合情推理与演绎推理题型整理总结讲解
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2
232221SSSS。
．已知椭圆C：
222
yax具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭
C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、KPN时，那么KPM与KPN之积
P位置无关的定值。试对双曲线
222
yax写出具有类似特性的性质，并加以证明。
。类似的性质：若M、N是双曲线
A 。 解析：}5,4,3,2,1{BA，1+2+3+4+5＝15。
．观察式子：
7
131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（ ）
、
211
1211222nn B、121131211222nn
、
n
12131211222 D、122131211222nnn
c增大1个单位会使得S的值增加最多
S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过
下列说法正确的是
）
类比推理是由特殊到一般的推理
演绎推理是特殊到一般的推理
归纳推理是个别到一般的推理
.
nn
cccc321133221)(。
．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提
。
．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由
颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,
ABCABDACDBCDRSSSS
在平面直角坐标系中，直线一般方程为
CByAx，圆心在),(
0yx的圆的
22
20)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的
般方程为________________,球心在),,(
00zyx的球的一般方程为
AxByCzD；2222
00()()()xxyyzzr
的正方
a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的
．
解析]解法的类比（特殊化）
3a
已知ABC的三边长为
ba,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABCS
），
S)(
1cbar；类比这一结论有：若三棱锥BCDA的内切球半径为R，
AV
[解析] 1
、设函数
21)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求
(5)(0)(5)(6)ffff的值为 .
1）由推理知识，可知应选（C）
3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因
)1()(xfxf：
，则m的值为
9m
全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
B城市；
C城市；
.
.
、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
“我肯定考上重点大学。”
“重点大学我是考不上了。”
“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三
（ ）
A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
、给出下列三个命题：①若
3个面两两垂直的四面体来考虑。
A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，
222cbar。
4： 请你把不等式“若
1,aa是正实数，则有21
22221aaaaaa”推广到一般情形，并
推广的结论：若
aaa,,,21都是正数，
n
naaaaaaaaaaa211212322221
∵
aaa,,,21都是正数 ∴ 12
dcbaS1来计算各班的综合得分，S的值越中一个
1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填
dcba,,,,中的某个字母）
edcba,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分
1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，abedc0，所
2：已知正三角形内切圆的半径是高的1
，把这个结论推广到空间正四面体，
______.
hrarahS
121321，类比问题的解
hrSrShV
131431即正四面体的内切球的半径是高
1
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与
（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前
那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的
比等差数列的定义给出“等和数列”的定
；
2） 已知数列
a是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为
．
28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图
所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠
,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则
n件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n表示)
大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30
28个三角数的差为 。
59。解析：记这一系列三角数构成数列
21)(xxf，
xxxxxf
22212222221)1(1，
2
22211)1()(xxxfxf，
)1()(xfxf正好是一个定值， 12
22S，23S.
1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王
8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通
.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
D 。解析：由复数的性质可知。
3）定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那
A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )
222
yax上关于
P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、
时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：
,(),,(nmNnmM则，其中
222
nam 图1 图2 图3 图4
,(yxP，由
xnyKmxnyKPNPM,，
合情推理可以作为证明的步骤
答案： C
已知
(1,2,,)
ain，考察下列式子：1
1()1iaa；121211()()()4iiaaaa；
23
23111()()()9iiiaaaaaa. 我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不
2
2111()()nnaaanaaa
现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是
（ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
C。解析：观察可知：
1(2,,6,4,2
342312naaaaaaaann
)1(2)222)(1()1(2421nnnnnaan，
41
22nnan验证可知1681符合此式，且41×41=1681。
a，则由,4,3,2
42312aaaaaa归
,30
292930aaaa，两式相加得592830aa。或由321,21,1321aaa，
a
21。
．数列}{
a是正项等差数列，若
naaaabnn32132321，则数列}{nb也为等差
. 类比上述结论，写出正项等比数列}{
c，若nd= ，则数列{nd}
用归纳推理发现规律
1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
3135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；
3165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202.
3)60(sinsin)60(sin02202
baaba11,1则；②若正整数nm和满足nm，
)(nmnm；③设9:),(22111yxOyxP为圆上任意一点，圆2O以),(baQ为
1。当1)()(2
21ybxa时，圆21OO与圆相切。
的个数是（ ）
A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
=2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin
3)cos(sin2322=右边
1）结构的一致性,（2）观察角的“共
1）先猜后证是一种常见题型
2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三
（周期性）
用类比推理猜想新的命题
C。解析：用n=2代入选项判断。
．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误
（ ）
2）下面给出了关于复数的四种类比推理：
a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
),,(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比
),,(02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是042acb；
.
其中类比错误的是 ( )
212aaaa，211222aaaa
212nn
naaaa，nnaaaa2112
n
naaaaaaaaaaa211212322221
．给定集合A、B，定义},,|{BnAmnmxxBA，若A={4,5,6},B={1,2,3},
BA中的所有元素之和为 （ ）
（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么
2）3
a；
对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
13 23135 241357
35 337911 3413151719
2513579, 若3*()mmN的分解中最小的数是
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
.DADB, B.CADB, C.DACB, D.DADC,
B。
3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径
22bar，把上
。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，
答案：66, 1416nnn。解析：利用归纳推理知。 8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.222bac 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用321,,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .
3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；
点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂
利用“三段论”进行推理
3 某校对文明班的评选设计了edcba,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经
232221SSSS。
．已知椭圆C：
222
yax具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭
C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、KPN时，那么KPM与KPN之积
P位置无关的定值。试对双曲线
222
yax写出具有类似特性的性质，并加以证明。
。类似的性质：若M、N是双曲线
A 。 解析：}5,4,3,2,1{BA，1+2+3+4+5＝15。
．观察式子：
7
131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（ ）
、
211
1211222nn B、121131211222nn
、
n
12131211222 D、122131211222nnn
c增大1个单位会使得S的值增加最多
S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过
下列说法正确的是
）
类比推理是由特殊到一般的推理
演绎推理是特殊到一般的推理
归纳推理是个别到一般的推理
.
nn
cccc321133221)(。
．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提
。
．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由
颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,
ABCABDACDBCDRSSSS
在平面直角坐标系中，直线一般方程为
CByAx，圆心在),(
0yx的圆的
22
20)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的
般方程为________________,球心在),,(
00zyx的球的一般方程为
AxByCzD；2222
00()()()xxyyzzr
的正方
a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的
．
解析]解法的类比（特殊化）
3a
已知ABC的三边长为
ba,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABCS
），
S)(
1cbar；类比这一结论有：若三棱锥BCDA的内切球半径为R，
AV
[解析] 1
、设函数
21)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求
(5)(0)(5)(6)ffff的值为 .
1）由推理知识，可知应选（C）
3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因
)1()(xfxf：
，则m的值为
9m
全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
B城市；
C城市；
.
.
、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
“我肯定考上重点大学。”
“重点大学我是考不上了。”
“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三
（ ）
A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
、给出下列三个命题：①若
3个面两两垂直的四面体来考虑。
A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，
222cbar。
4： 请你把不等式“若
1,aa是正实数，则有21
22221aaaaaa”推广到一般情形，并
推广的结论：若
aaa,,,21都是正数，
n
naaaaaaaaaaa211212322221
∵
aaa,,,21都是正数 ∴ 12
dcbaS1来计算各班的综合得分，S的值越中一个
1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填
dcba,,,,中的某个字母）
edcba,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分
1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，abedc0，所
2：已知正三角形内切圆的半径是高的1
，把这个结论推广到空间正四面体，
______.
hrarahS
121321，类比问题的解
hrSrShV
131431即正四面体的内切球的半径是高
1
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与
（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前
那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的
比等差数列的定义给出“等和数列”的定
；
2） 已知数列
a是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为
．
28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图
所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠
,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则
n件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n表示)
大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30
28个三角数的差为 。
59。解析：记这一系列三角数构成数列
21)(xxf，
xxxxxf
22212222221)1(1，
2
22211)1()(xxxfxf，
)1()(xfxf正好是一个定值， 12
22S，23S.
1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王
8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通
.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
D 。解析：由复数的性质可知。
3）定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那
A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )
222
yax上关于
P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、
时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：
,(),,(nmNnmM则，其中
222
nam 图1 图2 图3 图4
,(yxP，由
xnyKmxnyKPNPM,，
合情推理可以作为证明的步骤
答案： C
已知
(1,2,,)
ain，考察下列式子：1
1()1iaa；121211()()()4iiaaaa；
23
23111()()()9iiiaaaaaa. 我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不
2
2111()()nnaaanaaa
现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是
（ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
C。解析：观察可知：
1(2,,6,4,2
342312naaaaaaaann
)1(2)222)(1()1(2421nnnnnaan，
41
22nnan验证可知1681符合此式，且41×41=1681。
a，则由,4,3,2
42312aaaaaa归
,30
292930aaaa，两式相加得592830aa。或由321,21,1321aaa，
a
21。
．数列}{
a是正项等差数列，若
naaaabnn32132321，则数列}{nb也为等差
. 类比上述结论，写出正项等比数列}{
c，若nd= ，则数列{nd}
用归纳推理发现规律
1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
3135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；
3165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202.
3)60(sinsin)60(sin02202
baaba11,1则；②若正整数nm和满足nm，
)(nmnm；③设9:),(22111yxOyxP为圆上任意一点，圆2O以),(baQ为
1。当1)()(2
21ybxa时，圆21OO与圆相切。
的个数是（ ）
A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
=2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin
3)cos(sin2322=右边
1）结构的一致性,（2）观察角的“共
1）先猜后证是一种常见题型
2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三
（周期性）
用类比推理猜想新的命题
C。解析：用n=2代入选项判断。
．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误
（ ）
2）下面给出了关于复数的四种类比推理：
a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
),,(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比
),,(02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是042acb；
.
其中类比错误的是 ( )
212aaaa，211222aaaa
212nn
naaaa，nnaaaa2112
n
naaaaaaaaaaa211212322221
．给定集合A、B，定义},,|{BnAmnmxxBA，若A={4,5,6},B={1,2,3},
BA中的所有元素之和为 （ ）
（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么
2）3
a；
对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
13 23135 241357
35 337911 3413151719
2513579, 若3*()mmN的分解中最小的数是
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
.DADB, B.CADB, C.DACB, D.DADC,
B。
3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径
22bar，把上
。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，
答案：66, 1416nnn。解析：利用归纳推理知。 8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.222bac 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用321,,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .
3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；
点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂
利用“三段论”进行推理
3 某校对文明班的评选设计了edcba,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经