数学活动 (杨辉三角)课件
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A
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
数学课件：1.3.2 杨辉三角
间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C������2 = C������2 .
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它 “肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6; (2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是
12
【做一做2-2】 在(1-x)6的展开式中,含x的奇数次幂的项的系数 和为( )
A.32 B.-32 C.0 D.-64 解析:由 Tr+1=C6������ (-x)r=(-1)rC6������ xr 可知,含 x 的奇数次幂的项的系数 和为-(C61 + C63 + C65)=-32. 答案:B
=
4 5
,
化简得
3 4 4 5
= =
������
������+1-������
������+1 ������-������
,
,
1.理解杨辉三角的意义. 2.掌握二项式系数的性质并会应用.
12
1.杨辉三角 关于(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下 表的形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为 “帕斯卡三角”.
12
名师点拨 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察——分 析——试验——猜想结论——证明.要得出杨辉三角中数的诸多排 列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、 连续看、隔行看,从多角度观察.
12
【做一做1】 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
高二数学人教A版选择性必修第三册第六章数学探究 杨辉三角的性质与应用 课件(共20张PPT)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
1.3.2杨辉三角课件人教新课标B版(2)
答案：2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从 左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3.
解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3， 则 3C1n3＝2C1n4， 即13！3nn－！13！＝14！2nn－！14！. 解得 n＝34. 答案：34
1.3.2杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第n-1行 1
…… ……
第n行 1
… … C C 1 2 n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
C
1 n
Cn2
…
C
r n
[一点通] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根 据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要 使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项的和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次 项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数的和为
2
10＋4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，， ，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
[一点通] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时， 中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同 的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式 组、解不等式的方法求得．
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从 左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3.
解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3， 则 3C1n3＝2C1n4， 即13！3nn－！13！＝14！2nn－！14！. 解得 n＝34. 答案：34
1.3.2杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第n-1行 1
…… ……
第n行 1
… … C C 1 2 n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
C
1 n
Cn2
…
C
r n
[一点通] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根 据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要 使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项的和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次 项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数的和为
2
10＋4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，， ，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
[一点通] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时， 中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同 的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式 组、解不等式的方法求得．
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
1， 3， 6， 10， 15， 21，… 2 3 4 5 6… 1 1 1 1…
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
杨辉三角(小学版)ppt课件
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
《杨辉三角与二项式定理》精品PPT课件
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
由于：
C
k n
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于CLeabharlann k n1的增减情况由n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
,
C1n
,
Cn2
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn Cnnm 得到．
图象的对称轴：r n 2
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
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探秘
课题选自：新人教版数学八 年级上册《14.2.2完全平方 公式》课后“阅读与思考”
“`杨辉三角”
二项式展开式的系数 (a+b)0= 1 (a+b)1= 1 a +1b
(a+b)2= 1a2+ 2ab +1b2 (a+b)3= (a+b)(a+b)2=1a3+3a2b+3ab2+11b3 (a+b)4= (a+b)(a+b)3=1a4+44a3b+6a2b2+4a1b3+11b4
上 》
书
再见
探究次数规律 (a+b)0= 1 (a+b)1= 1a1+1b (a+b)2= 1a2+2a1b+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3a1b2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4a1b3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a1b4+1b5
另解：82=（7+1）2 =7 2 +2×7×1+1 2
变式： 若今天是星期一，再过86天后是星期几？
8 6 =（7+1） 6 =76+6×75×1+15×74×12+20×73×13+15×72×14+6×71×15+16
猜想： 若今天是星期一，再过8n天后是星期几？
8 n=（7+1） n
纵横斜探，深度挖掘
纵横斜探，深度挖掘
斐
波
那
每个斜行的数字求和
1
契
这就是著名的斐波那契数列 1 1 12 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
《
·
易
圣 人
河 出
系
则图辞
之
洛 出
1. 项数比二项式的次数多1，每一项的次数等于二项式的次数
2. 每项字母a的指数从高到低排列，字母b的指数从低到高排列
(a+b)6=1_a_6+6_a5_b_+15_a4_b_2_++2200a_3_b_3+15a_2_b_4+6_a_1b_5+ 11_b_6
范例讲解，应用新知
例： 若今天是星期一，再过82天后是星期几？
杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂
1
1 +1 1 + 2+ 1 1 + 3+ +3 1
1 20 2 21 4 22
8 23
14 641 1 5 10 10 5 1
2n 1
(a1+b1)74=612a114+5 43a5230b3+561a52b2216+47a11b31+1b4
1 8当2a8=1，56b=710时 56 28 8 1
探究系数规律
1、三角形成左、右对称排列
1
2、最外侧(左右两段)的系数都是1
11
121
3、每行中间的各个数分别等 于它“肩上”的两数之和.
13 31 1 4 641
(a+b)5= (a+b)(a+b)4
1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
=
(a+b)6= 1__+6___+15____+20___+15___+6___+1__
二项式展开式的系数排列成了一个三角数阵
开方作法本源图
手算高次方根
贾宪
《详解九章算术》
帕 斯
法国数学家、物理学家
卡
差分方程、无穷级数
华罗庚
展开式的系数与杨辉三角 (a+b)0 1
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)n 展开式的系数与杨辉三角 第n+1行的数是相同的
赋 值
1 294 …36(…1+…814…)4=…121…6 +…142…6+…68…4+…43…6+ 19 1
法
纵横斜探，深度挖掘
所有行的左（右）起第二个数构成除0以外的自然数
1 11 121 1 3 31 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
课题选自：新人教版数学八 年级上册《14.2.2完全平方 公式》课后“阅读与思考”
“`杨辉三角”
二项式展开式的系数 (a+b)0= 1 (a+b)1= 1 a +1b
(a+b)2= 1a2+ 2ab +1b2 (a+b)3= (a+b)(a+b)2=1a3+3a2b+3ab2+11b3 (a+b)4= (a+b)(a+b)3=1a4+44a3b+6a2b2+4a1b3+11b4
上 》
书
再见
探究次数规律 (a+b)0= 1 (a+b)1= 1a1+1b (a+b)2= 1a2+2a1b+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3a1b2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4a1b3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a1b4+1b5
另解：82=（7+1）2 =7 2 +2×7×1+1 2
变式： 若今天是星期一，再过86天后是星期几？
8 6 =（7+1） 6 =76+6×75×1+15×74×12+20×73×13+15×72×14+6×71×15+16
猜想： 若今天是星期一，再过8n天后是星期几？
8 n=（7+1） n
纵横斜探，深度挖掘
纵横斜探，深度挖掘
斐
波
那
每个斜行的数字求和
1
契
这就是著名的斐波那契数列 1 1 12 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
《
·
易
圣 人
河 出
系
则图辞
之
洛 出
1. 项数比二项式的次数多1，每一项的次数等于二项式的次数
2. 每项字母a的指数从高到低排列，字母b的指数从低到高排列
(a+b)6=1_a_6+6_a5_b_+15_a4_b_2_++2200a_3_b_3+15a_2_b_4+6_a_1b_5+ 11_b_6
范例讲解，应用新知
例： 若今天是星期一，再过82天后是星期几？
杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂
1
1 +1 1 + 2+ 1 1 + 3+ +3 1
1 20 2 21 4 22
8 23
14 641 1 5 10 10 5 1
2n 1
(a1+b1)74=612a114+5 43a5230b3+561a52b2216+47a11b31+1b4
1 8当2a8=1，56b=710时 56 28 8 1
探究系数规律
1、三角形成左、右对称排列
1
2、最外侧(左右两段)的系数都是1
11
121
3、每行中间的各个数分别等 于它“肩上”的两数之和.
13 31 1 4 641
(a+b)5= (a+b)(a+b)4
1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
=
(a+b)6= 1__+6___+15____+20___+15___+6___+1__
二项式展开式的系数排列成了一个三角数阵
开方作法本源图
手算高次方根
贾宪
《详解九章算术》
帕 斯
法国数学家、物理学家
卡
差分方程、无穷级数
华罗庚
展开式的系数与杨辉三角 (a+b)0 1
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)n 展开式的系数与杨辉三角 第n+1行的数是相同的
赋 值
1 294 …36(…1+…814…)4=…121…6 +…142…6+…68…4+…43…6+ 19 1
法
纵横斜探，深度挖掘
所有行的左（右）起第二个数构成除0以外的自然数
1 11 121 1 3 31 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………