第十章 无穷级数 4 函数项级数

n1
则 an( x)bn( x)在X上一致收敛.
n1
例8
证明级数
n2
(1)n ln n
2 1
xn xn
在 0, 上一致收敛.
证明:an
(
x)
2 1
xn xn
;bn (
x)
(1)n ln n
.
则
bn( x)收敛,
n2
且与 x 无关,故也一致收敛.
an( x)
1 1 1 xn
2, 即an( x)在0, 上一致有界.
若函数项级数 un( x)的一般项满足: n1
un( x) an , x X , n 1,2,
且正项级数 an 收敛,则该函数项级数在X上 n1
一致收敛.
这里级数 an称级数 un( x)的强级数.
n1
n1
例6
判断函数项级数 (1 x)xn 在区间 0,a (a 1) 上是否 n1
一致收敛. 是. (1 x)xn xn an .
❖如果函数序列fn(x)在某一实数集 X上的每点处
都收敛,则称该序列在X 上逐点收敛.
❖ 设函数序列fn(x)的每一项在集合 D内有定义,该
序列在其收敛域 X D中定义了一个函数
f
(x)
lim
n
fn( x),
x X
称函数 f (x)为序列的极限函数.
例如, fn( x) xn
例1
讨论函数序列
若l 0及点列 xn (n 1,2,),使当n N (N Z )
时,有
fn( xn ) f ( xn ) l,
则 fn ( x)在 X 上不一致收敛.
命题 3 : 设函数序列fn(x)在 X上收敛到极限函数 f (x).
(
极 若在 X 中存在点列 xn (n 1,2,),使
限 形
fn( xn ) f ( xn ) k 0 (n ),
n1
n
义.若其部分和序列Sn( x) uk ( x)在集合X上一致
k 1
收敛,即 0, 只依赖于 而不依赖于x 的自然数
N ,s.t.当 n N 时,有
Sn( x) S( x) uk ( x) , x X ,
k n1
则称级数 un( x)在X 上一致收敛于S( x) .
n1
由部分和序列一致收敛定义函数项级数一致收敛.
an
(
x)
an1 (
x)
(1
xn( x 1) xn )(1 x
n1
)
,
当 x 1时,an( x)关于 n单调递减; 当0 x 1时,an( x)关于n 单调递增. 总之,x 0,, an( x) 都关于 n 单调. 由Abel判别法知,原级数在0, 上一致收敛.
5. 一致收敛级数和函数的性质
例4
函数序列
f
n
(
x
)
1
nx n2
x
2
,
n 1,2, 在区间
X1 0,1 和 X2 a,1 (a 0) 上是否一致收敛?
否,取点列
xn
1 n
是,
nx 1 n2 x2
n n2a2
1 na 2
0
函数序列在某区间上不一致收敛的充分条件:
命题 2 :设函数序列fn(x) 在X上收敛到极限函数 f (x).
在实数轴上不连续!
Question:
函数项级数的和函数在什么条件下保持其 函数项 un( x) (n 1,2,) 的性质,如:连续性, 可微性,可积性,导数间关系,积分间关系等; Remark: 在本节的讨论中,时而以函数序列为对象,
时而以函数项级数为对象.
2. 函数序列的一致收敛性
❖ 设函数序列fn(x)在集合 X上收敛于极限函数f (x).
f (x)
f (x)
ffffNnN((x1x2())(xx))
例3
关键:找到 一个与 x无
关的N!
证明函数序列
f
n
(
x
)
1
x n2
x
2
,
n 1,2,
在实数轴上一致收敛.
证明:
f
(x)
lim
n
fn ( x)
0,
x (,),
x 1 n2x2
1 ,
2n
0,
要使
fn(x)
f (x)
,
只需
1 2n
n1
(
ln n nx )
一致收敛.
于是,得证.
或者
0, s.t. 1 a a, 又
un ( x)
ln n na ,
lim
n
ln n na
na
0,
由比较判别法知,
n1
(
ln n
n
x
)
一致收敛.
于是,得证.
本节小结
❖ 基本概念 ❖ 函数序列的一致收敛性 ❖ 函数项级数的一致收敛性 ❖函数项级数一致收敛的判别法 ❖一致收敛级数和函数的性质
un ( x) u1( x) u2( x) un ( x)
n1
称为定义在集合 D上的函数项级数.
❖ 级数 un( x)在 x0点收敛,则称x0点为 un( x)的收敛点.
n1
n1
❖ 级数 un( x)在x0点发散,则称x0点为 un( x)的发散点.
n1
n1
函数项级数在收敛域内逐点收 敛
2
即 bn( x) 的部分和序列一致有界,故级数一致收敛.
n1
定理 5 : (Abel 判别法)
设函数项级数 an( x)bn( x)在集合X上有定义,且满足: n1
(1) 任取 x X , 数列an( x)对 n单调;
(2) 函数序列an( x) 在X上一致有界;
(3) 函数项级数 bn( x)在X上一致收敛,
数学分析II
第十章 无穷级数
§4 函数项级数
生物数学教研室
1. 基本概念
❖
若一点x0
D使得序列
fn
(
x0
)收敛,即极限
lim
n
fn( x0 )
存在,则称序列 fn(x)在x0点收敛,x0称为该序列的
收敛点,序列 fn ( x)的全体收敛点所组成的集合 X
称作序列的收敛域.
函数序列在收敛域内逐点收敛
1 nx
1 na
,a
1, 由比较判别法知,
1 nx
n1
收敛.
un
(
x)
ln n nx
,它在a,
b上连续.
当 n足够大时,有
ln n nx
ln n na
1 n(a1)/ 2
ln n n(a1)/ 2
1 n(a1)/ 2
.
又
a
1,
所以(a
1)
/
2
1,故
n1
n(
1
a1)
/
2
收敛.由
强级数判别法知,
Sn( x) S( x) , x (,).
函数项级数一致收敛的必要条件
定理 1 :若函数项级数 un( x)在 X 上一致收敛,则其 n1 一般项序列un( x)在X上一致收敛于 0 ,即 un( x) 0, x X (n )
部分和序列 1 函数项级数 1 一般项序列 1
4. 函数项级数一致收敛的判别法
式 则fn(x)在 X上不一致收敛.
)
函数序列的一致有界性
设函数序列 fn ( x)在集合X上有定义. 若存在常数M,
使得对一切 n = 1, 2, … , 及任意 x X 都有
fn(x) M
则称函数序列 fn ( x) 在 X 上一致有界 .
3. 函数项级数的一致收敛性
❖ 设函数项级数 un( x)中的每一项在集合X 中有定
解:
x (1 x2 )n
2 2n
1 2n1
而级数
1 2n
n1
收敛,
由强级数判别法知, 原级数在1,2上一致收敛.又
un( x) 在1,2上连续,故 S( x)在1,2 上连续.
推论:
设 X是一区间(开区间,闭区间或半开半闭的区间),
若un( x) (n 1,2,) 在 X上连续,但和函数S( x) un( x) n1
a un( x)dx.
n1
n1
例 10
考虑级数 nxn ,求定积分 a nxndx (0 a 1). 0
n1
n1
定理 8 : (逐项求导) (比较复杂!)
设函数项级数 un( x)在a,b上逐点收敛于S( x) ;
n1
un( x)的导数un ( x) 在a,b上连续,且级数 un( x)
例 5(难!)
证明函数项级数
n1
(1)n1 x2 (1 x2 )n
在实数轴上一致收敛.
证明:
(1)n1 x2 n1 (1 x2 )n
x
2
n1
( 1
1 x
2
)n
这是一个等比
q
1 1 x2
1的等比级数,因此x (,)
Sn
(
x)
(
x
2
)
1
1 x2
1
(1)n1 (1 x2 )n1
1
1 x
则 an( x)bn( x)在X上一致收敛. n1
例7
判断函数项级数
sin nx
n1 n
在
,2
(0
)
上是否一致收敛.
解:令an
1 n
,
bn( x)
sin nx,则
an单调趋于0,并且与x无关,
所以当然也一致趋于0.
Bn( x)
n
sin kx
k 1
1 sin x
1
sin
,
x ,2
.
2
❖ 函数项级数 un( x)的收敛点的全体称为它的收敛域. n1
❖ 发散点的全体称为它的发散域.
❖ 对收敛域 X内的任一点 x ,记级数 un( x)的和为S( x). n1 则S( x)是定义在 X上的函数,称级数 un( x)的和函数. n1
函数项级数的和函数是 部分和序列的极限函数
例2
求级数 x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 ) 的收敛域与和函数. 说明:级数中每一项在实数轴上都连续,但是和函数
定理 6 : (和函数的连续性)
设函数项级数 un( x) 在a,b上一致收敛于和函数S( x), n1
且其每一项 un( x) (n 1,2,)在a,b上都连续,则和函数 S( x)也在a,b上连续.
例9
求函数项级数
x
n1 (1 x2 )n
在1,2上的收敛性并判断
和函数S(x)的连续性 .
.
我们取
N
1
2
1,
则当
n
N
时,
x 1 n2x2
.
函数序列在某区间上一致收敛的充分条件:
命题 1 : 设函数序列fn(x) 在区间 X上收敛到极限函数
f ( x). 若存在数列an使
fn( x) f ( x) an, x X , n N ,
且an 0 (n ),则 fn( x)在 X上一致收敛于f ( x).
在 X上不连续,则级数 un( x)在 X上不一致收敛. n1
定理 7 : (逐项积分)
若级数 un( x)在a,b上一致收敛,且其每一项 un( x) n1
在a,b上都连续,则其和函数S( x) un( x)在a,b上 n1
可积,且可逐项积分,即
b
b
b
S( x)dx (
a
a
un( x))dx
若 0, 只依赖于 而不依赖于x 的自然数N ,s.t.
当 n N 时,有 fn( x) f ( x) , x X ,
则称函数序列fn(x)在X上一致收敛于 f (x),记作
fn( x) f ( x), x X (n ).
函数序列逐点收敛与一致收敛的区别
逐点收敛: N 与 和变量 x 都有关; 一致收敛: N只与 有关,而与变量 x无关.
定理 4 : (Dirichlet 判别法)
设函数项级数 an( x)bn( x)在集合X上有定义,且满足: n1
(1) 任取 x X , 数列an( x)对 n单调;
(2) 函数序列an( x) 在X上一致收敛于0;
(3) 函数项级数 bn( x)的部分和序列Bn( x) 在X上 n1 一致有界,
n1
在 a, b上一致收敛,则
和函数S( x) un( x)在a,b上可导,且可逐项求导,
即有
n1
S( x) un( x), x a,b,
三个条件
n1
三个结论
且 S( x)在a,b上也连续.
例 11
求证 Riemann ζ函数
(x)
n1
1 nx
在a,b (a 1) 中连续可导 .
证明: x a,b,
定理 2 : (关于一致收敛的Cauchy准则)
函数项级数 un( x)在集合X上一致收敛的充要条件是: n1
0, 只依赖于 的 N ,s.t. 当 n N 时, 自然数 p ,有
n p
uk ( x) , x X .
k n1
(此定理不便于直接应用…)
定理 3 : (Weierstrass判别法)(强级数判别法)
2
,
1
S
(
x
)
(
x
2
)
1
1
1
x2 1
x
2
则
Sn(x)
S(x)
(x2
x2 2)(1
x2 )n
而 x2 2 2x 2, (1 x2 )n 1 nx 2 2x n, 故当 x 0 时,
(x2
x2 2)(1
x2 )n
x2 4x2 2n
4
1 2n
则
0,取
N
1
32
2
1,当
n
N 时,
f
n
(
x
)
1
1 x
2n
,
n 1,2,的收敛域
及极限函数.
1
解:
lim
n
fn
(
x)
lim
n
1
1 x
2n
0
1 2
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x 1 x 1 x 1
x (,),lim n
fn( x)存在.所以它的收敛域为
(,), 极限函数为 1
f ( x) 0
1 2
x 1 x 1 x 1
❖ 设un( x) (n 1,2,)是定义在集合 D上的函数, 和式