高二数学竞赛

高二年级数学竞赛试卷

一、填空题（共8小题，每小题8分，满分64分。请直接将答案写在题中的横线上）

1.若实数,x y 满足2

2

254x xy y -+=，则2

2

x y +的取值范围是

___________.3⎡-+⎣

2,如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去几个角后的 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC 1=3.则这个多面体的体积为______________48

3若]1,(--∞∈x ，不等式0124)(2>++-x x m m 恒成立，则实数m

的取值范围是

_______32<<-m

4,在三角形ABC

中，2,1,AB AC BC ===为三角形的外心，且,AO AB u AC λ=+u u u r u u u r u u u r

则

__

u λ+=136

5. 设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是

11

22

q << 6. 设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =L ，若

7()128381f x x =+，则a b += . 5a b += 7. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1

(1)

n n n S a n n -+=

+，1,2,n =L ，则通项

n a = ．)1(1

2

1+-=

n n a n

n 9. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足

(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = ．

200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+ 二、解答题：

11、（16）正四棱锥P ABCD -中，AB=3,且侧面PAD 与侧面CPD 所成的二面角大小为23

π

，

（1） 证明：平面PAD PBC ⊥面

（2） 判断该四棱锥是否存在外接球，若存在，求出该四棱锥外接球的体积；若不存在，说明理

由

12.(20)椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在y

轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为

2

，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A,B ，且AP PB λ=u u u r u u u r

(1)求椭圆方程；（2）若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r

,求m 的取值范围

13（20）设,,x y z 为正数，满足1xy yz zx ++=

证明：222()(y z)(z x)(1x )(1)(1)xyz x y y z +++≥---

左视图俯视图

主视图

B A

C

B D B

C 1

A 1

C 1

A 1C 1A

1

（5）[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而 sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b

q B C A A a

ππ+-=====+-．

因此，只需求q 的取值范围．最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需

a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2

2

10,

10.

q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩

解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩

q <<

（6） [解] 由题意知1

2

()(1)n

n n n f x a x a

a

a b --=+++++L 1

1

n n

a a x

b a -=+⋅-，

由7()128381f x x =+得7

128a =，71

3811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．

（7）[解] 1111

(1)(2)(1)

n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，

即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=

+)1(111)2)(1(221 =)

1(1

)2)(1(2++

+++-n n a n n n ， 由此得 2)

1(1

))2)(1(1(1++

=++++n n a n n a n n ． 令1

(1)

n n b a n n =+

+，111122b a =+= (10a =)，

有112n n b b +=

，故12n n b =，所以)1(1

2

1+-

=n n a n n ． （8）[解法一] 由题设条件知

(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-

24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故

(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+L

2006

2004

2

3(2

2

21)(0)f =⋅+++++L 10031413(0)41

f +-=⋅+- 2008

22007=+．

[解法二] 令()()2x g x f x =-，则

2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，

6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，

即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，

故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，

所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．