第 2 章 地基的计算模型

(2).地基土泊松比 的确定 土的泊松比 不易用实验可靠测定。按静止土压力和线弹性的应力应变关系可推得 与静止侧压力系数K0的关系为： K0
μ ＝
各种土的、K0和β的经验数据见表2-3。 各种土的、K0和β值
土的种类
碎石土 砂土和粉质砂 土 粉质粘土 粘土 饱和粘土与淤 泥 黄土 混凝土
1＋ K 0
2.1 地基柔度矩阵和刚度矩阵 的概念
1.把整个地基上荷载面积划分成m个矩形 网格，网格面积相近； 2.每一网格j的中点作用着集中荷载Rj， 整个面积反力向量为：
{ R } { R1 , R 2 , R m }
T
3.网格j中点的竖向位移Wj，竖向位移向 量为{W}：
{W } {W 1 , W 2 , W i , W j , W m }
E 0 M (1 μ ) p1 a / S1
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式中,p1 为旁压仪曲线直线段上的比例极限(MPa)；S1 为与p1 相对应的量 管水位下降稳定值；a为钻孔半径(m)；M为旁压系数，与仪器规格、土 类有关，对一般第四纪土取M＝2930m-1。 3)．按经验数据确定 当按上述方法不易确定E0时可参考如表2-2的经验数据。
分层地基模型就是我国地基规范中用以计算 地基沉降的分层总和法，地基沉降等于压缩 层范围内各计算分层在完全侧限条件下的压 缩量之和。 由于土质分布不均，对不同的节点，其下压 缩层的深度可能不同。地基柔度矩阵[f]的各 元素计算公式为：
f ij

k 1
Ni

zijk
H
ik
E sik
式中，Ni为按分层总和法分层厚度要求，在 i节点下划分的土层数； 为j节点处小矩形面 积Fj上作用竖向均布荷载pj=1/Fj时，按弹性 理论解， 在i节点下第k层中点处产生的竖 向应力，可用角点法或近似积分法计算； Hik 为i节点下第k层土层的厚度；Esik 为i节 点下第k层土层的压缩模量。 模型特点：反映了地基土扩散应力和变形能 力；考虑土层沿水平与深度变化的非均质性 和土层分层；计算用参数Eski 可经常规压缩 试验直接得到。模型的计算结果比较符合实 际情况。
R 1 f 22 f 2 i f 2 j f 2 m R2 f i 2 f ii f ij f im R i R j f j 2 . f ji f jj f jm f m 2 f mi f mj f mm R m f 12 f 1 i f 1 j f 1 m
2 2
模型态特点：考虑应力扩散作用，比文克尔地基 模型合理一些，但该模型的应力扩散往往超过了 地基的实际情况。原因是实际地基压缩土层厚度 有限；地基土压缩模量随深度而变。另外，它没 有能考虑到地基的分层特性、非均质性以及土体 应力应变关系的非线性等重要因素。
2.2.4有限压缩层地基模型(分层地基模型)
fij是指在网格j处作用单位竖向集中力， 而在网格i处中点引起的竖向位移；fii 是指在网格i处作用单位竖向集中力， 而在本网格i中点引起的竖向位移。 [f]定义为地基柔度矩阵
＝ -1 [ f ]R [K]=[f]W定义为地基刚度。
[ K ]W ＝ R
k 12 k 1 i k 1 j k 1 m k 11 k 22 k 2 i k 2 j k 2 m k 21 k i1 k i 2 k ii k ij k im k k j 2 k ji k jj k jm j1 k m 1 k m 2 k mi k mj k mm W 1 W 2 W i W j W m R1 R 2 Ri R j Rm
0.27 0.30 0.35 0.42
2.5 地基模型的选择
在工程实际设计中选择符合实际情况的地模基型是一个比较困难的问题，很难给出 一个同一的、普遍适用的结论。 一般来说，当基础位于无粘性土上时，采用文克尔地基模型是比较适当的，特别是 当地基比较柔软、又受有局部荷载作用时。当基础位于粘性土上时，一般应采用连 续性地基模型，特别是对于有一定刚度的基础，基底反力适中，地基土中应力水平 不高、塑性区开展不大时。对于塑性区开展较大，或是薄压缩层地基，文克尔地基 模型又有了其适用性。当然，能考虑非线性影响的连续性模型可以认为是较好的选 择。 普遍认为用连续性模型得到的结果比文克尔地基模型得到的结果更符合实际。但文 克尔地基模型简单，计算方便，故对于非粘性土，仍可采用文克尔地基模型。 当地基土呈明显的层状分布、各层之间性质差异较大时，采用分层地基模型是比较 适当的。
表2-3
β ＝1－ 2 μ K 0
μ
0.15～0.27 0.20～0.30 0.25～0.35 0.25～0.42 0.40～0.50 0.10～0.30 0.15～0.35
K0
μ
的常用值
0.18～0.25 0.25～0.33 0.33～0.53 0.33～0.72
0.95～0.90 0.90～0.83 0.83～0.62 0.83～0.39
2.4地基参数的确定
模型的有效性取决于： 1. 模型中的参数由试验室或现场试验测定时的难易程度和准确性； 2. 是由基础工作状态的现场实测结果证实了的理论分析的准确性和可靠性。
2.4.1基床系数k的确定
1. k=p0/sm p0是基底平均附加压力，把它作为均布于基底的荷载并按单向压缩或线性变形分层 总和法算得若干点沉降后求其平均值sm。 2. 地基可压缩土层的厚度H不超过基础底面宽度的二分之一，则在薄压缩层范围 内的附加应力约等于基底平均压力p，所以基底平均沉降为sm＝pH/Es，(Es为土层的 平均压缩模量)，代入得: k=Es/H 3. 地基压缩层范围内的土质比较均匀，则可利用荷载试验成果估算基床系数。 在p～s曲线上取对应于基底平均反力p的刚性载荷板沉降值s，计算载荷板下的基床 系数kp=p/s。对粘性土地基，实际基础下的基床系数按下式求得： k k p b p /b 式中,bp和b分别为载荷板和基础的宽度。 4. 当用无侧限抗压强度qu折算时,则可取： k=(3-5)qu
[f]和[K]为对角阵：
f ii 1 kF
i
， k ii kF i
k为基床系数； Fi为 与i节点相对 应的小矩 形面积。 文克尔地基模型简单， 参数少，故至今仍得到 比较广泛的应用。
2.2.2 利夫金模型（改进的文克尔地基模型 ）
为弥补文克尔地基模型不能扩散应力和变形的缺陷， 利夫金分析了各种地基模型下矩形基础反力分布的 性质，对文克尔模型的特征函数作出了如下改进：
W ( x, y) P (1 )
E为地基土的弹性模量；μ为地基土的泊松比。 当竖向分布荷载作用于表面某区域Ω时(如右 图)，任意点处表面沉降可沿Ω积分为：
W ( x, y ) (1 )
2
Er
E 0


p ( , ) d d (x ) ( y )
2.4.2地基土变形模量E0与泊松比 的确定
(1).地基土变形模量E0的确定 1)．按载荷试验确定
E 0 ω (1 μ
2
) p1 B / S 1
ω对方形载荷板取0.88；对圆形载荷板ω取0.79；B为载荷板边长或直径； S1为试验得到的p～s曲线上与比例界限p1相对应的沉降。当直线段不明 显 时 ， 对 粘 性 土 取 S1 ＝ 0.02B 对 应 的 荷 载 为 p1 ， 对 砂 土 取 S1=(0.01 ～ 0.015)B对应的荷载为p1。 2)．按旁压仪试验 2 2
Kij是指在网格j处产生单位竖向位移， 在网格i处需作用的力在网格i处中引 起的反力。 [K]也为对称方阵。
2.2 线弹性地基模型
2.2.1文克尔地基模型（Winkler,1867）
假定地基土界面上任一点的沉降W(x，y)与 该点 所承受压力强度p(x，y) 成正比 ， 而与其它点上的压力无关，即 p(x，y)=k· ，y) W(x （2-3） 式中,比例常数k称为基床反力系数(简称为基床系数)，其单位为MN/m3。 文克尔地基模型是把土体视为一系列侧面无摩擦的土柱或彼此独立的竖向弹簧， 在荷载作用区域产生与压力成正比的沉降，而在此区域以外位移为零 。
砂土
紧砂 中密 松散 1.0/0 0.5/-0.25 0/-0.5 坚硬 半坚硬 可塑
粘土
1.5/0.5 1.0/0 0.5/-0.5
2.2.3弹性半无限地基模型(均匀各向同性地基模型)
假定地基为均匀的、各向同性的、弹性的半无限 体。当竖向集中力P作用在弹性半无限表面上时， 根据布辛奈斯克(Boussinesq)公式，可得到地表 面与荷载作用点距离为r的点i的竖向位移 2
T
用叠加原理建立反力与竖向位移的关系为: Wi=fi1R1+ fi2R2+… fimRm =∑fijRj 写成矩阵形式如右。式中，fij=fji {f}为对 称方阵。
W 1 f 11 W 2 f 21 W i f i1 W j f j1 W m f m1
p ( x , y ) k [1＋ e
( m )( 1 )
]W ( x , y )

式中，k为基床系数； α 、β 为与地基土性质有关的无量纲参数； x x ＝ ， ξ 、η 为界面上所考虑点的相对坐标： l l b，l为矩形基础的半宽与半长；m-矩形基础的长宽 l m 比： b 三参数k、α 和β 地基模型：参数k表征了地基土的 基本刚度。无量纲参数α 和β 则描述基础范围以外 的土体对地基刚度和接触压力分布形式的影响。取 α ＝10，再下表选择β 值。