c 3
{2k + 1, 2k (k + 1), k + (k + 1) } 数的 1, 2 1, 2 2 的数 a∼b 的 AB < AC, O K 一 Q ̸= A. F PQ AD D ∠BAC △ABC ⊙O . 数 2的 P, Q 的 (1) . 数
AK · sin θ + AQ′ · sin θ = AD · sin 2θ AQ′ 二 公 AK + AB · AC /AK = 2AD · cos θ
AB · AC = 2AD · AK cos θ − AK 2 的 Q′
. 5
D OE ∥ AD, OS ∥ DE . OSDE
D的
. O
DE = OS = R
.
.
.
第三十四届中国数学奥林匹克
第一天
1. a, b, c, d, e ≥ −1 a + b + c + d + e = 5 的 数. S = (a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a) . 解法一 1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一 数 ( (b + c)(c + d)(d + e)(e + a) ≤ ≥ −162. 2 2 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 数 ≤ 64 ≥ −512. ≥ −512 ( ≤ 3 数 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 3 数 3 数 ≥ −2 2 a+b<0 10 − a − b 4 )4 ≤ 81 a + b ≥ −2
2018
11
.
数
≤ 16 .
a = b = c = d = −1, e = 9
1 2 2 数
a + b, b + c, c + d, d + e, e + a a + b, b + c, c + d, d + e, e + a . a + b, c + d > 0 a+b+c+d=5−e≤6 一
)5 2a + 2b + 2c + 2d + 2e = 32. 5 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一 (a + b)(c + d) ≤ 9.
axE xB + cyE yB = 1 = axF xB + cyF yB
a(xE − xF )xB = −c(yE − yF )yB
a(xF − xG )xC = −c(yF − yG )yC
a(xF + xE )xC = −c(yF + yE )yC
a2 (xE − xF )(xF + xE )xB xC = c2 (yE − yF )(yF + yE )yC yB x B x C = −y B y C xB xC = −yB yC ̸= 0 那
AK · sin θ + AQ′ · sin θ = AD · sin 2θ 的 – A, K, D, Q′ Q Q′
∠CQP = ∠AQP − ∠AQC = (180◦ − ∠AKP ) − (180◦ − ∠ABP ) = ∠ABP − ∠AKP = ∠BAK = ∠CAQ PQ 注 的 一 一 O的 . 的一 的. 的 – S
OF ⊥BC AO = OF = DE
OF ∥ ED AOED
OF ED .
O2 A = O2 D O2 OE △O2 OE . 1 ∠ABQ = ∠AOQ = ∠AO2 O + ∠O2 AO 2 EO2 ⊥AK, ED⊥KC ∠AKC = 180◦ − ∠O2 ED = 180◦ − ∠O2 OA = ∠ABQ.
引理的证明 0 . Pi (xi , yi )
2 2
ai ≤ 25 = 32
y+z 2
)4
( )4 6 ≤2· = 162 2
{a, b, c, d, e} = {−1, −1, 4, −1, 4}
.
3 二
⇒ 2x + z ≤ 2
( )3 ( )3 2 2 2 x y z≤ ·y ≤ · 62 < 32 3 3
2 2
4 二
ii z≤3 x ≤ 2 y≤8 z ≤ 3
a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [−2, 8] 3 e ≥ −1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a e+a≥4 ≤ 288 解法二 . a = b = c = −1, d = e = 4
≤ (−2)2 × 9 × 8 = 288. a+b > 0 . (b + c) + (d + e) ≤ 0 a≥5
√ 号 A 解 OABC 1. 2. . 8 2 M1 M3 2 OA OA′ = OB . P1 P2 , P3 P4 M5 M7 O B ax2 E =
2 cyE
xA =
P5 P6 , P7 P8
3. 4. 5.
O O O
一 Q1 Q2 的 √ 2 ABCD 一 .
Q 1 , Q2 , Q3 , Q4 A1 , C1 ; B1 , D1 A1 , C1 , B1 , D1 的 的 的 P1 P2 , P3 P4 Ax2 + Cy 2 = 1 的 . M1 M3 . y = kx + b1 , y = kx + b2 A, C, B, D
2 2 2 2 a2 (x2 E − xF ) + c (yE − yF ) = 0
2 2 2 a(x2 E − xF ) + c(yE − yF ) = 1 − 1 = 0, 2 2 2 x2 E − xF ̸= 0, yE − yF ̸= 0
x2 E F ̸= G
−
x2 F E
=
2 yE
−
2 yF