概率与数理统计论文

概率论与数理统计在生活中的应用

英才学院1136005班刘砚文

摘要：概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让我们用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。

关键词：概率；应用；经济；保险；彩票

由于传统的概率论与数理统计学习属于知识传授型，比较注重课程的系统性、独立性和方法的应用，人为地割裂了数学理论和教学方法与现实世界的联系，不利于我们对数学方法产生的背景和思想的理解，使我们不善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问题，只是生搬硬套，而真正在实际中有重要应用的值的数理统计部分往往被轻视，使得有些人在学完这门课之后只知道几个抽象的分布，甚至连最简单的数据处理方法都不会应用．而基于概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用与实践中对我们确实是较困难而又受益非浅的事。

1大数定律在保险业的应用

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。

例如某企业有资金Z单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为Z1个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金Z-Z1单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为f(Z)，显然有f(Z)-f(Z-K)，当K=Z1时为预期风险条件下利润损失额。当f(Z)-f(Z-K)≥0时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为X i（i=1,2,…,n），则X i的概率分布为：

上表中，P为风险发生的概率，Z1为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为E(X i)=Z1P。

根据契贝晓夫大数定律，当Z1有限时，0ε∀>，

111lim 0n i n i P X Z P n ε→∞=⎛⎫-≥= ⎪⎝⎭∑.

0ε∀>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。

定理1：在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ，(0

2

2lim t x n P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭⎰。 定理2：设随机变量X1，X2，…，Xn ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （Xk ）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,…).则随机变量

σμn n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111

)

(

的分布函数F n （x ）对于任意x 满足

⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ

根据上述中心极限定理，由事先约定的β>0，则

11121n i i P X Z P n εβ=⎛⎫⎛⎛⎫-≥≈-Φ≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭∑

这样，由事先给定的ε、β、P 确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.

例如：当ε=0.01、P=0.0012，则当约定β=0.001时，一定有n ≥130,也就是说当n ≥130时，上述的结果成立。

依据上述结果，从两个方面来看，

从微观上看，因为0PZ 1，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有f(Z-Z 1)

从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为

()()()

111n i i i D f Z f Z Z ==--∑。

其中f i (Z)表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）.

而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为

()()()

211n i i i D f Z f Z PZ ==--∑。

则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：

()()()

12111n n i i i D D D f Z PZ f Z Z ==-=---∑

由于f(Z-Z 1)

所以此效益随着n 的增大而增大。

综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。

保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有：

1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。

2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。

2 概率论在彩票活动中的应用

十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

现代社会，彩票市场越来越火爆，作为投资人，买彩票一定不要把赢的可能建立在运气上,彩票是一种智者的游戏。如果你把它当做一种理性投资的话，技巧和策略是不可缺少的。彩票论坛林立，研究方法繁多，而真正值得信赖的，是基于数学概率与精确统计之上的科学分析。

1) 概率均等原理

彩票属于机会性游戏，所以是概率论的用武之地。如果你掌握了概率论，就等于拥有火眼金睛，在彩市如虎添翼，搏取属于自己的精彩。不过，在彩票研究中，很多彩民把概率与几率混为一谈，实际上这是一个重大的误区。在此先简述一下他们的区别。

几率，是指在已经发生的随机事件中，某一种随机事件在整个随机事件中所占的比例。概率是由巨大数据统计后得出的结论，讲的是一种大的整体的趋势，是原整体的规律；几率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律，是阶段性的趋势和规律。举个例子：掷一枚硬币，正面和反面出现的概率相等，都是1／2，这是经过上百万次试验取得的理论数据。但是如果只掷20次，可能正面出现的几率为 13／20，则反面出现的几率仅为7／20。由此可以看出，概率和几率的关系，是整体和具体、理论和实践、战略和战术的关系。几率随着随机事件次数的增加，会趋向于概率。

彩票摇奖是一个随机的过程，所以从理论上来说，每一个备选号码在每一期中被摇出的概率是相同的，在短期内可能会有这样或那样的偏差，但是从长远来看，不论是从理论上来说，还是从中外各种彩票中奖号码的实际统计表来看，每个备选号码的摇出概率又是基本均等的，即每个号码或某几类数量相等的号码被摇出的总次数基本相等。

因此我们可以得出一个非常重要的博彩结论：在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以几率为依据。