相似三角形应用题

经开学习中心学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级：初三 课 时 数：3课时 学科教师： 辅导科目：数学 授课时间段： 课 题 中考第20题 相似三角形实际应用题

教学目的

1、复习巩固相似三角形知识点

2、使学生熟练利用相似三角形解实际应用题

教学内容

解直角三角形小题和大题中都有可能出现，小题会出现选题中，大题出现在20题！

知识点1：三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

知识梳理

考试大纲

A

注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。

知识点2：相似三角形常见的图形

1、如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(1)

E

A

B

C

D

(2)

C

D

E

A

B

(3)

D

B

C

A

E

2、如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

A

B

C

D E

1

2A

A

B

B

C

C D

D

E

E

124

1

2

3、如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

E

C

A

B D

E

A

B

C (

D )

E

A

D

C

B

4、如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

B

E

A

C

D

1

2

知识点3：相似三角形的性质

1、相似三角形对应角相等，对应边成比例．

2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

3、相似三角形周长的比等于相似比．

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

实际应用

考点二：利用相似测量几何物体

1、如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ．

2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 ．

3．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？

4.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

5.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

6.如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看

到楼顶M 点，若5.1 AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．

7.如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离

BD 各是多少？（古代问题）

8.小明(如图中ＡＢ)身高为１.６ 米ꎬ通过地面上的一块平面镜( 点Ｃ)ꎬ刚好能看到前方大树的树梢(点Ｅ)ꎬ此时他测得俯角为４５°,然后他直接抬头观察树梢,测得仰角为３０°.求树的高度ＥＤ.(结果保留根号)

9.如图ꎬ小明同学用自制的直角三角形纸板ＤＥＦ，测量树的高度ＡＢ，他调整自己的位置，设法使斜边ＤＦ 保持