高中数学 第三章 第三节 复数几何意义学案
高中数学：3.3.3《复数的几何意义》江苏教案(苏教版选修2-2)
• §3.3复数的几何意义一． 教学目标 1. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
二． 重点、难点感悟本章两个重要解题思想：1. 数形结合思想：复数与点，复数与向量，模与距离等；2. 化归思想：把复数问题实数化，代数问题几何化。
三． 知识链接回顾向量的相关知识：1．已知向量)2,1(=a1= ；○2在平面直角坐标系中作出该向量 2.○1如图，作出b a +（分别使用三角形法则，平行四边形法则两种作法），b a -○2若)2,1(-=a ,)3,2(=b ,则b a += , b a -=四、学习过程（一）自主学习，合作探究阅读课本第112~114页，完成下列提问：1.复数bi a z +=−−−→←一一对应 −−−→←一一对应2.从几何角度看，复数与向量完全一样吗？3.复平面： ；实轴： ；虚轴： .4.复数模的定义：5.复数bi a z +=，则||z = ，||z =6.作图说明复数加法的几何意义。
7.若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -= ，||21z z -= .8.判断：i i 2323->+（二）数学应用，技能培养例1.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：例2.已知复数i z i z 51,4321+-=+=，试比较它们模的大小.例3.设C z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？○1||z =2 ○22<||z <3 五．基础达标高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：1.设bi a z +=和复平面内的点Z （b a ,）对应，当b 满足什么条件时，点Z 位于： ○1实轴上？ ○2虚轴上（除原点外）？ ○3实轴的上方？ ○4虚轴的左侧？ 2.已知复数i 56+和i 43+-○1在复平面上作出与这两个复数对应的向量OA 和OB ○2写出向量AB 和BA 表示的复数 3.已知复数i m m z )9()2(2-+-=在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围4.求证：||||||2121z z z z =5.根据复数加法的几何意义证明：||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-6.给出下列四个命题：○1任何复数的模都是非负数； ○2x 轴是复平面上的实轴，y 是虚轴； ○3,2,5,32,54321i z z i z i z -=-=-==则这些复数的对应点共圆；○4|sin cos |θθi +的最大值为2，最小值为0. 其中正确命题是 （写出所有正确命题的序号）。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
3.3 复数的几何意义 学案(苏教版高中数学选修2-2)
3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选修2-2）3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴.虚轴.模等概念.3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b2.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m4.即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i1223221.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，b234，|z1||abi1|a12b21212343.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由34ixyi，x3，y4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|a2b2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。
《复数的几何意义》参考学案
§3.1.2 复数的几何意义学习目标理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)=++-，当,x y取何值时z为实数、虚数、纯虚数？z x y i复习2：若(4)(3)2++-≥呢？）x y i++-=-，试求,x y的值，（(4)(3)2x y i i二、新课导学※学习探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ .※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =，3z =-，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升※学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义；3．复数的模.※知识拓展※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62. 对于实数,a b，下列结论正确的是（）A．a bi+是虚数+是实数B．a biC．a bia bi+≠+是复数D．03. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i--，O为原点，那么是-+和13i∆是（）AOBA．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形4. 若1z=，则||z=5. 如果P是复平面内表示复数(,)+∈的点，分别指出下列条件下点P的位a bi ab R置：（1）0,0a b<>>>（2）0,0a b（3）0,0=≤（4）0a bb>1．实数取什么值时，复平面内表示复数22z m m m m i=-++--的点（1）(815)(514)位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x=上？2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i+（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.。
苏教版选修2233复数的几何意义word学案精品教案.doc
第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义编写人：编:004学习目标1.理解复数与从原点出发的向量的对应关系，掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义.2.了解复数加减法运算的几何意义。
3.通过数形结合研究复数.学习过程：一、预习：1、思考：实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么复数能否也能用点来表示呢？2、复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a. b^R)与有序实数对｛a, b)是对应关系•这是因为对于任何一个复数5bi(ci、由夏数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(。
，”惟一确定，如z=3+2,可以由有序实数对 ( ) 确定,又如z=~2+i可以由有序实数对( )来确定:又因为有序实数对(s人)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3, 2)它与平面直角坐标系中的点A,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系.由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是s纵坐标是饥复数z=a+bi(a. b^R)可用点Z(o, 3)表示，这个建立了直角坐标系•来表示复数的平面叫做,也叫高斯平面，x轴叫做, y轴叫做.实轴上的点都表示.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是z=0+0/=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示.在复平面内的原点(0, 0)表示实数0，实轴上的点(2, 0)表示实数,虚轴上的点(0, 一1)表示纯虚数—，虚轴上的点(0, 5)表示纯虚数.非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(一2, 3)表示的复数是, z=—5 —3，对应的点( )在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种儿何意义.也就是岌数的另一种表示方法，即儿何表示方法.3、复数的模:复数Z二a+bi,当b=0时z€R |Z| = |a|即a在实数意义上的绝对值,复数模可看作的距离.I z | = |a+bi | = yja2 +Z?24、复数加法的几何意义：为设复数z、=a+bi,z亓检di,在复平面上所对应的向量为花、止，即亥、匝的坐标形式为囱二3,力)，勿二(c,纨以花、宓^ —*为邻边作平行四边形OZK则对应的向量是0Z ,/. 0Z - 0Z, + (?Z9 = (z?, /?) + (c, l^d) = (a+c) + (/H^ i1 匕4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a—c) + (b—d)i,所以z—ZE 勿+NLZ,由复数加法几何意义，以元为一条对角线，花为一条边画平行四边形, 那么这个平行四边形的另一边滋所表示的向量宓就与复数Z-Z.的差(a—6 + (b—ct)i 对应•由于宓=本，所以，两个复数的差z—勿与连接这两个向量终点并指的被减数的向量对应.练习:1、在复平面内，分别用点和|何量表示下列复数：4, 2+i,-i,-l+3i,3-2i.2、已知复数zF3+4i, Z2=-l+5i,试比较它们模的大小。
高中数学第三章3.1.2复数的几何意义教案理新人教A版选修2-2
一、教学目标：1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.二、教学重点：重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+的关系；复数模的问题.三、教学过程【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 复平面?2.复数的几何意义？3.复数的模？4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i =对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内B. 实轴上C. 虚轴上D. 第四象限内2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 .4.已知复数()()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x <<问题2：复数与复平面内向量的关系1.向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ +2OZ 对应的复数是 0 .2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是68i --.3.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为B ，求向量OB 对应的复数.解：向量OB 对应的复数为：2i -+问题3：复数模的计算与几何意义的应用1.复数()()12,z x y i x y R =++-∈，且3z =，则点Z ()x,y 的轨迹是 以()1,2-为圆心，3为半径的圆 .2.已知()0,z x yi x y R =+∈，且02z =，()()32z x i y =++-，求复数z 对应的点的轨迹.解：设z a bi =+(),a b R ∈，则 3,2,a x b y =+⎧⎨=-⎩即3,2,x a y b =-⎧⎨=+⎩又()0,z x yi x y R =+∈且02z =,()()2232 4.a b ∴-++=∴复数z 对应的点的轨迹是以()3,2-为圆心，2为半径的圆.2. 设z C ∈，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)4z = ;(2)24z <<解：(1)以原点O 为圆心，4为半径的圆.(2)以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.【深化提高】1.若OA ,OB 对应的复数分别是7i +，32i -，则AB = 5 .2. 虚数cos z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点()()0,1,0,1P Q -，但除去原点 .3. 复数sin z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点 ()()0,1,0,1P Q - .4.设复数z 满足||5z =且(34)i z +在复平面上对应的点在第二,四象限的角平分线上,||)m m R -=∈,求z 和m 的值.解：22z i =+或22z =--，2m =±【学习评价】【小结与反思】。
高中数学第三章3.3复数的几何意义教学案苏教版选修79
3．3 复数的几何意义[对应学生用书P43]问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标． 提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44][例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i＝－＋－＝－2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝32＋－2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i－1＋－1－＝－1－i 2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z＝3＋a i，∴z－2＝1＋a i，∴|z－2|＝1＋a2<2，即1＋a2<4，∴a2<3，即－3<a< 3.答案：(－3，3)5．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点B对应的复数．[思路点拨]点O，A，C对应的复数――――――→向量的坐标表示AO，CA，OB的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO，CA，OB对应的复数[精解详析] (1)AO＝－OA，故AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA＝OA－OC，故CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，故OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，b i)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA 、OB 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB |＝________. 解析：∵OA ＝(7,1)，OB ＝(3，－2)， ∴AB ＝OB －OA ＝(－4，－3)， ∴|AB |＝5. 答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝－|z2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i ＋－＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－m 2－8m ＋，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)AB 对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC 对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC 对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB |＝|1＋i|＝2，|BC |＝|－3＋i|＝10，|AC |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3。
《复数的几何意义》示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的几何意义》教学设计第2课时1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．3.掌握复数模的定义及求模公式．教学重点：复平面、实轴、虚轴、共轭复数、复数的模等概念．复数的几何意义的简单应用．教学难点：一、问题导入问题1：能怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？师生活动：学生先回忆初中实数几何意义等．【想一想】否为复数找一个几何模型呢？设计意图：通过对实数几何意义的回顾，提出复数几何意义的问题，引导学生进行类比思考．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的几何意义.（板书：复数的几何意义）【新知探究】1．分析实数几何意义，感知复数几何意义.问题2：实数几何意义是什么？如何定义复数几何意义？复平面如何定义？师生活动：实数几何意义是：对每一个实数，总能在数轴上找到唯一点与之的对应.反之，对数轴上任意一个点，总能确定一个唯一的实数值．一方面根据复数相等的定义，复数Z=a+b i(a，b∈R)被它的实部与虚部唯一确定，即复数Z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z (a，b)，因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数Z=a+b i 与点Z (a，b)具有一一对应关系.建立了直角坐标系来表示复数的平面，也称为复平面， x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴， y 轴上的点除了原点以外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y 轴为虚轴．追问：联系向量，复数还可以有什么几何意义？预设的答案：因为平面直角坐标系中的点 Z (a ，b )能唯一确定一个以原点O 为始点， Z 为终点的向量OZ ，所以复数也可以用向量OZ 来表示，这样以来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O 为始点的向量组成集合之间建立一一对应关系，即复数Z a bi =+↔向量OZ = (a ，b )设计意图：类比实数几何意义，感知复数几何意义，发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．2.在实例感知的基础上，总结出共轭复数的概念．问题3：两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，它们有什么关系？师生活动：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数Z 的共轭复数用OZ 表示，因此，当(,)Z a bi a b R =+∈时，有OZ =a －b i追问：一般地，当a ，b ∈ R 时，复数a +b i 与a －b i 在复平面内对应的点有什么位置关系？预设的答案：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？师生活动：一般的向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模用表示，因此． 可以看出，当b =0时， 说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 追问：两个共轭复数的模什么关系？预设的答案：一般地两个共轭复数的模相等，即．设计意图：通过联系向量知识，体会复数与向量的对应关系，进而提出模长的概念．发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 设复数134=+z i 在复平面内对应的点为1Z ，对应的向量为1OZ ；复数2z 在复平面内对应的点为2Z ，对应的向量为2OZ .已知1Z 与2Z 关于虚轴对称，求2z 并判断1OZ 与2OZ 的大小关系.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由题意可知1(3,4)Z ，又因为1Z 与2Z 关于虚轴对称，所以2(3,4)-Z ． 从而有234=-+z i ．因此222(3)45=-+=z . 又因为2211||345==+=OZ z ，225==OZ z ． 所以12||||=OZ OZ . 设计意图：通过典例解析，加深对复数几何意义的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例2. 若复数z 1＝(x －3)＋(x +2y+1)i 与z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，求x 与y.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )的共轭复数＝2y －i(x ，y ∈R ) 根据复数相等的定义，得3221()-=⎧⎨++=-++⎩x y x y x y z ． 解这个方程组，得39,77==-x y ． 设计意图：通过典例解析，加深对共轭复数的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例3. 设复数z 在复平面内对应的点为Z ，说明当z 分别满足下列条件时，点Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.（1）||2=z ；（2）1||3<≤z . 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由||2=z 可知向量OZ 的长度等于2，，即点Z 到原点的距离始终等于2，因此点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图（1）所示.（2）不等式1||3<≤z 等价于不等式组31⎧≤⎪⎨>⎪⎩z z .又因为满足||3≤z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部． 而满足||1>z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部．所以满足条件的点Z 组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图（2）所示.设计意图：通过典例解析，加深对复数模的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．【课堂小结】问题：（1）复数的几何意义包含哪两种情况？（2）如何理解复数的模？ 互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．复数的几何意义包含两种情况：（1）复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．（2）复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ 之间的关系可用下图表示：2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．（4）两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确集合的有关知识．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．( )设计意图：巩固理解复数的几何意义．2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i)B．(1，－i) C．(1，1) D．(1，－1)设计意图：3．已知复数z＝3＋2i，则z＝________；|z|＝________.设计意图：巩固理解复数的几何意义．4．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)表示的图形是________．设计意图：巩固理解复数的模及几何意义．5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．设计意图：巩固理解复数的几何意义．参考答案：1． (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．故选D ． 3．∵z ＝3＋2i ，∴z ＝3－2i ，|z |＝32＋22＝13.4．∵|z |＝22，∴x 2＋y 2＝22，∴x 2＋y 2＝8.则点(x ，y )表示以原点为圆心，以22为半径的圆．5．因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限． (3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时． 点Z 位于直线x －y －3＝0上．。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 复数的几何意义》
复数的几何意义一、教学分析《复数的几何意义》是高中数学人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的第一节第二课时，是学生在学习数系的扩充与复数的概念后的一节课，它的学习能帮助学生进一步认识复数和理解复数概念，是研究复数的运算、性质和应用主要基础，它在本章节学习内容中起着承上启下的关键作用。
二、学情分析教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了三、教学目标依据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平，确定教学目标如下：1理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3通过复数的几何意义的学习，培养学生类比，转化和数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣四、教学重点和难点根据新课标要求和教材定位以及学情分析确定本节课：教学重点：复数的几何意义以及复数的模；教学难点：复数的几何意义及模的综合应用五、教学与学法教法：本节主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式六、教学支持条件主要教学支持条件：三角板、多媒体等七、教学过程设计（一）复习回顾问题1 在几何上，我们用什么来表示实数问题2 复数的代数形式是什么？一个复数可由什么确定？问题3 类比实数的表示，在几何上可以用什么来表示复数设计意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向。
提出问题,激发学生学习兴趣。
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师再评价、引导。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义学案 苏教版选修12
3.3 复数的几何意义学习目标 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复数的几何意义思考1 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序数对(a ，b )有怎样的对应关系？思考2 有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？思考3 复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？思考4 复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )、向量OZ →三者有何关系？1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x 轴叫做________，y 轴叫做________． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )――――→一一对应向量OZ →. 知识点二 复数的模及意义1．定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记为|z |. 2．公式：|z |＝a 2＋b 2.3．几何意义：复数z 对应点Z 到原点O 的距离． 知识点三 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？思考3 类比绝对值|x －x 0|的几何意义，说明|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义．1.如图所示，设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线，以OZ 1→，OZ 2→为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2.则向量OZ →与复数__________________相对应；向量Z 2Z 1→与复数________________相对应． 2．|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．类型一 复数与复平面内点的对应例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 设复数z ＝1－2im －i (m ∈R )在复平面内对应的点为Z .(1)若点Z 在虚轴上，求m 的值；(2)若点Z 位于第一象限，求m 的取值范围．类型二 复数的模及其几何意义例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？反思与感悟 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模即向量OZ →的模，复数的模可以比较大小． (2)复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解．跟踪训练2 (1)已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部是1，求|z |的取值范围； (2)若|z |的取值范围是(1)中所求，则复数z 对应的点Z 的集合是什么图形．类型三 复数加减法的几何意义例3 在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求点D 对应的复数z 4及AD 的长．反思与感悟 (1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．(2)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可靠． 跟踪训练3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.1．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．2．复数z ＝－1＋i1＋i－1在复平面内，则z 所对应的点在第________象限．3．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____________． 4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应．2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．答案精析问题导学 知识点一思考1 一一对应． 思考2 一一对应． 思考3 能一一对应．思考4 复数z ＝a ＋b i 可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，也可以用向量OZ →来表示，三者的关系是一一对应的． 1．复平面 实轴 虚轴 知识点三 思考1如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由向量加法的几何意义OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行，所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.思考3 |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离． 1．z 1＋z 2 z 1－z 2 题型探究例1 解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， 故m ＝2.跟踪训练1 解 z ＝1－2i m －i ＝－m ＋m －m ＋＝m ＋2m 2＋1＋1－2mm 2＋1i ， (1)∵点Z 在虚轴上， ∴m ＋2m 2＋1＝0，则m ＝－2. (2)点Z 位于第一象限，则m ＋2>0且1－2m >0， 解得－2<m <12.故实数m 的取值范围是(－2，12)．例2 解 (1)由复数模的定义：|z 1|＝|3－i|＝2，|z 2|＝|－12＋32i|＝1.∴|z 1|>|z 2|.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则1≤|z |≤2. ∴1≤x 2＋y 2≤4.因为x 2＋y 2≥1表示圆x 2＋y 2＝1及其外部所有点组成的集合，x 2＋y 2≤4表示圆x 2＋y 2＝4及其内部所有点组成的集合．∴满足条件的点Z (x ，y )的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示． 跟踪训练2 解 (1)由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可得|z |＝a 2＋1. 因为0<a <2，所以1<a 2＋1<5. 故1<|z |＝a 2＋1< 5.(2)由(1)知1<|z |<5，易得满足条件1<|z |<5的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图：例3 解 由复数加减法几何意义：AC →对应复数z 3－z 1，AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1，根据向量的平行四边形法则，得AD →＝AB →＋AC →.∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ， ∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)| ＝|6＋2i|＝210.跟踪训练3 解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c2＋b ＋d2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，z 1、z 2、z 1＋z 2在复平面内对应的点分别为A 、B 、C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC |＝|OA |2＋|AC |2－2|OA ||AC |cos 120°＝ 3. 达标检测 1．5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.2．二解析 ∵z ＝＋1＋i －1＝i －1，∴复数z 对应的点为(－1,1)在第二象限．3．－6－8i解析 因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.4．9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9.。
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-在电气工程、量子物理学等领域中的应用。
-解决平面几何问题，如点到直线的距离、线段的中点等。
5.复平面
-复平面的概念：复数在复平面上的表示，类似于实数在实数轴上的表示。
-复平面上的区域：实轴、虚轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
-复数的模长和相位（角度）：复数在复平面上的点与原点的距离和该点与实轴正半轴的夹角。
-提供拓展资源：推荐一些关于复数应用的学术文章和在线课程，供学有余力的学生进一步探索。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化的反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成作业，加强对复数几何意义的记忆和理解。
-拓展学习：利用教师提供的资源，对复数的更深入的应用进行探索。
-反思总结：回顾学习过程，总结自己在复数学习中的收获和不足，提出改进措施。
核心素养目标
本节内容致力于深化学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。通过探究复数的几何意义，提升学生将抽象数学概念具体化的能力，培养其在复杂问题中抽象出关键数学要素的数学抽象素养。在逻辑推理方面，引导学生通过复数运算规律推导出复数模长的性质，加强学生运用数学语言进行逻辑论证的能力。同时，通过复平面的构建和复数在几何中的应用，强化学生数学建模及空间想象能力。此外，课程将贯穿数学运算的训练，使学生能够熟练进行复数相关运算，提高数学运算的准确性和效率。
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科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
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高中数学 第三章 第三节 复数几何意义学案
第三章 第三节 复数几何意义学案一、 明标自学1. 学习目标（1）．理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；（2）了解复数代数式加法、减法运算的几何意义；2.自学指导问题1：对于复数a+bi 和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a=c 且b=d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。
）问题2：若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a+bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型）问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？1、复平面的概念把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
2、复数的几何意义复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。
以O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。
三者的关系如下：（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2+i ，-1+3i ，3-2i ，-i（2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b ∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？变式：第二象限的点表示的复数有何特征？问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。
（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）3、复数的模（或绝对值） 向量的模叫做复数Z=a+bi 的模（或绝对值），记作Z 或bi a +。
如果b=0，那么Z=a+bi 就是实数a ，它的模等于a （即实数a 的绝对值）。
高中数学3_1_3复数的几何意义学案新人教B版选修2_2
3.1.3 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．[基础²初探]教材整理1 复平面阅读教材P 86“例1”以上内容，完成下列问题．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做___________________________． 在复平面内，x 轴叫做________，y 轴叫做___________________________．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.【答案】 复平面 实轴 虚轴 教材整理2 复数的几何意义阅读教材P 86“例1”以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )． 2．复数z ＝a ＋b i 一一对应平面向量OZ →.在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( ) A ．(1，i) B ．(1，－i) C ．(1,1)D ．(1，－1)【解析】 复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)． 【答案】 D教材整理3 复数的模、共轭复数 阅读教材P 87“例2”以上部分．1．设OZ →＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则向量OZ →的长度叫做复数a ＋b i 的__________(或绝对值)，记作|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝__________.2．如果两个复数的实部__________，而虚部__________，则这两个复数叫做互为__________复数．复数z 的共轭复数用z 表示．【答案】 1.模a 2＋b 2 2.相等 互为相反数 共轭判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 【答案】 (1)√ (2)³ (3)³[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知复数z ＝x ＋1＋(y －1)i 在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x ，y )所成的平面区域是( )(3)复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称【自主解答】 (1)由复数的几何意义知z ＝－1＋2i 对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，y －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，y >1，故点(x ，y )所成的平面区域为A 项中的阴影部分．(3)复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)． 复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)．点Z 1与Z 2关于实轴对称，故选A. 【答案】 (1)B (2)A (3)A解答此类问题的一般思路：1 首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.2 根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.[再练一题]1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．(1)向量OZ 1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________. 【导学号：05410063】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ 1→，OZ →2的坐标，再求出OZ →1＋OZ →2的坐标． (2)利用AB →＝OB →－OA →，求出向量AB →的坐标，从而确定AB →表示的复数．【自主解答】 (1)因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 (1)C (2)－6－8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．[再练一题]2．上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB →表示的复数．【解】 由上例(2)的解析知AB →＝(－6，－8)， ∴－12AB →＝(3,4)，所以向量－12AB →表示的复数是3＋4i.[探究共研型]探究1 【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.探究2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B.3i C ．±3iD ．± 3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋ －2 2＝32. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围. 【导学号：05410064】 【解析】 (1)∵|z |＝3，∴ x ＋1 2＋ y －2 2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a 2， 由已知得32＋a 2<4， ∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．[构建²体系]1．复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由－1＜0,2 017＞0得复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝ 2 2＋ －3 2＝11. 【答案】 D3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________. 【导学号：05410065】【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴ x －2 2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016²青岛高二检测)在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D. 【答案】 D2．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2，且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D. 【答案】 D3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB →对应的复数为－2＋i.【答案】 B4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点D ．2个圆【解析】 由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， ∵|z |≥0， ∴|z |＝3，∴复数z 对应点的轨迹是1个圆． 【答案】 A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )【导学号：05410066】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【答案】 B 二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝______.【解析】 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)，所以z 2＝－2＋3i.【答案】 －2＋3i7．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝ －4 2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i| 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．【解】 ∵复数z 对应的点在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞.10．已知x ，y ∈R ，若x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 是共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z .【解】 若两个复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭， 则a ＝c ，且b ＝－d .由此可得到关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝i ，z ＝－i 或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，z ＝1.[能力提升]1．已知复数z 对应的向量为O Z →(O 为坐标原点)，O Z →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |²cos 120°＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |²sin 120°＝2³32＝3， ∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i. 【答案】 D2．与x 轴同方向的单位向量e 1，与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 【解析】 e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． 【答案】 A3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________.【导学号：05410067】【解析】 复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝ －5 2＋ －12 2＝13.【答案】 134．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ→1与OZ →2共线，求a 的值．【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以 OZ →1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝ kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修2
3.3 复数的几何意义义.1．复平面(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．x 轴叫做________，y 轴叫做________．实轴上的点都表示________．除原点外，虚轴上的点都表示________．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以用复平面内的点Z ________来表示，也可以用向量________来表示，三者的关系如下：(3)为方便起见，常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或向量OZ ，并且规定，相等的向量表示________复数．预习交流1做一做：复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则实数a 的值为________． 预习交流2做一做：复数z ＝12＋i在复平面内所对应的点位于第________象限．2．复数的模(或绝对值)(1)________的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|. (2)如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝______. 预习交流3 做一做：若对于实数x ，y ，复数x ＋y i 的模都为3，则点(x ，y )的轨迹方程是__________． 3．复数加减法的几何意义 (1)加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应，且1OZ ，2OZ 不共线．如下图，以1OZ ，2OZ 为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 所表示的向量OZ 就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．(2)减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应．且1OZ ，2OZ 不共线，如下图，则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (即21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．实际上，在平面向量中已有向量的几何解释，同复数减法的几何解释是一致的．(3)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝________________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的________．预习交流4做一做：在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量AC 对应的复数为－1－i ，则向量BC 对应的复数为__________．预习导引1．(1)复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 (2)(a ，b ) OZ (3)同一个 预习交流1：提示：∵复数对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，即a ＝0或a ＝2.预习交流2：提示：z ＝12＋i ＝2－i (2＋i)(2－i)＝25－15i ，对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，在第四象限．2．(1)向量OZ (2)a 2＋b 2预习交流3：提示：∵|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝3， ∴x 2＋y 2＝9.3．(3)(a －c )2＋(b －d )2距离 预习交流4：提示：－3－2i一、复数的几何意义实数x分别为什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i表示的点(1)在实轴上？(2)在虚轴上？思路分析：本题需弄清实轴、虚轴及实轴上数的特点、虚轴上数的特点，抓住特点完成．1．在复平面内，点A，B对应的复数分别是－3＋2i,1－4i，则线段AB的中点对应的复数是__________．2．复数z＝－2i－1，则复数z在复平面内对应的点位于第__________象限．确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、有关复数模的问题已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.思路分析：常规解法：设z＝a＋b i(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件，求出a，b.也可以巧妙地利用|z|∈R，移项后得到复数的实部，再取模可得关于|z|的方程，求解即可．1．(2012湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.2．已知复数z＝a＋i(0＜a＜2)，则|z|的取值范围是__________．3．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，若复数z的虚部为3，且|z|＝2，复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝__________.z为复数，但|z|为实数，复数相等的定义即实部与实部相等，虚部与虚部相等．需明确谁是实部，谁是虚部，同时，把复数z看作整体的方法值得借鉴．三、复数加减法几何意义的应用已知平行四边形ABCD的顶点A、B、D对应的复数分别为1＋i、4＋3i、－1＋3i.试求：(1)AD对应的复数；(2)DB对应的复数；(3)点C对应的复数．思路分析：利用复数加法、减法的几何意义进行求解．1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是__________．2．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在复平面上表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是z B－z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)．1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3对应的点位于第__________象限．2．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点的集合构成的图形是__________．3．已知复数z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是__________．4．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为__________．5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝(a ＋d )－(c ＋b )，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－2i 1－i ＝0的复数z 对应的点在第______象限．活动与探究1：解：(1)当x 2－2x －15＝0，即x ＝－3或x ＝5时，复数z 对应的点在实轴上．(2)当x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3时，复数z 对应的点在虚轴上． 迁移与应用：1．－1－i 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)， ∴AB 的中点为(－1，－1)， ∴AB 中点对应的复数为－1－i.2．三 解析：复数z 在复平面内对应的点为(－1，－2)，该点位于第三象限．活动与探究2：解法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i. ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 迁移与应用：1．10 解析：∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝32＋12＝10.2．(1，5) 解析：|z |＝|a ＋i|＝a 2＋1.∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5， ∴1＜|z |＜ 5.3．－1＋3i 解析：由已知得224b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，∴1a b =±⎧⎪⎨=⎪⎩，.又∵复数z 对应的点在第二象限， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.活动与探究3：解：(1)设坐标原点为O ， 则有AD ＝OD －OA ，所以AD 对应的复数为(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i. (2)DB ＝OB －OD ，所以DB 对应的复数为(4＋3i)－(－1＋3i)＝5. 因为ABCD 是平行四边形， 所以AD ＝BC . 由(1)知BC ＝－2＋2i ， 而BC ＝OC －OB ，所以OC 对应的复数为(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i ， 这就是点C 对应的复数． 迁移与应用：1．4－2i 解析：依题意有CD ＝BA ＝OA －OB ，所以CD 对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.2．解：(1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 的轨迹是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22， 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 引垂线，垂足在线段BE 上，22＜2－2，故集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22. 当堂检测1．二 解析：由已知得复数z 对应的点为(cos 3，sin 3)， 而cos 3＜0，sin 3＞0，∴点(cos 3，sin 3)在第二象限． 2．以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线 3．10 解析：z ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，∴|z |＝12＋(－3)2＝10.4．－3－4i 解析：CA ＝BA －BC ＝CB －AB ＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i. 5．9 解析：复数z 对应的点为(m －3,2m )， 由已知得m －3＝2m ，∴m＝9.6．一 解析：由定义得(z ＋1－i)－(1－2i ＋1＋2i)＝0，z －1－i ＝0， ∴z ＝1＋i ，对应点为(1,1)，故z 对应的点在第一象限．。
高中数学《第三章 复数》(4个课时)章节学案 新人教A版选修12
第三章 复数二．课标要求：复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
第一课时 复数的概念 一．归纳重点1．复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。
复数的实部为 ，虚部为 。
2．虚数和纯虚数：对于),(R b a bi a z ∈+=，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。
3．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：4．复数的相等：di c bi a +=+的充要条件为 。
二．典型例题例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2．如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++，求实数y x ,的值。
三．延伸训练1．下列四个命题中，真命题是（ ）①1-的平方根只有一个i ；②i 是方程012=+x 的一个根；③i 2是一个无理数；④)(1R a ai ∈-是一个复数。
.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2．对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）.A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3．复数i a a 234--与复数ai a 42+相等，则实数a 的值为（ ）.A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-4．复数i 312+-的实部为 ，虚部为 。
5．下列数中，其中实数为 ，虚数为 ，纯虚数为 。
①72+；②e ；③i 72；④0；⑤i ；⑥2i ；⑦3i ；⑧85+i ；⑨)31(-i ；⑩i -2。
高二数学 3.1.3复数的几何意义导学案 文
高二数学 3.1.3复数的几何意义导学案文3、1、3复数的几何意义一、学习目标：1、理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系2、掌握共轭复数、共轭虚数的概念3、掌握共轭复数的性质二、教学重难点：重点：用复平面内的点表示复数，共轭复数难点：共轭复数的性质三、学习过程：(一)复习引入：1、虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立、2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是－3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数、6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC、7、两个复数相等的定义：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等、即：的充要条件是且、（二）新课讲授1、用复平面（高斯平面）内的点表示复数复平面：建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面、复数可用点来表示、（如图）其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上、原点只在实轴x 上，不在虚轴上、2、复数的几何意义：复数集和复平面所有的点的集合是一一对应的、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：①任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定、这就是说，复数的实质是有序实数对、一些书上就是把实数对叫做复数的、②复数用复平面内的点表示、复平面内的点Z的坐标是，而不是、③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点都是表示纯虚数、但当时，是实数、所以，纵轴去掉原点后称为虚轴、由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点、④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写、要学生注意、3、共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数、（2）复数z的共轭复数用表示、若，则：；（3）实数的共轭复数仍是本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数、（4）复平面内表示两个共轭复数的点与关于实轴对称、教师可以提醒一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和5也是共轭复数，当时，和互为共轭虚数、可见共轭虚数是共轭复数的一种特殊情况、（5）设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作、由向量长度的计算公式得（三）典例分析例1、在复平面中写出各点表示的复数oyx例2、在复平面内，作出表示下列复数的点和向量：例3、求它们的模和它们的共轭复数及模由例3我们可以得出结论：，，你能证明吗？例４、设，满足下列条件的点的集合是什么图形？（1）（2）（四）课时小结：（五）作业安排：四、课后反思。
3.1.2复数的几何意义(学案)
3.1.2 复数的几何意义知识要点回顾：知识点一 复平面的定义如图所示，点Z 的横坐标为a ，纵坐标为b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )及以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →是一一对应的．知识点三 复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．常见题型常见题型题型一、复数与复平面内点的对应例1 已知复数z ＝(a 2－4)＋(2a －3)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)Z 在实轴上； (2)Z 在第二象限； (3)Z 在抛物线y 2＝4x 上．练习： (1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________________(2)若复数z ＝(m ＋1)＋(m －2)i ，其中m ∈R ，则复数z 对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型二、复数与复平面内向量的对应例2 在复平面上，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i ，2，O 为复平面的坐标原点．(1)求向量OA →＋OB →，AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．练习： (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i题型三、复数模的问题例3(1)若复数z ＝(a ＋2)－2a i 的模等于5，求实数a 的值．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．课后作业：1．复数4－i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)4．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝06．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i7．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >1B ．－1<a <1C ．a >1D ．a >08．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为______．9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．10．若z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .11．当a 取何值时，复数z ＝a 2－2a －8＋a 2－a －2a ＋1i(a ∈R )对应的点Z ： (1)在复平面的实轴的下方？(2)在直线x ＋y ＋8＝0上？（选做）若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，求|z|的取值范围．。
2022年教学教材《3复数的几何意义导学案教师版》优秀教案
§复数的几何意义目标要求1、理解并掌握复数的几何意义及复平面、复数的模等相关概念．2、理解并掌握复数与复平面上点的对应关系．3、理解并掌握复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义．4、理解并掌握复数的模学科素养目标复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛复数与平面向量知识的结合是一大特点复数的代数形式是数学计算的应用复数的三角形式和三角函数知识紧密联系复数知识也是大学复变函数的根底，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识重点难点重点：复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义；难点：复数的模．教学过程根底知识点1复平面【思考】有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗提示:不正确实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为0,0,它所确定的复数是=00i=0,表示的是实数2复数的几何意义1对应关系:复数___复平面内的点Za,b__复数平面向量因此,复数=abi、复平面内的点Za,b和平面向量之间的关系可用以下图表示为方便起见,常把复数=abi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数2本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系3应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义3复数的模1定义:向量的模叫作复数的模;2记法:复数=abi的模记作___或___;3公式:||或|abi|4复数加、减法的几何意义1如下图,设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,那么与对应的向量是,与对应的向量是;2实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算数形结合;3应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目【思考】的几何意义是什么提示:表示复数对应的两点与间的距离即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A在复平面内,对应于实数的点都在实轴上B复数的模一定是正实数C复数的充要条件是D假设复数，那么它的模为1【答案】选AD提示:A√根据实轴的定义,轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点2,0表示实数2B×复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数C×如-1>-2,但|-1|<|-2|D√因为，所以题2在复平面内,复数对应的点的坐标是1,2,那么i·=2i i【解析】选=12i,i·=i12i=-2i题3在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,那么等于A B C D【解析】选B,所以关键能力·合作学习类型一复数与复平面上点的对应关系数学抽象、直观想象【题组训练】题4复数i为虚数单位其中,那么复数在复平面上所对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】选C因为,所以且,所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限题5复数和在复平面内的对应点关于A实轴对称B一、三象限的角平分线对称C虚轴对称D二、四象限的角平分线对称【解析】选A复数在复平面内的对应点为复数在复平面内的对应点为点与关于实轴对称题6复数,在复平面内对应的点满足以下条件时,求a的值或取值范围1在实轴上;2在第三象限【解析】复数的实部为,虚部为,在复平面内对应的点为1假设对应的点在实轴上,那么有,解得2假设对应的点在第三象限,那么有解得【解题策略】利用复数与点的对应解题的步骤1找对应关系:复数的几何表示法即复数=abia,b∈R可以用复平面内的点Za,b来表示,是解决此类问题的根据2列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程组或不等式组求解【补偿训练】为何值时,复数在复平面内的对应点分别满足以下条件:1位于第四象限;2位于轴的负半轴上【解析】1由题意,知解得即-7<m<3故当-7<m<3时,复数的对应点位于第四象限2由题意,知由②得m=-7或m=4因为m=-7不符合不等式①,m=4符合不等式①,所以m=4故当m=4时,复数的对应点位于轴的负半轴上类型二复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义数学抽象、直观想象角度1 复数与向量的对应【典例】题81在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-12i,假设点A关于直线=-的对称点为B,那么向量表示的复数为2i i2i2在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是A B C D【思路导引】1根据向量的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B的坐标,最后根据点B的坐标求出的坐标2根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数【解析】1-1,2,那么B-2,1,所以向量表示的复数为-2i2选B复数对应的向量的坐标为,按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为,所得向量对应的复数为【解题策略】复数与平面向量的对应关系1根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量2解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化角度2 复数加减运算的几何意义【典例】题9如下图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,32i,-24i,试求:1所表示的复数,所表示的复数;2所表示的复数;3所表示的复数及的长度【思路导引】1根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出的坐标,然后转化为复数2根据复数与向量的关系,利用向量法求向量的坐标【解析】1,所以所表示的复数为-3-2i因为,所以所表示的复数为-3-2i2因为,所以所表示的复数为32i--24i=5-2i3,它所对应的复数=32i-24i=16i,，注意书写的标准性:手写向量时必须加箭头,注意向量的相等与相反之间的关系【解题策略】用复数加、减运算的几何意义解题的技巧1形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理2数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中【题组训练】题10在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,假设点A关于实轴的对称点为B,那么向量对应的复数为i2i2i【解析】选D由题意可知,点A的坐标为-1,-2,那么点B的坐标为-1,2,故向量对应的复数为-12i 题11复数i是虚数单位,它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,假设,那么=__________ 【解析】由条件可知，假设,那么3,－2=－,2－,所以解得=1,=4,所以=5答案:5类型三复数的模直观想象、数学运算角度1 复数模的计算【典例】||=28i,那么复数=______【思路导引】设代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b【解析】设,那么,代入方程得,所以解得所以=-158i答案:-158i【变式探究】题13设复数,且,那么实数a的取值范围是A-∞,-1∪1,∞B-1,1 C1,∞D0,∞【解析】选B因为所以,即,所以,即-1<a<1角度2 复数模的几何意义【典例】满足|i||-i|=2,那么|i1|的最小值是B D【思路导引】根据绝对值的几何意义,求出点Z在复平面内对应的集合,再求出|i1|的最小值【解析】,i,-1-i在复平面内对应的点分别为,因为|i||-i|=2, ,所以点Z的集合为线段问题转化为动点Z在线段上移动,求的最小值,因为,所以【解题策略】复数几何意义的应用表示复平面内对应的两点间的距离利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解【题组训练】题15假设,那么||=C【解析】选C因为,所以满足i为虚数单位,那么复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】选C因为,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限=3ai,且||<4,求实数a的取值范围【解析】方法一:因为=3aia∈,所以,由得,所以,所以方法二:利用复数的几何意义,由||<4知,在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内不包括边界, 由=3ai知对应的点Z在直线=3上,所以线段AB除去端点为动点Z的集合由图可知:备选类型复数的模及其几何意义的应用技巧数学抽象、数学运算【典例】的模为2,那么|-i|的最大值为________【思路导引】利用复数的几何意义求解【解析】由题意知,复数对应点的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆,|-i|表示圆上的动点与点0,1的距离,由数形结合易知,最大值为3答案:3【解题策略】1复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为形式;步骤二:代入公式求复数的模2在复平面内,两点间的距离是复数几何意义的根底,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果【跟踪训练】满足||=2,那么的取值范围是________【解析】由于复数满足||=2,故复数对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为表示圆上的点到3,0和-3,0两点距离之和,即,①式平方得,由于,所以,所以,所以,所以答案:课堂检测·素养达标=1i,那么C【解析】=1i得,,所以题21复数,那么||=A C【解析】选A依题意,所以中,假设A,C对应的复数分别为-1i和-4-3i,那么该平行四边形的对角线AC的长度为A C【解析】选B依题意知,对应的复数为-4-3i--1i=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5=2,且,那么复数=________【解析】依题意可设复数=a2aia∈,由,得,解得a=±1,故=12i或=-1-2i答案:12i或-1-2i是复数,i是虚数单位,且,那么||=________,复数在复平面内对应的点位于第________象限【解析】因为=-2ai,所以,所以,所以解得,所以,所以,复数在复平面内对应的点为位于第二象限答案:二。
高中数学3.3复数的几何意义教案(苏教版选修2-2)
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数 复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
5.复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).
4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量 就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于 ，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
扬州中学西区高二数学教案（）
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第三章 第三节 复数几何意义学案
一、 明标自学
1. 学习目标
（1）．理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；
（2）了解复数代数式加法、减法运算的几何意义；
2.自学指导
问题1：对于复数a+bi 和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相
等？（a=c 且b=d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。
）
问题2：若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a+bi 是怎样的对应关系？
有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）
实数可以用数轴上的点来表示
实数
一一对应
实数轴上的点 （
几何模型）
问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的
一些性质吗？
1、复平面的概念
把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
2、复数的几何意义
复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。
以O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。
三者的关系如下：
（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2+i，-1+3i，3-2i，-i
（2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？
变式：第二象限的点表示的复数有何特征？
问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。
（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）
3、复数的模（或绝对值）
向量的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或bi
a+。
如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。
[巩固练习]
（1）、已知复数
1
Z=3+4i，
2
Z=-1+5i，试比较它们模的大小。
（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为。
（3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
（4）设Z∈C，满足2<Z≤3的点Z的集合是什么图形？
问题5
4
设向量
1
OZ，
2
OZ分别与复数a+bi，c+di对应，且
1
OZ，
2
OZ不共线，以
1
OZ，
2
OZ
为两条邻边画平行四边形O
1
Z Z
2
Z，则对角线OZ所表示的向量OZ就是复数（a+c）+(b+d)i 对应的向量。
（平行四边形法则）
根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。
（三角形法则，过O作与其相等的向量）
设
1
Z=a+bi，
2
Z=c+di，则
1
Z-
2
Z=（a-c）+（b-d
）i
表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。
例1：已知复数z=i m m m m )2()6(22-++-+在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。
变式：证明对一切实数m ，此复数z 所对应的点不可能位于第四象限
例2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z 的轨迹是什么？
（1）|z-1-i|=|z+2+i|
（2）|z+i|+|z-i|=4
（3）|z+2|-|z-2|=1
延伸：若将（2）中的等于改为小于呢？
三、当堂检测
1、实数x 分别取什么值时，复数xi x z ++=12对应的点Z
（1）在第四象限？（2）直线上03=--y x ．
2、判断
（1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2
（3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0
3．已知，复数1Z =3+4i ，复数Z 满足21=-Z Z ，求Z 的最值
四、课时小结。