医药数理统计自考复习

第一章
一、事件之间的关系及运算：
包含：事件A 发生必然导致事件B 发生，记作B A ⊂或A B ⊃。

相等：若B A ⊂，同时有A B ⊂，记为A=B 并事件：C A B =+={,A B 至少有一个发生} 交事件：AB ={,A B 同时发生}
互斥事件：,A B 不同时发生即Φ=AB ,互斥完备群：即(1)i j A A i j n =Φ≤≠≤且1n
i i A ==Ω∑
对 立事件：在一次试验中A 与B 有且仅有一个发生,即Φ=AB 且A B +=Ω
二、事件的概率
1．频率的定义：进行条件相同的n 次试验，事件A 出现m 次，则称m 为事件A 的频数，比值n/m 称为事件A 发生的频率。

记作()f A m n =
2．概率的古典定义：主要看例题 3．概率的性质： 1）、 ()01P A ≤≤； 2）、1)(=ΩP ； ()0P Φ= 三、概率的运算
1．加法定理：互斥事件()()()P A B P A P B +=+ 一般事件 ()()()()P A B P A P B P AB +=+- 对立事件 ()()()1P A B P A P B +=+=
2．乘法定理：独立事件()()()P AB P A P B =（独立的定义：()(/)P A P A B =或
()(/)P B P B A =）
一般事件()()(/)()(/)P AB P A P B A P B P A B == 注意：独立不互斥，互斥不独立 3．条件概率：()()
/()
P AB P B A P A =
，()/1(/)P B A P B A =-
四、全概公式和逆概公式（重点） 定理1：若事件组12,,
n B B B 是一列互不相容的事件，且有1
n
i i B ==Ω∑,对任何事件A ，有
()1()()/n
i i i P A P B P A B ==∑，即
1211
()()
()
()(|).
n n
i i n i i i P A P AB AB AB P AB P B P A B ===++
+==∑∑
定理2：若12,,
n B B B 是一列互不相容的事件，且
()1
,0,1,2,
n
i
i i B
P B i ==Ω>=
∑
则对任一事件A,P(A)>0有()()()
()()
1
///i i i n
i
i
i P B P A B P B A P B P A B ==
∑，即
()()/()
i i P AB P B A P A =
例题，书后习题。

第二章概率分布与数字特征
离散型变量的概率分布与数字特征 一、概率函数
1、定义：{}k k P X x p ==，写成表格的形式（分布率）
2、 基本性质：0≥i p ；∑=i
i p 1
二、分布函数
1、定义：(){},
F x P X x x R =≤∈
25{}P x X x <≤52{}{}P X x P X x =≤-≤52()()F x F x =-
345()()()P x P x P x =++
2、性质：0()1F x ≤≤；()F x 是x 的不减函数；()()0,1F F -∞=+∞=。

三、常见的离散型随机变量的分布
1、伯努力试验：对立、独立、重复
2、二项分布：~(,)X B n p ，,(1)EX np DX np p ==-
在n 次伯努力试验中，事件A 发生k 次的概率{}(1),k k
n k n
P X k C p p -==- 二项分布的最可能值0k ：(1)n p +是整数，0(1),(1)1k n p n p =++- (1)n p +不是整数，0[(1)]k n p =+ 3、泊松分布：~().X P λEX DX λ==
e {},!
k
P X k k λλ-==
四、数字特征
1、均数（期望）：1()k k k E X x p ∞
==∑，（加权平均）
均数的性质： E (C )=C ； E (kX )=kE (X );()E kX b kEX b +=+；()E X Y EX EY ±=±； 设X 、Y 独立，则 E (XY )=E (X )E (Y );
2、方差：（波动程度，离散程度）
2()[()]D X E X E X =-22()[()]E X E X =-，22()i i i
E X x p =∑
标准差：)(X D
方差的性质： D (C )= 0；2()().D kX k D X =；
设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，则 ()()()D X Y D X D Y +=+ 3
、变异系数：CV =
，不同随机变量之间波动程度的比较
连续型随机变量的概率分布与数字特征 一、密度函数()f x
1、定义：d {}()b
a P a X
b f x x <<=⎰，
2、密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈； .1d )(=⎰∞
+∞
-x x f
二、分布函数
1、定义：(){}()d x F x P X x f t t -∞
=≤=⎰
，
2、分布函数的性质：(1)0()1,F x x R ≤≤∈
(2)()F x 是单调不减函数；
(3)
()lim ()0,()lim ()1x x F F x F F x →-∞
→+∞
-∞==+∞==
(4)()()f x F x '=
注意：(1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即{}0P X c == (2){}{}P a X b P a X b <<=≤<{}{}P a X b P a X b =<≤=≤≤()()F b F a =- (3)()1()1()P X x P X x F x >=-≤=- 三、常见的连续型随机变量的分布
1、正态分布
1）、一般正态分布，2(,)X N μσ，2,EX DX μσ==
密度函数： 22
()2()x f x x μσ--
=
-∞<<+∞，
密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈.
.1d )(=⎰
∞+∞
-x x f
μ确定曲线在坐标系中的位置，σ影响曲线的形状：当σ较大时，曲线较平坦；当σ较小
时，曲线较陡峭.
分布函数是22
()2(),t x F x t x μσ--
-∞
=-∞<<∞⎰
e
d
2）、标准正态分布()0,1X
N
密度函数2
2
(),x x x ϕ-
=
-∞<<∞，
()()x x ϕϕ-=
分布函数e
d 22
()t x Φx t -
-∞
=
⎰
， ()1()Φx Φx -=-，
3）、一般正态分布要化为标准正态分布计算
2(,)X
N μσ，
(0,1)X N μ
σ
-
四、连续型变量的数字特征
1、均数（期望）：d ()()E X xf x x +∞-∞
=⎰
，性质同离散型
2、方差：2()[()]D X E X E X =-22()[()]E X E X =-，d 22()()E X x f x x +∞-∞
=⎰
性质同离散型 标准差：)(X D 3、变异系数：CVX =，不同随机变量之间波动程度的比较
第三章 随机抽样和抽样分布
一、统计量的定义： 二、样本的数字特征
1、样本均数：1
1n
i i X X n ==∑，2,EX DX μσ==
2、样本方差：2
211()1n i i S X X n ==--∑22111n i i X nX n =⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
∑ 3、样本标准差：S 4、中位数： 5、众数： 6、极差： 三、抽样分布 1、样本均数的分布
n X X X ,,,21 相互独立,且与总体),(~2
σμN X 同分布, 则样本均值),(~2
n
N X σμ
标准化：~(0,1).X U N =
临界值
2、2χ分布
定义：设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，称
222
2
12n X X X χ=++
+，为服从自由度为n 的2χ分布，22~().n χχ
2χ分布的性质:
1）、设)(~1221n χχ,)(~2222n χχ,且21χ,2
2χ相互独立,则22212
12~()n n χχχ++ 2）、若)(~22n χχ,则n E =)(2χ,n D 2)(2=χ
3）、
)1(~)1(22
2
--n S n χσ
2
χ分布的密度函数图像、2
χ分布的临界值
2、t 分布
定义：设)1,0(~N X ,)(~2n Y χ,且X 与Y 相互独立,则称随机变量
T =服从自由度
为n 的t 分布，记为T ～t (n ).
t
分布的性质：X t =
~(1)t n -
12~(2)X Y t t n n =+-（），22
2
1212(1)(1)2X Y w n S n S S n n -+-=+-
t 分布的密度函数图像，临界值 3、F 分布
定义：设)(~12n X χ,)(~22
n Y χ,且X 与Y 相互独立,则称随机变量 1
2
//X n F Y n =
服从自由度为12(,)n n 的 F 分布，记作12~(,)F F n n
性质：22
1122
22
~(1,1)X
Y
S F F n n S σσ=-- F 分布的密度函数图像，临界值 练习：55页，5题
第四章 总体的参数估计
一、参数的点估计
1、衡量估计量好坏的标准：无偏性、有效性、一致性。

无偏性：ˆ()E θ
θ=； 有效性：12
ˆˆ()()D D θθ< 样本均数和样本方差是总体均数和总体方差的无偏、有效、一致估计量。

二项分布，样本率ˆX p
n =是总体率的无偏估计量。

ˆˆ,pq
Ep p Dp n
==
泊松分布，ˆX λ
=是总体参数λ的无偏、有效估计量。

二、总体参数的区间估计 1、 置信区间的定义
2、正态分布的总体置信区间的确定（两个样本除外）61页，例1，例2
3、二项分布的总体置信区间的确定 1）、查表法（小样本）
2）、正态近似法（大样本）70页，例2
ˆ~(,)X pq p
N p n n
=ˆ~(0,1)
N ⇒
，n 由于
，
ˆˆˆ1. p q p S =-=
其中若记于是所求总体率p 的置信区间为 //2ˆ2ˆ(,)ˆˆp p p S p u S u αα-+⋅⋅ 或/2ˆ(ˆ)
p p u S α⋅±
练习：72页，4，5，14
第五章 总体参数的假设检验
一、假设检验的基本思想
1、假设检验的基本思想：小概率原理
2、假设检验中的两类错误以及两类错误之间的关系 第一类错误：α（弃真），0H 为真，拒绝0H 第二类错误：β（取伪），0H 为假，接受0H
关系：样本容量一定时，减小犯一类错误的概率，就会增加犯另一类错误的概率。

二、正态总体参数的假设检验。

注意检验的步骤，对方差的检验不要求掌握，成组比较中，反差未知且不相等，不考。

84页，例4
1、单个正态总体均数的检验
2σ已知 0010
00
:,
:H H μμμμμμμμ=≠><
(0,1)X U N =
拒绝域 ：2
||U u U u U u αα
α
≥≥≤-
2σ未知 0010
00
:,
:H H μμμμμμμμ=≠><
(1)X T t n =
- 拒绝域 ：2
||T t T t T t αα
α
≥≥≤-
2、单个正态总体方差的检验
22
22
0010
22022
0:,:H H σσσσσσσσ=≠>< 2
2220
(1)(1)n S
n χχσ
-=- 拒绝域：2222
12
2
22
22
1,ααααχχ
χχχχχχ-
-≤≥≥≤或
3、两个正态总体均数差的检验
三、离散型变量总体率的检验
1、列联表独立性的检验：四格表、列联表，例题4，5，99页，18题
2、参照单位法（不要求）
第八章 相关与回归
一、相关
1、 总体相关系数的性质 （1）1ρ≤；
（2）X 和Y 线性相关1ρ⇔=；
（3）如果X 和Y 独立，则0ρ=；若0ρ=，则X 和Y 非线性相关。

2、样本相关系数
定义：1()()xy i i i i i i l x x y y x y x y n ⎛⎫⎛⎫=--=-
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑， 2
221()xx
i i i l x x x x n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑，2
221()yy i i i l y y y y n ⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
∑∑∑
l r =
性质：（1）1r ≤；
-1≤r <0，为负线性相关；0<r ≤1，为正线性相关；
（2）|r |越趋于1表示x 与y 线性关系越密切；|r |越趋于0表示x 与y 线性关系越不密切 3、相关系数的检验（了解） 1．R 检验，01:0,
:0H H ρρ=≠
2
l
r f n
==-，拒绝域：{||}
W r r
α
=≥
2．T检验，
01
:0,:0
H H
ρρ
=≠
~(2)
t t n
=-，拒绝域：
2
{||(2)}
W t t n
α
=≥-
二、回归方程
1、建立回归方程
,
xy
xx
l
b a y bx
l
==-，ˆy a bx
=+
2、回归方程的显著性检验
01
:0,:0
H b H b
=≠
2,
xx yy
U b l Q l U
==-
()
1,2
/(2)
U
F F n
Q nα
=-
-
F F
α
>，拒绝
第九章正交试验设计
一、正交表符号的含义
二、正交表的性质：158页
三、试验结果的直观分析：。