高等数学考研讲义第三章

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲） 内容要点 一、 基本概念与性质

1、 原函数与不定积分的概念

设函数f(x)和F(x)在区间I 上有定义，若()F x '= f(x)在区间I 上成立。则称F(x)为f(x)在区间I 的原函数，f(x)在区间I 中的全体原函数成为f(x)在区间I 的不定积分，记为⎰

f(x)dx 。 其中

⎰

称为积分号，x 称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx 称为被积

表达式。

2、 不定积分的性质

设⎰

f(x)dx ＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C 为任意常数。 则 (1)()⎰'dx x F ＝F(x)＋C 或⎰

)x (d F ＝F(x)＋C

(2)[

]'

⎰f(x )dx = f(x) 或 d []⎰f(x)dx ＝f(x)dx

(3)⎰dx )x (kf ＝k ⎰

dx )x (f (4)

[]dx )x (g )x (f ⎰±=⎰⎰±dx )x (g dx )x (f

3、原函数的存在性

设f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx )sin(x 2

⎰

，dx )x (cos 2

⎰

，

dx x sinx ⎰，dx x cosx ⎰，⎰lnx dx

，

dx e 2

x

⎰－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出

来。

二、 基本积分表（略） 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法（凑微分法）

设

()f (u)du F(u)+C,

x ϕ=⎰又可导，

()()()()

f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰则＝()x u ϕ＝令⎰du u )(f =F(u)+C=F[()x ϕ]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如

流” ，也就是非常熟练地凑出微分。

2、第二换元积分法

设x ＝()t ϕ可导，且()t 0ϕ'≠，若()[]()()C G ＋＝t dt t t f ϕϕ'⎰ ，则()()t x dx x f ϕ＝令⎰

()[]()()[]

C x G C G +'-⎰

1

t dt t t f ϕϕϕ＝）＋（＝ 其中t ＝()x 1-ϕ为x ＝()t ϕ的反函数。 3、 分部积分法

设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则

⎰)(dv )(u x x ＝u(x)v(x)－⎰)(du )x (x v 或

⎰'dx )x (v )x (u ＝u(x)v(x)－⎰'dx x )(v )x (u

（1）P n (x)e ax ，P n (x)sinax ，P n (x)cosax 情形，P n (x)为n 次多项式，a 为常数。要进行n 次分部积分法，每次均取e ax ，sinax ，cosax 为()x v '；多项式部分为u （x ）。 （2）P n (x)lnx ，P n (x)arcsinx ，P n (x)arctanx 情形，P n (x)为n 次多项式取P n (x)为()x v '，而lnx ，arcsinx ，arctanx 为u （x ），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙） 典型例题

例1、 求下列不定积分（测试题，限15分钟） （1）

⎰x

12e

x dx （2）

()()32

xlnx lnx 1dx ⎰＋

（3

）

⎰

（4）

()dx lnx x lnx

12

⎰＋－

（5）()

dx cosxe

1cosx sinx

x cos sinx

2⎰＋－ （6）

dx x

sin b x cos a x 2sin 2222⎰

＋ （常数2

2a b ≠）

例2、求下列不定积分

（1）dx 4932x

x x x ⎰⋅－ （2）()()⎰22b x a x dx

＋＋ （a b ≠）

（3）

()()

⎰2

2

2

2

b x a x dx

＋＋（b a ≠） （4）dx

1

x 1

x 42⎰＋＋

解：（1）dx 4932x x x x ⎰⋅－＝dx 12323x 2x

⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛－＝⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫

⎝⎛12323d 23ln 1x 2x

－＝()C ＋＋－－123123ln 2ln 3ln 21x x

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛ =()C ＋＋－－x

x x

x 2323ln 2ln 3ln 21

（2）

()()

⎰2

2

b x a x dx

＋＋＝

()2

1

b a -dx b x a x 2

11⎰⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+-+ ＝

()2

1

b a -()()()()dx b x a x b x a x ⎰⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-+++2

1122 ＝

()2

1

b a -()dx b x a x b a b x a x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-11

2113 ＝－

()()()()C b

x a

x b a b x a x b a a x +++-+

++-+ln

2

b

23

2＋ （3）

()()

⎰2

2

2

2

b x a x dx

＋＋=

dx b x a x a b ⎰⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-22222211

1 =

C b x

b a x a

a b +--)arctan 1arctan 1(12

2 （4）dx 1x 1x 42

⎰＋＋=222

111x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⎰=⎰+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2112x x x x d ＝C x x +-21arctan 21 例3、 求

⎰

+3

x

x dx

解：

⎰

+3

x

x dx

6

t x ＝令 ⎰235t t dt t 6＋＝ 6dt ⎰+1t t 3＝ 6()

dt t t ⎰+-+11

13 ＝6dt t t t ⎰⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

+-

+-1112

＝23t C t t t ++-+-1ln 6632