高三数学一轮复习 2.8函数与方程课件

f(2)=lg2>0,所以f(1)f(2)<0,
又f(x)在(0,+∞)上连续,故x0∈(1,2).
5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0) =0.200
f(1.562 5) =0.003
f(1.587 5) =0.133
f(1.556 2) =-0.029
3.(2014·杭州模拟)函数f(x)=
1
x2
(1 )x
的零点个数为(
)
2
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.函数f(x)=
1
x2
(的1 )零x 点
2
个数,是方程
1
x2
( 1的)x 解 0的个数,是
2
方程
1
x2
(的1 )解x 的个数,也就是函数y=
2
x
12与y=
( 1的) x 图象的交点个数.在同一坐
[a,b]上有且只有一个零点.
其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】选C.①错误,函数f(x)=x2-1的零点为-1和1,而并非其 与x轴的交点(-1,0)与(1,0). ②错误.函数f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1) ·f(2)>0. ③正确.当b2-4ac<0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函 数没有零点. ④正确.由已知条件,数形结合得f(x)与x轴在区间[a,b]上有且仅 有一个交点.故正确.
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0); ②函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一 定有f(a)·f(b)<0;
③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点;
④若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在
f(1.575 0) =0.067
f(1.550 0) =-0.060
据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(保留三位有
效数字)为
.
【解析】由题意知,函数零点在区间(1.5562,1.5625)内,又零 点近似值保留三位有效数字,故零点近似值为1.56. 答案:1.56
考点1 方程根的个数的确定与应用
y=f(x)与y=( 1 ) 在x [0, ]1 上0 的图象如图所示,数形结合得两图
10
3
象有3个交点,故方程f(x)= ( 1 在) x
10
[0, 1 0] 上有三个根.
3
(2)①方法一:因为g(x)=x+ e 2 ≥ 2 =e22 e,等号成立的条件是
x
x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,则g(x)=m就 有实数根. 方法二:作出g(x)=x+e 2 (x>0)的大致图象如图:
2
标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.
4.(2014·北京模拟)已知方程lgx=2-x的解为x0,则下列说法 正确的是( )
A.x0∈(0,1)
B.x0∈(1,2)
C.x0∈(2,3)
D.x0∈[0,1]
【解析】选B.由lgx=2-x得lgx+x-2=0,
令f(x)=lgx+x-2,
则当x→0时,f(0)<0,f(1)=-1<0,
第八节 函数与方程
【知识梳理】 1.函数零点 (1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_f_(_x_)_=_0_的实数x叫做 函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)三个等价关系:
(3)存在性定理:
f(a)·f(b)<0
连续不断
f(x0)=0
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
【典例1】(1)(2014·合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)
=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=
( 1 ) x 在[0, 1 0 ]上的根的个数是( )
10
3
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2014·杭州模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
g(x)=x+ e 2 (x>0).
x
①若g(x)=m有实数根,求m的取值范围;
②确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【解题视点】(1)根据已知条件作出函数f(x)与y= ( 1 在) x
10
[0, 1 0]上的图象,数形结合求解.
3
(2)①可用基本不等式求出最值或数形结合法求解.②转化为
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤: 第一步:确定区间[a,b],验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0_,给定精确度ε. 第二步:求区间(a,b)的中点c. 第三步:计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点 近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.
两个函数f(x)与g(x)有两个交点,从而用数形结合法求解.
【规范解答】(1)选C.因为f(x)为偶函数,所以当x∈[-1,0]
时,-x∈[0,1],所以f(-x)=x2,即f(x)=x2,
又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f((x+1)+1)=f((x+1)-1)=f(x),
故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数
2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似零点,验证
f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1=
2 4 =3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间为
2
()
A.(2,4)
B.(3,4)
C.(2,3)
D.(2.5,3)
【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2 +bx+c(a>0)的 图象
与x轴的交点
零点
_(_(_x_x_1_2,_,_0_0_)_)_,_ x1,x2
(x1,0) x1
无交点 无
3.二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0来自百度文库 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_一__分__ _为__二__,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.