概率论与数理统计第四版第六章PPT课件

但是，一旦取定一组样本，得到的是n 个具体的数 ( x1 , x2 , … , xn )，称为样本的 一次观察值，简称样本观察值 。
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最常用的一种抽样方法叫作“简单 随机抽样”，它要求抽取的样本满足下 面两点:
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1. 代表性： X1 , X2 , … , Xn 中每一个 与所考察的总体有相同的分布。 2. 独立性： X1 , X2 , … , Xn 是相互独 立的随机变量。
样本
样本值
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§6.2 抽样分布 1. 统计量及其抽样分布
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布 称为抽样分布。
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2. 样本均值及其抽样分布
1. 样本均值
X
1 n
n i1
Xi
反映了总体均值的信息
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定理: 设 X1,X2,,Xn 是来自某总体X的样 本, X 为样本均值。
渐近分布
（大样本问题中使用)
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三大抽样分布
1、 2 分布
定义: 设 X1,X2,,Xn相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2X 1 2X 2 2 LX n 2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为： 2 ~2(n)
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2 分布的密度函数为：
f(x;n)2n21(n2)xn21e2x
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 ： F ~F ( n1 , n2 ) .
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由定义可见，
1 F
Y X
n2 n1
~ F ( n2, n1)
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若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
f(x;n1,n2) ( n 2 (1)n1 2n(2)n 2 2)(n n1 2)n n (1 2x)n 2 111n n1 2xn1 2n2 x0
0
x0
X的数学期望为:
E(X ) n2 n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
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F0.025(6,4)9.20 F0.975(6,4)?
y
F1(n1,n2)
F( n1 ,n2 )
1
一般地，
x
F1(n1,n2)F(n12,n1)
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P {F F 1 (n 1 ,n 2 )} 1
记为： T ～ t (n).
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T 的密度函数为：
[(n1)2] x2 n1
f(x;n)
(1 ) 2
(n2)n n
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对 n >2
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t分布的密度函数关于x=0对称，且 L im f ( x;n ) 0
n
1
n
( 1 i1
Xi
X
)2
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事 实 上 ： n(X iX 2)2nX i2nX 2
i1
i1
故 有 ： S2n 11i n1Xi2nn 1X2
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定理 设总体X有 EX=μ, DX=σ2， X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的样本，则：
EX
Es2 2
2 DX
n
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它反映了总体k 阶矩 的信息
3. 样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
4. 样本k阶中心矩 Bk n1in1(Xi X)k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
k=1,2,…
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统计量也是随机变量，统计量的 分布称为统计量的“抽样分布” .
抽样分布 精确抽样分布 （小样本问题中使用）
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§6.1 随机样本 1.总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象。
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体。
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在数理统计中，总体这个概念 的要旨是：
———总体就是一个概率分布。
25
20
15
10
5
0
-500
0
500
1000
1500
2000
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容量为 n 的样本（也称为子样）可以 看作 n 维随机变量： ( X1 , X2 , … , Xn )
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由简单随机抽样得到的样本(子样）称 为简单随机样本（子样）。
用（ X1 , X2 , … , Xn ）表示。
简单随机样本是应用中最常见的情形，
今后，当说到（ X1 , X2 , … , Xn ）是取自
某总体的样本时，就指简单随机样本。
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3. 总体、样本、样本值的关系 总体（理论源自文库布）
x
当n充分大时，其图形类似于标准正 态分布密度函数的图形。
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不难看到，当n充分大时，t 分布近 似N (0,1)分布。 但对于较小的n，t分布 与N (0,1)分布相差很大。
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3、F分布
设 X~2(n 1)Y ,~2(n 2),X与Y相
互独立，则称统计量
F X n1 Y n2
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若 X ~2(n), 则 EX = n, DX= 2n
由中心极限定理可得，若
X ~ 2( n ) ，则当n充分大时，
X n
2 n 的分布近似正态分布N(0,1).
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2、t 分布
设X～N(0,1) , Y～ 2 (n),且X与Y相互独
立，则称变量
T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布。
第六章 样本及抽样分布
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本章转入课程的第二部分
———数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支较多。 社会的发展不断向统计提出新的问题。
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需要强调说明一点：
统计方法具有“部分推断整体”的 特征 。
因为我们是从一小部分样本观察值 去推断该全体对象（总体）情况，即由 部分推断全体。 这里使用的推理方法是 “归纳推理”。
0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x ) 定义为
(x)ettx1dt, x0 0
.
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2 分布的性质：
1. 设 X1,X2,,Xn相互独立, 都服从分布
N(,2), 则
2
1
2
n
(
i1
Xi
)2
~
2(
n)
2. 设 X 1~2(n 1 )X ,2~2(n 2)且, X1,X2相互
独立，则 X 1X 2~2(n 1n2)
1. 若总体分布为 N( μX ,σ2), 则 的X 精确分 布为 N(μ, σ2/n ) ；
2. 若总体分布未知或不是正态分布， 则 X 的渐近分布为 N(μ, σ2/n ) ；
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2. 样本方差与样本标准差
它反映了总体方差 的信息
样本方差
S 2
1 n
n
1
i
(
1
X
i
X
)2
样本标准差
S