二次根式全章教案

教学时间课题21.1二次根式课型新授教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义.
2.会确定二次根式有意义的条件，知道(≥0)是非负数，并会运用.
3.会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行
化简.
过程
方法
1.经历观察、比较、概括二次根式的定义.
2.通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标2.
3.通过探究和所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握
性质.
情感
态度
培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.
教学重点 1.有意义的条件. 2.≥0时≥0的应用. 3.和的运算、化简
教学难点
<0时的化简.
教学过程设计
教学程序及教学内容设计意图一、复习引入
导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式
运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。

本课只学习二次根式
的概念及其三个运算性质.
二、探究新知
(一)定义及非负性
活动1、填空，完成课本思考1：
，，，
活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表
示的共同意义.
活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
活动4、思考下列问题：
①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？
②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？
③当a=0时，表示什么？结果是什么？当a>0时，表示什么？可
不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？
，，
练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______.
2、已知，求的值各是多少？
(二)两个运算性质
活动5、完成课本探究1
活动6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.
练习：课本例2
活动7、完成课本探究2
活动8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.
练习：课本例3
补充练习：1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-
与式子有什么关系？
三、课堂训练
完成课本中两个练习.
有时间可补充：1、成立的条件是_______.
2、成立的条件是_______.
四、小结归纳
1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.
2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.
3、简单介绍代数式的概念.
4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.
五、作业设计
必做：P5：1、2、3、4、5、6
选做：P6：7、8
教学反思
教学时间课
题
21.2二次根式的乘除（第1课时）课型新授
教学媒体多媒体
教学目标1
1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.
2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.
2
1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积
的算术平方根性质.
3 培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.
教学重点双向运用(≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算.
教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.
教学程序及教学内容
一、复习引入
导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学
习二次根式的运算，先来学习乘法运算。

二、探究新知
(一)二次根式乘法法则
活动1、1.填空，完成课本探究1
2.用1中所发现的规律比较大小
×；×
活动2、给出二次根式的乘法法则
活动3、思考下列问题：
①公式中为什么要加≥0, b≥0？
②两个二次根式相乘其实就是不变，相乘
③（≥0, b≥0，c≥0）=
练习：课本例1，在（1）（2）之后补充（3）
归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.
(二)积的算术平方根性质
活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质
完成课本例2，在（1）（2）之间补充
归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然
后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.
例3.计算:
（1）（2）；（3）
分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.
（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）.
三、课堂训练
完成课本练习.
补充：1.成立，求x的取值范围.
2.化简：
四、小结归纳
1.二次根式乘法公式的双向运用；
2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优
解法.
五、作业设计必做：P12：1、3（1）（2）、4补充作业：1．计算:
(1)； (2)；(3)； (4).
2.化简：
(1)； (2).
3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积
教学反思
教学时间课题21.2二次根式的乘除（第2课时）课型新授
教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.
2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.
3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化
为最简二次根式.
过程
方法
1.经历观察、比较、习，达成目标1，2，认识到除法法则只是进行除法运
算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公
式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质.
2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.
情感
态度
类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.
教学重点
双向运用进行二次根式除法运算.
教学难点能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算
教学过程设计
教学程序及教学内容
一、复习引入
导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除
法运算.
二、探究新知
(一)二次根式除法法则
活动1、1.填空，完成课本探究1
2.用1中所发现的规律比较大小
；
活动2、给出二次根式的除法法则
活动3、思考下列问题：
①公式中为什么要加≥0, b>0？
②两个二次根式相除其实就是不变，相除
练习：课本例4，在（1）（2）之后补充（3）
归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.
(二)商的算术平方根性质
活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质
完成课本例5
归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.
例6.计算:
（1）（2）；（3）
分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式
，，以去掉分母中的根号.
（三）最简二次根式概念
活动5、总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.
分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1.
完成课本例7
补充：化简
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.三、课堂训练
完成课本练习.
补充：
1.成立，求x的取值范围.
2.找出下列根式中的最简二次根式
3.判断下列等式是否成立
四、小结归纳
1.二次根式除法公式的双向运用；
2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优
解法.
3.最简二次根式概念
五、作业设计
必做：P12：2、3（3）（4）、5、6、7 选做：P12：8、9、10
教学反思
教学时间课题21.2二次根式的加减（第1课时）课型新授
教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.
2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.
3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.
过程
方法
1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.
2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的
扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.
情感
态度
学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识.
教学重点二次根式加减法运算方法
教学难点二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式
教学过程设计
教学程序及教学内容
一、复习引入
导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算.
二、探究新知
(一)二次根式加减法法则
活动1、类比计算，说明理由
① 2+3；.
② 2-3；.
③；
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？
（3）什么样的二次根式能够合并？
（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？
活动2、给出二次根式的加减法法则
分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.
练习：1课本例1，之后补充（3）（4）
2课本例2，之后补充
分析说明：1中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例2的过渡。

2中补充括号前是负号的.
(二)二次根式加减的应用
1.课本引例
分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.
2.课本例3
分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确.
三、课堂训练
完成课本练习
.补充：
1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）
A. B.
C. D.
2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？
四、小结归纳
1.进行二次根式加减运算的一般步骤.
2.二次根式的熟练化简. 3二次根式加减的实际应用.
五、作业设计
必做：P17：1、2、3选做：5
补充作业：
计算:
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）
教学反思
教学时
间
课题21.2二次根式的加减（第2课时）课型新授教学媒
体
多媒体
教学目标1
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算．
2
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注
意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.
2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运
算与整式的运算的联系.
3 培养学生的类比运用意识
教学重点混合运算的法则，运算律的合理使用．
教学难点灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．
教学程序及教学内容
一、复习引入
导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.
二、探究新知
(一)二次根式混合运算法则
活动1、类比计算，说明理由
1(2+3b)； ( )
2(2+3b)(-b)；
3(3b-4 2 )÷；
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？
（3）左边式子中的字母、b可以表示二次根式吗？
（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？
活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.
分析法则：
（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。

（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.
练习：1课本例4，之后补充（3）
2课本例5，之后补充
分析说明：1中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。

2中补充完全平方公式应用.
归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.
(二)二次根式混合运算的应用
1.若x=,则x2+x+1=
2.已知，
求;的值.
3.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥
AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD的面积.
三、课堂训练
完成课本练习
.补充：
1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是,b,c,设=, 则三角形的面积为S=
公式运用：在中，BC=4,AC=5,AB=6,求的面积。

四、小结归纳
1.进行二次根式混合运算的一般步骤.
2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.
2.二次根式混合运算的应用.
五、作业设计
必做：P18：4、6、7
选做：P18：8、9
1.已知，求
的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE ⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB=,求平行四边形ABCD的周长.
教学反思
教学时间课题第21章小结课型复习
教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.学生构建知识体系
2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错
陷阱和错因.
3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.
过程
方法
1.从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力.
2.经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题.
情感
态度
培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯
教学重点深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算．教学难点进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性
教学过程设计
教学程序及教学内容
一、复习引入
导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复
习并总结本章知识.
二、复习提升
(一)基础巩固
●解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱
1.若有意义，则x的取值范围是 .
2.下列各式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D .
3.下列二次根式中，和是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.计算：1；2
3；4
归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，
熟练进行二次根式化简与运算.
●解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现.
1.若有意义，则x的取值范围是 .
2.下列各式中不是最简二次根式的是（）
A. B. C. D .
3.下列二次根式中，和不是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.计算：1；2
3；4
归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性.
(二)综合运用
1.当m时，有意义.
2.能使成立的x的取值范围是 .
3.若，则的取值范围是 .
4.若是 .
5.当＜-3时，化简的结果是 .
6.整数满足下列两个条件：1式子和都有意义2的值是整数，则的值是 .
7.以下结论正确的是 .（填序号即可）
1=对一切实数都成立2对一切实数都成立
3式子叫做二次根式4一个数的平方根和它的绝对值都是非负数
8.在实数范围内分解因式：的结果是 .
9.的计算结果是 .
10.已知求的值.
11.如图，有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西600 的方向上，前进20海里到达B处，测得A在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？
归纳：
这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，
与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用.
(三)构建知识体系。