泰勒公式及其应用

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或 写 做 （ ０ ） 【 ｏ １ Ｈ …
ｘ ｎ ＋ ｌ （ ｏ ）
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解 ：因为 当
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泰 勒 公 式 的重 点 就 在 于 使 用 一 个 ｎ次 多 项 式 Ｐ ｎ （ ｘ １ 去 逼 近 个 已知的函数 ｆ （ ｘ ） ， 而 且 这 种 逼 近 有 很 好 的性 质 ： Ｐ ｎ （ ｘ ） 与 ｘ ） 在 点 具 有 相 同 的直 到 Ｉ Ｉ 阶 的导 数 。 ２泰 勒 公 式 在 一 元 函数 中的 几 点应 用 泰 勒 公 式 在 一 元 函数 中求 函 数 的 导 数 、 函数 的极 限 、 函数 的麦 克 劳 林 展 开 式 、 及证 明不 等式 、 中值 公 式 等 方 面 都 有 重 要
泰 勒公 式及 其 应用
董 海峰 孔 文聪
（ 山 东 省 东 营 市 第一 中学 山 东 东 营 ２ ５ ７ ０ ９ １ ）
【 摘要】 泰 勒 公 式 是 高 等 数 学 中的 一 个 重 要 的 内容 ， 但 一般 教 材 中仅 介 绍 了如 何 用 泰 勒 公 式 展 开 函数 ， 而对秦勒公式的应用 方 法 并 未进 行 深 入 探 讨 ， 在 教 学过 程 中 学生 常 因学 用 脱 离而 难 以 理 解 。 为 改 变这 种 状 况 ， 本 文在 回顾 泰 勒 公 式 的 定理 及 用泰 勒 公 式 进 行 函 数展 开 的 方 法 的 基 础 上 ， 用尽 可 能 简 单 的 例 子 ， 归 纳 出 了泰 勒公 式在 一元 函数 中求 函 数 的 导 数 、 函数 的极 限 、 函 数 的 麦 克 劳林 展 开 式 、 ７ Ｚｉ ￣ － 明不等式、 中值 公 式 方 面 的 应 用 和 泰 勒 公 式 在 二 元 函 数 中求 函 数 极 值 方 面 的 应 用 及 判 定 二 元 函 数 极 限 存 在
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２ ０ １ ３ 年１ ０ 月 下旬 刊
教学 ・ 信息
我们 的人 生 。 参考 文 献 ： １ ． 《 上 海 教 育 科研 ） ２ ０ １ ０年 Ｏ １ 期
２ ． 成鲜兰． 让 语 文课 堂绽 放 传 统 文 化 之 花 《 课 程 教 育研 究 》 ２ ０ １ ３年 第 ｌ ９期
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【 文章 编 号 】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ — ０ １ ８ ５ — ０ ３
解是非常简单的。 ２ － ２泰 勒 公 式 在 求 函 数 的极 限 中 的应 用
例２ 确 定ａ 。 ｂ 便ｈ ｍ Ｕ ２ ｘ ＋ ４ ｘ — ｌ — ｍ一 ６ ） ＝ ０
解 ：
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ｌ ３． ｆ ３ ＿１
＝
２ ． ３求 函数 的 麦 克 劳 林 展 式
例４ 求／∽ ＝
首先 分 解
） 一２
在 ＝。 处 的麦克劳林展式 。
一（ １ …＋
…＋
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２ ｎ ＋１
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＋ ． ． 州 州 ）
性 中的 应 用 。
【 关键 词】 泰勒公式 一元 函数 二元 函数 【 中图分类号】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码】 Ａ
本 文 阐述 了泰 勒 公 式 在 一 元 函数 中求 函数 的导 数 、 函数 的极 限 、 函数的麦克劳林 展开式 、 及 证明不等式 、 中值 公 式 方 面 的应 用 和 泰 勒 公 式 在 二 元 函数 中求 函数 极 值 方 面 的应 用 及 判 定 二 元 函数 极 限 存 在 性 中 的 应 用 。 １ 一 元 函 数 的 泰 勒 公 式 与 麦 克 劳林 公 式 泰 勒 公 式 是 高 等 数 学 中非 常 重 要 的 内容 ，集 中体 现 了微 积分” 逼近法” 的精 髓 ， 在 微 积 分 的各 个 方 面都 有 重要 的应 用 。 泰 勒 公 式 的一 般 形 式 为 ：
一
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ｒ ０
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ｒ 。
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４
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的应 用 。
２ ． １ 泰 勒 公 式 在 求 函数 的导 数 中 的 应 用 例 １设 ｙ ＝ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｔ ｘ ， 求ｙ ¨ ｆ ０ ） 分析 ： 如 果 直 接 求 高 阶 导 数 比 较麻 烦 ， 并 且 规 律 性 不 是 很 强， 可 以考 虑 利 用 函 数 在 ｘ ＝ Ｏ处 的麦 克 劳 林 展 开 式 。
式变成麦克劳林 （ Ｍａ ｃ ｌ ａ ｕ ｒ ｉ ｎ ） 公式 ：
一 ｘ ０ ） ” （ ｘ ｏ ‘ ‘ 或
皮亚 诺余项 ｏ （ （ ｘ — ｘ ｏ ） ｏ ） 在 泰勒公式 中如果 取 ｘ ｏ ＝ Ｏ ， 从 而泰勒公
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其中 Ｒ ｎ （ ｘ ） 为 拉 格 朗 日余 项