一阶线性常微分方程解法及教学

(6)
它就是含有 y和 y′的一次二项式 ,常数变易法也联想过该公式. 根据此联想 , 在 ( 5) 两端乘以一个
适当的非零函数因子 μ( x) 得 :
μ( x) y′- μ( x) p ( x) y =μ( x) q ( x)
(7)
为使 ( 7) 式左端为一完全微分式 ,比较 ( 6) 式 ,只需恰当选取 μ( x) 使之满足如下关系即可 :
四 、三种方法比较表
方法
思想
一致性
优点
不足
常数变 易法
积分因 子法
联想 : 通 过先求 对应齐 次 方 程 通 解 ,再代入原非齐次方程 , 从方程 成立的形 式 推 测 齐 次 通 解 的 任 意 常数是变或不变.
转化 :从常数变易法的逆向观察发 现方程可转化为全微分形式 , 由此 联想借助 辅 助 函 数 实 现 方 程 向 全 微分转化.
21积分因子法 常数变易法是从给定非齐次方程对应的齐次方程通解的构造出发而展开的 , 若换个角度直接 从非齐次方程 ( 1) 本身出发寻求突破则会发现新思路.
为此 ,将方程 ( 1) 变形为 dy - p ( x) y = q ( x)
(5)
dx
考察方程 ( 5) 不难看出 :若 p ( x) = 0,方程左边恰为未知函数的导数 , 这时只需对方程两边积
三 、基于函数变换的新解法 根据现有一些教材体系 ,学生在学习一阶线性微分方程之前已有的求解常微分方程知识仅局
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高等数学研究 2007年 5月
限在可分离变量方程和齐次方程的解法 ,其中的可分离变量方程是基础的基础 ,用已有知识解决新 问题是人类分析解决问题的普遍逻辑和认识规律 , 设法直接将一阶线性微分方程化归为可分离变 量方程求解当符合这个规律.
12
高等数学研究
Vo l110, No13
STUD IES IN COLL EGE MA THEMA T ICS
M ay. , 2007
一阶线性常微分方程解法及教学3
鲜大权 (西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)
摘 要 在讨论求解一阶线性常微分方程的常数变易法 、积分因子法的基础上 , 导出了函数变换法 , 对比分 析了它们在解决一些实际问题的基本思想和方法策略 ,提出了对教材相应内容的处理意见 , 阐述了所述内容在教 学中对学生进行思维能力训练的地位和作用.
(3)
不难看出 , ( 2) 的以上两种形式解不等价 ,前者不包含 y = 0和负数 ,但后者在 C = 0时包含了
( 2) 的常数特解 y = 0,故后者要全面些 ,其任意常数 C达到真正意义的任意 ,其中就包括可以取 0
和负数 ,因此 ( 3) 才是 ( 2) 的通解.
事实上 ,当 C 为常数时 ,由 ( 3) 有 y ∫ = C e p( x) dx p ( x) = yp ( x)
关键词 一阶线性 常微分方程 常数变易 积分因子 函数变换 中图分类号 O175. 1
一 、引言 常微分方程因其广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注和高度重视. 但许多常微分方 程教材都存在明显的对各类型方程求解的孤立技巧与方法的汇编倾向 ,许多内容的联系比较松散. 面对这种情况 ,在教学中特别需要把握好教学方法和切实突出课程中的基本思想和方法 ,使学生在 学习中能得到应有思维训练. 尤其是一阶线性常微分方程是非常重要的一类方程 ,它作为常微分方 程的基础内容之一 ,具有完整的系统理论和丰富的实际背景 ,学好该内容对提高学生学习后继内容 的积极性和思维能力具有重要奠基作用. 在教学中因此应高度重视该内容教学. 本文以此讨论如下 一阶线性微分方程的多种解法及其教学问题 :
五 、结论
本文讨论的求解一阶线性微分方程的函数变换法 , 在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前 性. 同时 ,方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了 ,符合学生认知规律. 它在思想上很好地体现 了变换化归的思想 ,讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用. 而在方法的功能上 , 它不仅 能解决当前的线性方程问题 ,而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用. 所以 , 函数变换法典 型性好 、普适性强 ,学生易于接受. 讨论该方法的应用对拓展学生思维能力提高其数学 (下转 33页 )
(上接第 14页 ) 素养具有很好作用. 但在教学实践中 ,考虑到公共数学课面对的学生基础和教学目的 的局限性 ,当只能讲授常数变易法 ,其余两法只作说明而不能具体涉及 , 以此扩大学生知识视野而 又不增加教学难度. 但对专业教学则可作必要拓展. 个人实践是以讲授常数变易法为主 , 函数变换 法为辅 ,将其列为课堂讨论题目并作具体推导 ,但讲而不要求. 对积分因子法 ,则只作为学生思考题 目给出 ,并作适当的提示 ,让有兴趣和学有余力的学生思考. 对教材作这样处理 ,能在不增加教学难 度的情况下 ,既可突出重点又能较好地分化难点 ,有利于拓展学生知识视野 、激发学生学习兴趣和 提高学生对数学的理解能力.
∫ 从而 C ( x) = ∫ q ( x) e- p( x) dx + C,将此代入 ( 3) 得 ( 1) 的不定积分形式通解为 :
∫ y ∫ = e p( x) dx ( ∫ q ( x) e- p( x) dx + C )
(4)
公式 ( 4) 称为 ( 1) 的常数变易公式. 这一简洁解法颇具技巧 ,作用较大 ,其精妙之处是对常数 C 的变易处理 ,在教学中通过以上的分析猜想引出对 C的变易思想 ,对活跃学生思维和提高其理解能 力具较好效果.
] f ( x) du = ( p ( x) f ( x) - f′( x) ) u ( x) + q ( x)
( 13)
dx
为使方程 ( 13) 变量可分离 ,令 p ( x) f ( x) - f′( x) = 0
( 14)
则方程 ( 13) 化为如下变量可分离形式 :
∫ f ( x) du = q ( x) ] du = q ( x) ] u ( x) = q ( x) dx + C
μ′( x) = - μ( x) p ( x)
(8)
据此可将 ( 5) 化为 [μ( x) y ] ′=μ( x) q ( x)
(9)
∫ 对 ( 9) 两边积分得 μ( x) y = μ( x) q ( x) dx + C
( 10)
∫ 其中 C为积分常数. 再由 ( 8) 得μμ′((xx)) = - p ( x) ] lnμ( x) = - p ( x) dx
常微分方程教材中介绍的大多是常数变易法 ,本文先简要讨论两类常用解法.
11常数变易法
显然 y = 0是 ( 2) 的一个常数特解. 当 y ≠ 0时 ]
∫ 积分得 : ln | y | = p ( x) dx + ln | C | ( C ≠ 0)
dy = p ( x) dx y
或
∫ y = C e p( x) dx
dx
dx f ( x)
f ( x)
( 15)
∫ 由 ( 14) 有 p ( x) = f′( x) ] lnf ( x) = p ( x) dx + lnC ] f ( x) ∫ = C e p( x) dx f ( x)
( 16)
∫ 将 ( 16) 代入 ( 8) 得 : u ( x) =
∫ q ( x) e-
∴μ( x) = e- ∫p( x) dx ,将此代入 ( 10) 并解出 y即得所求 ( 1) 的通解 :
∫ y ∫ = e p( x) dx ( ∫ q ( x) e- p( x) dx + C )
( 11)
以上解法即为积分因子法 ,所乘非零函数因子称为积分因子 , 其本质为待定函数思想 , 其想法 的目的明确 ,推导过程自然简明 ,所涉及的都是学生熟悉的知识基础 ,学生因此易于接受.
解法 将 ( 2) 的通解 ( 3) 中的任意常数 C变易为 x的待定函数 C ( x) 后代入 ( 1) 得 :
[ C ( x) ∫ e p( x) dx ] ′= p ( x) C ( x) ∫ e p( x) dx + q ( x) ] C ′( x) ∫ = q ( x) e- p( x) dx
代入 ( 2) 等式成立 ,从而 ( 3) 是 ( 2) 的解. 下求 ( 1) 的解 ,为此将 ( 3) 代入 ( 1) 有 :
3 收稿日期 : 2006 - 07 - 10;修改稿 : 2007 - 03 - 22
第 10卷第 3期 鲜大权 :一阶线性常微分方程解法及教学
分就可达到求解目的. 但若 p ( x) ≠ 0则不能直接进行这样的积分 , 其困难在于方程左端的两项一
般来说不是一个完全微分式. 若能通过一种变换使其左边转化为完全微分式 , 则问题可迎刃而解.
事实上 ,并非含有 y和 y′的一次二项式不可能是全微分式. 联想乘积的导数 :
(μy) ′=μy′+μ′y
为达到对 ( 1) 分离变量的目的 ,特作如下函数变换 :
y ( x) = f ( x) u ( x)
( 12)
其中 f ( x) 和 u ( x) 为待定函数. 由 ( 12) 得 dyf′( x) u ( x) + f ( x) du,代入 ( 1) 得 :
x
dx
f′( x) u ( x) + f ( x) du = p ( x) f ( x) u ( x) + q ( x) dx
11 本质都具特定 函数的化归思想 ; 21基本目的一致 , 所得公式解一致.
突出了非齐次方程与 对应齐次方程解的关 系.
对后继教学内容具启 发性.
过程较复杂 , 技巧性 较强.
在方法上与后继教学 内容具重复性.
函数变 换法
化归 :直接约化为变量分离方程.
典型性好 、普适性强.
对原理的理解存在一 定难度.
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∫ e p( x)பைடு நூலகம்dx p ( x) ∫ = C e p( x) dx p ( x) + q ( x)
显然右边多一项 q ( x) 而致 ( 1) 不恒等. 为使左边也具有 q ( x) 一项 , 根据函数乘积的导数公 式 ,若 ( 3) 中的常数 C 不是常数而是 x的函数 , 则有希望多出一项与右边的 q ( x) 这项对应而实现 ( 1) 的恒等 ,据此而将常数 C变易成 x的函数 C ( x) ,至于 C ( x) 具体是什么函数则代回 ( 1) 予以确 定 ,这本质上是待定函数思想 ,此所谓 L agrange常数变易法.
p ( x) dx
dx
+C
C
( 17)
∫ 将 ( 16) ( 17) 代入 ( 12) 得 ( 1) 的通解为 : y ( x) ∫ = e p( x) dx ( q ( x) e- ∫ dx p( x) dx + C )
以上解法的基本思想是待定函数的化归思想 ,是基于变量分离的思想引出的 , 其思路清晰 , 推 导过程简单 ,涉及的基础知识也都是学生已知的 ,学生因此不难接受. 此解法作者尚未见文献讨论.
致谢 :感谢浙江大学蔡燧林教授的悉心指导 !
参考文献
[ 1 ] 吴迪光等. 高等数学教程 [M ]. 杭州 :浙江大学出版社 , 2000年 8月 , P120 - 121, 153 - 155; [ 2 ] 同济大学数学教研室. 高等数学 (第四版 ) [M ]北京 :高等教育出版社 , 1993年 , P288 - 291; [ 3 ] 蔡燧林 ,胡金德 , 陈兰祥. 2005 硕士研究生入学考试数学辅导讲义 [M ]. 学苑出版社 , 2004年 3 月 , P266;
第 10卷第 3期 孙海娜 :从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系
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二是要学会将不定积分与变限定积分互相表示的方法.
∫ ∫x
从以上讨论可以看出熟练掌握不定积分与变限定积分的关系 ,即 f ( x) d t = f ( t) d t + C,对解 a
决这类抽象函数的性质的题目大有用处 , 或者可以讲 , 像上述这类题一定要利用这个式子才能求 解. 所以我认为讲课中必须强调一下不定积分与变限定积分的关系式子 ( 3 ) .
dy = p ( x) y + q ( x)
(1)
dx
对应的齐次线性方程为 dy = p ( x) y
(2)
dx
二 、常用解法概述
方程 ( 1) 的成熟解法较多 ,除常见的 L agrange常数变易法外 ,还有积分因子法 、积分变换法 、幂
级数法等多种. 但有些解法如幂级数法等 ,由于涉及数学知识较多而在教学中很少介绍 , 在一般的