流体力学学习总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、拉格朗日法（随体法） 着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流 体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。拉格朗日变 数：（a,b,c,t） —(区分流体质点的标志) 二、欧拉法（局部法、当地法） 着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点 的运动规律。欧拉变数：( x, y, z, t ) — (流体质点所在空间 位置)
1at（工程大气压）=9.807×104 Pa=735.6mmHg=10 mH2O （2）压力大小的两种表征方法
p
(1) pm
绝对压强：以绝对真空为基准
计示压强：以当地大气压为基准
pa
p1
(2)
pv
p2
Absolute zero reference p =0
三 绝对压强P＝大气压强 + 计示压强 者 计示压强Pm＝绝对压强－当地大气压Pa 关 系 真空度 Pv＝当地大气压－绝对压强
1.2 学习流体力学知识储备
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多流体质点的运动所构成的。 我们把充满运动着的流体的空间称为流场。场论是流体力学的数学基础。
1.2.1 标量、向量、张量及场的概念
场的概念：设在空间中的某个区域内或全部区域内定义某一个函数 F(r; t ) F( x, y, z; t ) ）， （将物理量作为空间点位置和时间t的函数 ： 则称定义在此空间区域内的函数为场。场是具有物理量的空间。 ①标量场：物理量为标量，1个元素表示，如温度场； ②向量场：物理量为向量，即3个元素表示的既有大小又有方向的量， 如速度场、加速度场； ③张量场：物理量为张量，n阶张量场由3n元素表示的场，如应力场和 应变场等。
30 ＜ Re ＜ 103 ，桨叶 附近的液体已出现湍 流，而其外周仍为层 流，此为过渡流状态。
dv dy
在国际单位制(SI)中,动力粘度的单位以帕·秒(Pa·s) 表示.通常使用的单位为毫帕·秒(mPa·s)。 胶液浆料粘度以此粘度衡量！！！
2.2 粘度影响因素
〈1〉粘压关系 压强其分子间距离（被压缩）内聚力粘度 一般不考虑压强变化对粘度的影响。
μ 空气
〈2〉粘温关系 温度内聚力 粘度 （液体） 温度交换能力 粘度 （气体）
qm w＝ A
m/s
kg/(m2s) w＝u
qm ＝w A ＝ u A
流线：流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲 线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。 流线是与欧拉观点相对应的概念。 迹线：是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点对应的概念。
流面：是由流线组成的空间曲面
……
工作中重要的匀浆涂布工序
……
目录
第1章 流体力学基础知识
第2章 流体粘性
第3章 流体运动 第4章 流体搅拌
第1章 流体力学基础知识
1.1、流体质点与连续介质模型 把流体视为由无数个流体微团（或流体质点）所 组成，这些流体微团紧密接触，彼此没有间隙。这就 是连续介质模型。 流体微团（或流体质点）： 宏观上足够小，以致于可以将其看成一个几 何上没有维度的点； 同时微观上足够大，它里面包含着许许多多的分 子，其行为已经表现出大量分子的统计学性质。
Re du
此数群，后人称之为雷诺准数 Re，无数的观察与研究证明，Re 值的大小，可 以用来判断流动类型。Re<2000 为层流； Re>4000 为湍流； Re 在 2000-4000 之间 为过渡流。
3.5 流体运动中的能量守恒-伯努利方程式
运动着的流体涉及的能量形式有（单位质量）
内能、位能、动能、静压能、 取决于温 度，U， J/kg gz ， J/kg ， J/kg u2/2 热、 功 功 率 We ， He
2.实际流体流动……过程的能量衡算
T U 不变 、 、 由摩擦阻力引起 能量损失： Wf (J/kg) 假设： Qe＝0 能量补充： We (J/kg) …… 由流体输送设备提供 实际流体伯努利方程式： gZ1 + u12/ 2 + p1/ ＋We＝ gZ2 + u22/ 2 + p2/ ＋Wf
＝-计示压强
压强示意图
第2章 流体粘性
2.1 粘度的定义
运动粘度:液体在重力作用下流动时内摩擦力的量度.其 值为相同温度下液体的动力粘度与其密度之比.在国际单 位制(SI)中,运动粘度的单位以平方米/秒(m2/s)表示.通 常使用的单位为平方毫米/秒(mm2/s) 。
动力粘度:液体在剪切应力作用下流动时内磨擦力的量度. 其值为所加于流动液体的剪切应力和剪切速率之比.
水 T
粘度与温度关系图
温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视！！！
原因详解：这是因为气体的粘性力主要来自相邻流动层分子的横向动量交换的结果： 温度升高，这种动量的交换也加剧。因而内摩擦力或μ 值将增大。但是，液体则不 同。随着温度的升高，液体的μ 值将减小。原因在于液体的粘性力主要来自相邻流 动层间分子的内聚力；随着温度的升高，液体分子热运动加剧，液体分子间的距离 变大，因而分子间的内聚力将随之减小。
P dP S 0 S dS
表面力的合力：
P p n ds
S
1.5 流体的压强及其表示方法
流体的压强：流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体 的压强。用p表示，工程上习惯称之为压力。
（1）压力单位：SI 制中， N/m2 = Pa，称为帕斯卡
1 atm(标准大气压)＝1.013×105 Pa ＝760 mmHg ＝10.33 mH2O
2 总能量衡算式：U1 + g1Z1 + u1 / 2 + p1/ 1 + Qe +We ＝U2 + g2Z2 + u22/ 2 + p2/ 2
1.理想流体流动过程的能量衡算 理想流体：a. 流体在流动时无摩擦，无能量损失 b. 不可压缩流体 假设： Qe＝0、We＝0 理想流体伯努利方程式： gZ1 + u12/ 2 + p1/ ＝ gZ2 + u22/ 2 + p2/ ＝常数 流体的机械能 T U 不变 、 、
的物理量 (流速、压强、密度等) 不随时间变化的流动。
不稳定（非定常）流动 ：在流动过程中，流体在任一截面上的
物理量随时间而变化的流动。
3.4 雷诺准数
如何将这些定性的感性认识提高到定量的理论高度呢？流动类型与哪些物 理量有关呢？ 1883 年，雷诺（Reynolds）通过大量实验观察到，流体流动分为层流、过渡 流、湍流，且流动型态除了与流速 (u ) 有关外，还与管径 ( d ) 、流体的粘度 ( ) 、流 体的密度 ( ) 有关。 雷诺将 u、d、、 组合成一个复合数群。
塑性流体——克服初始应力τ0后，τ才与速度梯度成正比（牙膏、新拌水泥
砂浆、中等浓度的悬浮液等）
粘性流体的分类 牛顿流体
与 时 间 无 关 的 假塑性流体 膨胀性流体 宾汉流体 ( 塑性流体 ) 屈服-假塑性流体 屈服-膨胀性流体
与时 间有 关的
纯 粘 性 流 体
触变性流体 震凝性流体
非 牛 顿 流 体
流管： 在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时
刻过 L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管
流束：管内流体称为流束
L
流管 流线
3.3 流体运动中的一些基本概念
层流：流体质点运动轨迹是有规则的光滑曲线。 湍流：流体质点除了做有规则的光滑曲线运动，还做不规则的 杂乱运动且互相碰撞，互相混和。 稳定（定常）流动 ：流体流动过程中，任一截面上与流动相关
kg m 3
即单位质量占有的体积
重 度 ： g 比 重： d
N m3
即单位体积物质的重量 即相对密度
H O@4
2 o
C
二、粘性（后续单独介绍） 三、压缩性：流体的密度或容积随压力或温度变化的性质。
1.4 作用在流体上的质量力和表面力 1.4.1 质量力（体积力）：
透过物质传递的力，作用在研究流体质量中心，与质量 成正比；取一流体微团质量为△m，其受的质量力：
t
M0
Mwenku.baidu.com
一般运动
＝
平移
＋ 线变形 ＋
旋转
＋ 角变形
4.3 搅拌雷诺数
叶轮直径
搅拌雷诺数
Re
d 2 n
搅拌器转速
液体密度 液体黏度
Re ＜ 10 ， 叶 轮 周 围 液体随叶轮旋转作周 向流，远离叶轮的液 体基本是静止的，属 于完全层流。
10 ＜ Re ＜ 30 ， 液 体 的运动达到槽壁， 并沿槽壁有少量上 下循环流发生，此 现象为部分层流， 仍为层流范围。
粘弹性 流体
(a) 纯粘性流体在 撤除剪切应力后，它 们在受剪切应力作用 期间的任何形变都不 会回复； (b) 而粘弹性流体 在撤除剪切应力后， 它们在受剪切应力作 用期间所产生的形变 会完全或部分地得到 回复。
多种类型
流体触变性：恒定剪切速率下粘度随时间增加而降低的
第3章 流体运动
3.1 描述流体运动的两种方法
流体知识学习总结
流体是液体和气体及等离子态的总称。
血液流动：生物流体力学 航空航天：空气动力学 等离子体运动：电磁流体力学 化工产业：多相流体力学 石油和天然气开采：渗流力学 燃烧过程：化学流体力学 理想流体动力学 粘性流体动力学 可/不可压缩流体动力学 非牛顿流体力学 不同“力学 模型”角度 流体静力学 流体运动学 流体动力学 流体作用力的角度
第4章 流体搅拌 4.1 搅拌器类型 小直径高转速搅拌器 搅 拌 器 类 型 大直径低转速搅拌器 涡轮式搅拌器
推进式搅拌器
桨式搅拌器
锚式、框式搅拌器 螺带式搅拌器
4.2 搅拌槽内液体进行着几种流动：
轴向流：流体轴向流入，轴向流出 径向流：流体轴向流入，径向流出 切向流：流体围绕搅拌轴作旋转运动
τ
塑性流体 拟塑性流体 牛顿流体
140.00
120.00 100.00 80.00 60.00
τ0
膨胀型流体
40.00 20.00
o
dv/dy
0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Shear Rate（1/s）
膨胀型流体：τ的增长率随dv/dy的增大而增加 拟塑性流体：τ的增长率随dv/dy的增大而降低（高分子溶液、纸浆、血液等）
外界对流体 做功时为正， 流体对外界 做功时为负。
p/ ， Q ， e J/kg
传热速率
吸热时为正， 放热时为负。
流体稳定流动时的能量衡算：
输入能量＝U1 + g1Z1 + u12/ 2 + p1/ 1 + Qe +We 输出能量＝U2 + g2Z2 + u22/ 2 + p2/ 2
由能量守恒定律：输入能量＝输出能量
2.3 流体类型
2.3.1 理想流体与粘性流体
理想流体： μ=0，即无粘性流体 粘性流体： μ≠0 2.3.2 牛顿流体与非牛顿流体 牛顿流体：动力粘度μ 为不变数的流体 非牛顿流体： μ 为变数的流体
2.3.3 粘性流体分类
flow curve @25℃
200.00 180.00 160.00 Shear Stress（Pa）
•欧拉变数 x,y,z 与 L. 法中质点位置 x,y,z
有所区别，空间点 x,y,z 是 t 独立变量即 与t无关，而质点位置x,y,z是t的函数
3.2 流体的运动属性
体积流量 流量 qV＝ V t m3/s kg/s qm ＝ qV
m 质量流量 qm ＝ t
体积流速
流速 质量流速
qV u＝ A
rot a
散度：描述场内单元单位体积变 化率，运动中集中叫辐合， 发散称为辐散（描述流场 中的扩散） 旋度：描述流场内的旋转运动
1.3 流体物理特性
一、易流动性：切应力作用下流体能产生连续变形(流动)。
m d m V 0 V dV 1 v 比容： m 3 kg
密度： lim
f ( x, y, z ) lim
F 1 F dF lim m 0 m V 0 V dV
质量力的合力：F V f ( x, y, z , t )dV
1.4.2 表面力：
外界对流体表面的作用力，与表面积大小成正比； 取微小单元△S，其受的表面力：
p n lim
1.2.2 场论的几个概念
i j k grad x y z
梯度：描述场物理参数的变化率； 描述场内空间不均匀性
a x a y a z a div a x y z
i a x ax j k y y a y az
1at（工程大气压）=9.807×104 Pa=735.6mmHg=10 mH2O （2）压力大小的两种表征方法
p
(1) pm
绝对压强：以绝对真空为基准
计示压强：以当地大气压为基准
pa
p1
(2)
pv
p2
Absolute zero reference p =0
三 绝对压强P＝大气压强 + 计示压强 者 计示压强Pm＝绝对压强－当地大气压Pa 关 系 真空度 Pv＝当地大气压－绝对压强
1.2 学习流体力学知识储备
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多流体质点的运动所构成的。 我们把充满运动着的流体的空间称为流场。场论是流体力学的数学基础。
1.2.1 标量、向量、张量及场的概念
场的概念：设在空间中的某个区域内或全部区域内定义某一个函数 F(r; t ) F( x, y, z; t ) ）， （将物理量作为空间点位置和时间t的函数 ： 则称定义在此空间区域内的函数为场。场是具有物理量的空间。 ①标量场：物理量为标量，1个元素表示，如温度场； ②向量场：物理量为向量，即3个元素表示的既有大小又有方向的量， 如速度场、加速度场； ③张量场：物理量为张量，n阶张量场由3n元素表示的场，如应力场和 应变场等。
30 ＜ Re ＜ 103 ，桨叶 附近的液体已出现湍 流，而其外周仍为层 流，此为过渡流状态。
dv dy
在国际单位制(SI)中,动力粘度的单位以帕·秒(Pa·s) 表示.通常使用的单位为毫帕·秒(mPa·s)。 胶液浆料粘度以此粘度衡量！！！
2.2 粘度影响因素
〈1〉粘压关系 压强其分子间距离（被压缩）内聚力粘度 一般不考虑压强变化对粘度的影响。
μ 空气
〈2〉粘温关系 温度内聚力 粘度 （液体） 温度交换能力 粘度 （气体）
qm w＝ A
m/s
kg/(m2s) w＝u
qm ＝w A ＝ u A
流线：流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲 线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。 流线是与欧拉观点相对应的概念。 迹线：是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点对应的概念。
流面：是由流线组成的空间曲面
……
工作中重要的匀浆涂布工序
……
目录
第1章 流体力学基础知识
第2章 流体粘性
第3章 流体运动 第4章 流体搅拌
第1章 流体力学基础知识
1.1、流体质点与连续介质模型 把流体视为由无数个流体微团（或流体质点）所 组成，这些流体微团紧密接触，彼此没有间隙。这就 是连续介质模型。 流体微团（或流体质点）： 宏观上足够小，以致于可以将其看成一个几 何上没有维度的点； 同时微观上足够大，它里面包含着许许多多的分 子，其行为已经表现出大量分子的统计学性质。
Re du
此数群，后人称之为雷诺准数 Re，无数的观察与研究证明，Re 值的大小，可 以用来判断流动类型。Re<2000 为层流； Re>4000 为湍流； Re 在 2000-4000 之间 为过渡流。
3.5 流体运动中的能量守恒-伯努利方程式
运动着的流体涉及的能量形式有（单位质量）
内能、位能、动能、静压能、 取决于温 度，U， J/kg gz ， J/kg ， J/kg u2/2 热、 功 功 率 We ， He
2.实际流体流动……过程的能量衡算
T U 不变 、 、 由摩擦阻力引起 能量损失： Wf (J/kg) 假设： Qe＝0 能量补充： We (J/kg) …… 由流体输送设备提供 实际流体伯努利方程式： gZ1 + u12/ 2 + p1/ ＋We＝ gZ2 + u22/ 2 + p2/ ＋Wf
＝-计示压强
压强示意图
第2章 流体粘性
2.1 粘度的定义
运动粘度:液体在重力作用下流动时内摩擦力的量度.其 值为相同温度下液体的动力粘度与其密度之比.在国际单 位制(SI)中,运动粘度的单位以平方米/秒(m2/s)表示.通 常使用的单位为平方毫米/秒(mm2/s) 。
动力粘度:液体在剪切应力作用下流动时内磨擦力的量度. 其值为所加于流动液体的剪切应力和剪切速率之比.
水 T
粘度与温度关系图
温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视！！！
原因详解：这是因为气体的粘性力主要来自相邻流动层分子的横向动量交换的结果： 温度升高，这种动量的交换也加剧。因而内摩擦力或μ 值将增大。但是，液体则不 同。随着温度的升高，液体的μ 值将减小。原因在于液体的粘性力主要来自相邻流 动层间分子的内聚力；随着温度的升高，液体分子热运动加剧，液体分子间的距离 变大，因而分子间的内聚力将随之减小。
P dP S 0 S dS
表面力的合力：
P p n ds
S
1.5 流体的压强及其表示方法
流体的压强：流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体 的压强。用p表示，工程上习惯称之为压力。
（1）压力单位：SI 制中， N/m2 = Pa，称为帕斯卡
1 atm(标准大气压)＝1.013×105 Pa ＝760 mmHg ＝10.33 mH2O
2 总能量衡算式：U1 + g1Z1 + u1 / 2 + p1/ 1 + Qe +We ＝U2 + g2Z2 + u22/ 2 + p2/ 2
1.理想流体流动过程的能量衡算 理想流体：a. 流体在流动时无摩擦，无能量损失 b. 不可压缩流体 假设： Qe＝0、We＝0 理想流体伯努利方程式： gZ1 + u12/ 2 + p1/ ＝ gZ2 + u22/ 2 + p2/ ＝常数 流体的机械能 T U 不变 、 、
的物理量 (流速、压强、密度等) 不随时间变化的流动。
不稳定（非定常）流动 ：在流动过程中，流体在任一截面上的
物理量随时间而变化的流动。
3.4 雷诺准数
如何将这些定性的感性认识提高到定量的理论高度呢？流动类型与哪些物 理量有关呢？ 1883 年，雷诺（Reynolds）通过大量实验观察到，流体流动分为层流、过渡 流、湍流，且流动型态除了与流速 (u ) 有关外，还与管径 ( d ) 、流体的粘度 ( ) 、流 体的密度 ( ) 有关。 雷诺将 u、d、、 组合成一个复合数群。
塑性流体——克服初始应力τ0后，τ才与速度梯度成正比（牙膏、新拌水泥
砂浆、中等浓度的悬浮液等）
粘性流体的分类 牛顿流体
与 时 间 无 关 的 假塑性流体 膨胀性流体 宾汉流体 ( 塑性流体 ) 屈服-假塑性流体 屈服-膨胀性流体
与时 间有 关的
纯 粘 性 流 体
触变性流体 震凝性流体
非 牛 顿 流 体
流管： 在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时
刻过 L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管
流束：管内流体称为流束
L
流管 流线
3.3 流体运动中的一些基本概念
层流：流体质点运动轨迹是有规则的光滑曲线。 湍流：流体质点除了做有规则的光滑曲线运动，还做不规则的 杂乱运动且互相碰撞，互相混和。 稳定（定常）流动 ：流体流动过程中，任一截面上与流动相关
kg m 3
即单位质量占有的体积
重 度 ： g 比 重： d
N m3
即单位体积物质的重量 即相对密度
H O@4
2 o
C
二、粘性（后续单独介绍） 三、压缩性：流体的密度或容积随压力或温度变化的性质。
1.4 作用在流体上的质量力和表面力 1.4.1 质量力（体积力）：
透过物质传递的力，作用在研究流体质量中心，与质量 成正比；取一流体微团质量为△m，其受的质量力：
t
M0
Mwenku.baidu.com
一般运动
＝
平移
＋ 线变形 ＋
旋转
＋ 角变形
4.3 搅拌雷诺数
叶轮直径
搅拌雷诺数
Re
d 2 n
搅拌器转速
液体密度 液体黏度
Re ＜ 10 ， 叶 轮 周 围 液体随叶轮旋转作周 向流，远离叶轮的液 体基本是静止的，属 于完全层流。
10 ＜ Re ＜ 30 ， 液 体 的运动达到槽壁， 并沿槽壁有少量上 下循环流发生，此 现象为部分层流， 仍为层流范围。
粘弹性 流体
(a) 纯粘性流体在 撤除剪切应力后，它 们在受剪切应力作用 期间的任何形变都不 会回复； (b) 而粘弹性流体 在撤除剪切应力后， 它们在受剪切应力作 用期间所产生的形变 会完全或部分地得到 回复。
多种类型
流体触变性：恒定剪切速率下粘度随时间增加而降低的
第3章 流体运动
3.1 描述流体运动的两种方法
流体知识学习总结
流体是液体和气体及等离子态的总称。
血液流动：生物流体力学 航空航天：空气动力学 等离子体运动：电磁流体力学 化工产业：多相流体力学 石油和天然气开采：渗流力学 燃烧过程：化学流体力学 理想流体动力学 粘性流体动力学 可/不可压缩流体动力学 非牛顿流体力学 不同“力学 模型”角度 流体静力学 流体运动学 流体动力学 流体作用力的角度
第4章 流体搅拌 4.1 搅拌器类型 小直径高转速搅拌器 搅 拌 器 类 型 大直径低转速搅拌器 涡轮式搅拌器
推进式搅拌器
桨式搅拌器
锚式、框式搅拌器 螺带式搅拌器
4.2 搅拌槽内液体进行着几种流动：
轴向流：流体轴向流入，轴向流出 径向流：流体轴向流入，径向流出 切向流：流体围绕搅拌轴作旋转运动
τ
塑性流体 拟塑性流体 牛顿流体
140.00
120.00 100.00 80.00 60.00
τ0
膨胀型流体
40.00 20.00
o
dv/dy
0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Shear Rate（1/s）
膨胀型流体：τ的增长率随dv/dy的增大而增加 拟塑性流体：τ的增长率随dv/dy的增大而降低（高分子溶液、纸浆、血液等）
外界对流体 做功时为正， 流体对外界 做功时为负。
p/ ， Q ， e J/kg
传热速率
吸热时为正， 放热时为负。
流体稳定流动时的能量衡算：
输入能量＝U1 + g1Z1 + u12/ 2 + p1/ 1 + Qe +We 输出能量＝U2 + g2Z2 + u22/ 2 + p2/ 2
由能量守恒定律：输入能量＝输出能量
2.3 流体类型
2.3.1 理想流体与粘性流体
理想流体： μ=0，即无粘性流体 粘性流体： μ≠0 2.3.2 牛顿流体与非牛顿流体 牛顿流体：动力粘度μ 为不变数的流体 非牛顿流体： μ 为变数的流体
2.3.3 粘性流体分类
flow curve @25℃
200.00 180.00 160.00 Shear Stress（Pa）
•欧拉变数 x,y,z 与 L. 法中质点位置 x,y,z
有所区别，空间点 x,y,z 是 t 独立变量即 与t无关，而质点位置x,y,z是t的函数
3.2 流体的运动属性
体积流量 流量 qV＝ V t m3/s kg/s qm ＝ qV
m 质量流量 qm ＝ t
体积流速
流速 质量流速
qV u＝ A
rot a
散度：描述场内单元单位体积变 化率，运动中集中叫辐合， 发散称为辐散（描述流场 中的扩散） 旋度：描述流场内的旋转运动
1.3 流体物理特性
一、易流动性：切应力作用下流体能产生连续变形(流动)。
m d m V 0 V dV 1 v 比容： m 3 kg
密度： lim
f ( x, y, z ) lim
F 1 F dF lim m 0 m V 0 V dV
质量力的合力：F V f ( x, y, z , t )dV
1.4.2 表面力：
外界对流体表面的作用力，与表面积大小成正比； 取微小单元△S，其受的表面力：
p n lim
1.2.2 场论的几个概念
i j k grad x y z
梯度：描述场物理参数的变化率； 描述场内空间不均匀性
a x a y a z a div a x y z
i a x ax j k y y a y az