2.3均值、方差、自相关函数的估计

奇次性。在平衡的三相系统中，由于对称关系，偶次 谐波已经被消除了，只有奇次谐波存在，奇次谐波引 起的危害比偶次谐波更多更大。
谐波危害
对于电力系统来说，电力谐波的危害主要表现有以下几方面： (1)增加输、供和用电设备的额外附加损耗，使设备的温度
过热，降低设备的利用率和经济效益： ①电力谐波对输电线路的影响： 谐波电流使输电线路的电能损耗增加。当注入电网的谐波频
率位于在网络谐振点附近的谐振区内时，对输电线路和电力电缆 线路会造成绝缘击穿。
P lim 1
T
2
x(t) dt
T 2T T
P lim 1
N
2
x(n)
N 2N 1 nN
确定性能量信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：
Rx (m) x*(n)x(n m) n
*是共轭，若x(n)、 y(n)为实序列*可省略
Rxy (m) x*(n) y(n m) n
R 4）互相关函数有 Rxy (m)
* (m)
yx
2
5）Rx (0)Ry (0) Rxy (m)
6） Rxy () mxmy
7） 维纳——辛钦定理 平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系
维纳—辛钦定理: 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为
傅里叶变换，即：
Sx (e j ) F[Rx (m)] Rx (m)e jm m
综上，可以得出如下结论： 当各样值互不相关时，对均值的估计是无偏的一致估计
事实上各样值之间是 存在相 关性的
2.3.2 方差的估针
^
计算方差估计值的一种方法是： x2
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
t2)
2.3.1 均值的估计
将N个样点数据的算术平均值作为均值的
估计 mˆ ，即
mˆ x
1 N
N 1
x(n)
n0
（2.3.1）
利用前面介绍的评价指标，可以对该点估计进行质量评价
估计的均值： （2.3.2）
E[mˆ x ]
E[ 1 N
N 1
x(n)]
n0
1 N
N 1
E[x(n)]
n0
x(n)
y(n
m)
周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同
3.平稳随机信号的相关函数
平稳随机信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：
Rx (m) E[x*(n)x(n m)] （2.4.10） Rxy (m) E[x*(n) y(n m)] （2.4.11）
平稳随机信号的相关函数的性质：
5）相关卷积定理 对实信号有：
Rx (m) x(m) x(m)
（2.4.5）
Rxy (m) x(m) y(m)
证明：
Rxy (m) x(n) y(n m)
n
（2.4.6）
= x(l m) y(l) (令n m l)
l
= x[(m l)]y(l)
l
=x(m) y(m)
确定性能量信号的相关函数的性质
E[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
x2 )
E{[
2 x
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
^
^
var(
2 x
)
E{[
2 x
2 x
]2}
^
可以证明，当
N
时，var(
2 x
)
0
所以式（2.3.5）对方差的估计是无偏的一致估计
d
1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d
2
0 sin(0t1
) sin(0t1 )
1
2
d
1
4
2
0 [cos0 (t1
Βιβλιοθήκη Baidu
t2 )
cos(0t1
0t2
2 )]d
1
4
2 0
cos0 (t1
t2 )d
1 2
cos0 (t1
E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2
N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn
1 N
mx2
N N
1
m
2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )
1 N
mx2
N 1 N
m2
x
m2x
1 N
(mx2
m2x )
1 N
x2
^
当 N 时，var(mx ) 0
f(
)=
1
2
,
0 2
0, else
E[x(t)] E[sin(0t )]
(2)方差
2
x(t) f ( )d
0
2 0
sin(0t
)
1
2
d
0
2 (t) E{x(t) E[x(t)]}2
2 {x(t) E[x(t)]}2
0
f
( )d
2
0 [sin(0t
) 0]2
1
2
Sxx ()
2
2). 白噪声序列{w(k)} 白噪声序列是白噪声过程的一种离散形式, 它的自相关函数为
Rww (l) 2 l
l 0, 1, 2,
l
1 0
l 0 l0
谱密度为常数: S w (w) 2
(3) 白噪声序列的产生：
a）（0，1）均匀分布随机数的产生（Rand函数） b）物理方法 （噪声经采样） c）数学运算，（同余运算）
（2.4.16）
Rx (m)
F
1[ S x
(e
j
)]
1
2
Sx (e j )e jmd
（2.4.17）
1
令m=0，可得 Rx (0) 2
Sx
(e
j
)d
功率谱
2.4.2 随机信号的功率谱
平稳随机信号的功率谱具有如下性质：
1）不论x(n)是实序列还是复序列，Sx (e j ) 都是 的实函数
2）如果x(n)是实序列，Sx (e j ) 具有偶对称性
m m 将上式代入（2.1.3），可得 Cx (0) Rx (0)
2 x
mx2
2 x
由式（2.1.1），有 Cx (0)
2 x
3）一个非周期平稳随机序列 m 时，序列项之间可认为
不相关，即
m m Rx ()
2 x
Cx () Rx ()
20
x
也就是说，序列项之间可认为不相关时，协方差等于零
不是真正的连续（0，1）均匀分布的随机数
(4) 伪随机信号
用计算机（或电子线路）人为产生的一种作为输入用的 测试信号，这个信号的自相关函数与白噪声相同，但它 有重复周期。
伪随机信号的自相关函数在l= 0, T, 2T, 取值 2
其它各点为零。由于伪随机信号的周期性，它的相关
函数可以表示成有限时间（一个周期）内的时间的平均
1
2
X
(e
j
)
2
d
信号序列能 量
能量互谱密度
X *(e j )Y (e j )
Rxy (m)e jm
m
（2.4.8）
2.确定性能量信号的相关函数
确定性功率信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：
Rx
(m)
lim
N
1 2N 1
N nN
x(n)
x(n
m)
Rxy
(m)
lim
N
1 2N 1
N nN
且 Rx (0) 就是信号的能量，即
E Rx (0) x(n) 2 n
3）对于能量信号，当间隔 m 时，序列项之间就失去
了相关性，即
Rx () 0, Rxy () 0
4）互相关函数 Rxy (m)不是偶函数，由式（2.4.2），有
Rxy (m) R*yx (m)
确定性能量信号的相关函数的性质
谐波产生的过程
谐波产生的根本原因是由于非线性负载所致。当电流 流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成非 正弦电流，从而产生谐波
谐波频率是基波频率的整倍数，根据法国数学家傅立 叶（M.Fourier）分析原理证明，任何重复的波形都可 以分解为含有基波频率和一系列为基波倍数的谐波的
正弦波分量。谐波是正弦波，每个谐波都具有不 同的频率、幅度与相角。谐波可以区分为偶次与
值。（非时间）。 Rxx
(
)
1 T
T
X (t)X (t )dt
0
伪随机信号产生的最简方法：将一个随机数，取长度为T的一 段，然后在其它时间段里重复。
2.5.2 谐波过程
谐波过程:是随机初相正弦序列
分为: 实正弦序列 复正弦序列
引言
在工业调速传动领域中，与传统的机械调速相 比，用变频器调速有诸多优点，故其应用非常 广泛，但由于变频器逆变电路的开关特性，对 其供电电源形成了一个典型的非线性负载，变 频器在现场通常与其它设备同时运行，例如计 算机和传感器，这些设备常常安装得很近，这 样可能会造成相互影响。因此，以变频器为代 表的电力电子装置是公用电网中最主要的谐波 源之一，其对电力系统中电能质量有着重要的 影响。
2.3 均值、方差、自相关函数 的估计
用随机系列x(n)的N个取样点{x(0),x(1),…,x(N-1)} 来估计x(n)的均值、方差和自相关函数
例：求随机过程 X (t) sin(0t )
数学期望，方差及自相关函数。其中，w0
为常数，是在区间[0, 2 ]上均匀分布的随机
变量。
解:(1)数学期望Q 的概率密度函数为
N m0
1 N2
N 1 N 1
E[x(n)x(m)]
n0 m0,mn
1 N2
N 1
N 1
{E[x2 (n)]
E[x(n)x(m)]}
n0
m0,mn
1 N2
N 1
{E[x2 (n)]
n0
1 N2
N 1 N 1
{
n0 m0,mn
E[ x(n)x(m)]}
（2.3.4）
为便于分析，假定x(n)与x(m)是互不相关的，则
S Sx (e j ) Sx (e j )
*(e j )
x
2 3）Sx (e j ) 对所有的 都是非负的，且是 的周期函数 并且周期为
2.5 白噪声过程和谐波过程
白色噪音（白噪声） (1). 白噪声过程： 是一种最简单的随机过程，是一种均值
为零，谱密度为非零常数的平稳随机过 程。它的自相关函数为
确定性信号的相关函数
1.确定性能量信号的相关函数 什么是确定性信号？——自变量的确定函数
数字关系式或图表惟一地确定
能量信号是指能量有限的信号。对连续和离散时间信号分别满足：
2
E x(t) dt
2
E x(n)
n
如果信号能量无限大，比如确定性的用期信号、阶跃信号以及随机信号，就
不能从能量而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号。
1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即
R Rx (m)
*(m),
x
Rx (m) Rx (m)
R 若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称 Rx (m)
*(m)
x
2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即 Rx (0) Rx (m)
且 Rx (0) 就是序列的平均功率，即
Rx (0) E[x2(n)] mx2
确定性能量信号的相关函数的性质：
1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即
R Rx (m)
*(m),
x
Rx (m) Rx (m)
R 若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称 Rx (m)
*(m)
x
确定性能量信号的相关函数的性质
2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即 Rx (0) Rx (m)
6）相关定理
能量信号的相关函数与能量谱是傅立叶变换对。根据
1.1.5节介绍的正反傅立叶变换的定义式、可以将该定理表示
为： X (e j ) 2 F[Rx (x)] Rx (m)e jm
（2.4.7）
m
Rx (m)
F 1[
X
(e
j
)
2
]
1
2
X
(e
j
)
2
e
jm
d
将m=0代入上式，得
能量谱密度
Rx (0)
事实上，因为式（2.3.5）的均值也只能来自估计，所以方差
的估计往往不是式（2.3.5）而是
^
x2
1 N
N 1
^
[ x(n) mx ]2
n0
可以证明，此为渐近无偏 的一致估计
作业 2.3.3自相关函数的估计
要求：用不超过一页作业纸说明
2.4 相关函数与功率谱
2.4.1 相关函数
因为平稳随机信号的相关函数是确定性的，所 以对平稳随机信号的分析和处理常常在相关域进行。 当用线性移不变离散时间系统对随机信号进行处理 时，虽然信号是随机的，但用来描述线性系统的单 位脉冲响应总是确定性的。所以，接下来首先介绍
Rxx ( ) 2 ( )
当 Rxx ( ) 0 时,只要 t2 t1 0 则X(t1)和X(t1)相互独立.
谱密度为 S xx ( ) 2 等于它的方差
这表明白噪声过程的功率在-到的全频段内均匀分布，类 似于光学中的白色光，因而称为白噪声。
理想白噪声的总功率是无限的。实际上只要随机信号 在所考虑的频率范围内是常值，就可近似认为是白噪 声。不完全满足这三个条件者，则称为有色噪声.
1 N
N 1
mx
n0
mx
此为无偏估计
2
估计的方差：var(mx ) E[m x ] [E(mx )]2
将式（2.3.2）代入上式，得
2
2
var(mx ) E[m x ] mx2
对 E[m x ] 有
（2.3.3）
2
E[m x ]
E{[
1
N 1
x(n)][(
1
N 1
x(m)]}
N n0